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【考情分析】
带电粒子在电场、磁场和重力场及其复合场中的运动，涉及场对带电粒子的作用，综合力、能、电、图象等知识. 题型以中高难度的计算题为主．对空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力有较高的要求．
带电粒子在电场、磁场、重力场中的运动与现代科技密切相關，如质谱仪，回旋加速器，密立根油滴实验，磁偏转，电偏转等．
一、 带电体在电场中的运动
[【例题精讲】]
例1 如图3-1所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小忽略，它们分别带有[+QA]和[+QB]的电荷量，质量分别为[mA]和[mB]．两物块由绝缘轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接一轻质小钩. 整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中. A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮．
图3-1
（1）若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A对挡板P的压力恰为零，但不会离开P，求物块C下降的最大距离；
（2）若C的质量改为2M，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？
解析 （1）开始B静止，说明弹簧处于压缩状态；挂上物块C后，A对挡板P的压力恰为零，说明弹簧处于拉伸状态．因此，物块C下降的最大距离为两次形变量之和．设开始弹簧形变量为[x1]，对B，由平衡条件
[kx1=EQB]
解得 [x1=EQBk]
设A刚要离开挡板时弹簧的形变量为[x2]，对[A]
[kx2=EQA]
解得 [x2=EQAk]
C下降的最大距离
[h=x1+x2]
解得 [h=Ek(QA+QB)]
同时C下降到最大距离时
[Mgh=EQB⋅h+ΔE弹]
（2）物块C的质量改为2M后，B加速运动而获得动能，A刚要离开挡板P时，[A]的动能为零，[C]下落[h]，弹簧此时的拉伸形变量与第一次拉伸形变量相同，即弹簧的弹性势能相同．由能量守恒定律可知，C下落h的过程中，C重力势能的减少量等于B的电势能增量和弹簧弹性势能增量以及系统动能增量之和．
设A刚要离开挡板时，B、C的速度为v．则
[2Mgh=EQB⋅h+ΔE弹+12(2M+mB)v2]
解得B的速度
[v=2MgE(QA+QB)k(2M+mB)]
点拨 根据物体的运动状态进行受力分析；利用平衡条件列方程求解；能量守恒定律的应用．弹簧由压缩到拉伸，暗示了物块C下降的距离；而能量守恒定律应用中，弹簧弹性势能的处理是又一难点，题目隐含了两次相等这一条件．
例2 如图3-2所示，两平行金属板A、B长L=8cm，两板间距离d=8cm，A板比B板电势高U=300V. 一带正电的粒子电荷量[q=10-10]C，质量[m=10-20]kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度[v0=2×106]m/s，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS间的无电场区域后，进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域（设界面PS右边点电荷的电场分布不受界面的影响），已知两界面MN、PS相距为[l1]=12cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为[l2]=9cm，粒子穿过界面PS最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上．(静电力常数[k=9.0×109N⋅m2C2])
图3-2
（1）求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离多远？到达PS界面时离D点多远？
（2）在图上粗略画出粒子运动的轨迹；
（3）确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小．
解析 （1）带电粒子在平行金属板间做类平抛运动. 加速度
[a=qUdm=10-10×3008×10-2×10-20m/s2=3.75×1013m/s2]
飞出平行金属板间的时间
[t=Lv0=8×10-22×106s=4×10-8s]
带电粒子穿过界面MN时，偏离中心线的距离即为侧向位移
[y1=12at2=12×3.75×1013×(4×10-8)2m=0.03m]
设带电粒子飞出平行金属板间的速度为[v]，则
[υx=v0=2×106]m/s
[vy=at=1.5×106]m/s
[v=υ2x+υ2y=2.5×106]m/s
此时带电粒子的速度方向与水平方向成[θ]
[tanθ=vyvx=34]
带电粒子离开电场后做匀速直线运动打在PS上. 设交点为a，则a点离中心线的距离为
[y=y1+l1tanθ=0.12]m
（2）带电粒子的运动轨迹如图3-3所示．
（3）带电粒子从a点进入点电荷电场时的速度为[v]，设a点与点电荷所在位置的连线与PS的夹角为[β]，则
[tanβ=l2y=0.090.12=34]
可知[β=θ]
即带电粒子进入点电荷电场时，速度垂直于粒子所受点电荷的库仑力．之后带电粒子绕点电荷Q做匀速圆周运动．带正电的粒子受到Q的库仑引力，所以Q带负电．
运动半径
[r=y2+l22=(0.12)2+(0.09)2m=0.15m]
由库仑定律和匀速圆周运动规律得
[kQqr2=mv2r]
点电荷Q的电荷量
[Q=mv2rkq=10-20×(2.5×106)2×0.159×109×10-10=1.04×10-8C]
点拨 考查粒子在匀强电场中的类平抛运动和在点电荷电场中的圆周运动. 综合考查粒子在匀强电场中的类平抛运动和粒子在点电荷电场中的圆周运动增加了难度，难点在电荷进入点电荷电场时的速度方向.
[【专题训练3.11．质量为m，带电量为+q的小球，在匀强电场中由静止释放，小球沿着与竖直向下夹30°角的方向做匀加速直线运动，当场强大小满足[Eq=12mg]时，E所有可能的方向可以构成（ ）
A．一条线 B．一个平面
C．一个球面 D．一个圆锥面
2．如图3-4所示，用线把小球A悬于O点，静止时恰好与另一固定小球B接触．今使两球带[图3-4]同种电荷，悬线将偏离竖直方向某一角度[θ1]，此时悬线中的张力大小为[T1]；若增加两球的带电量，悬线偏离竖直方向的角度将增大为[θ2]，此时悬线中的张力大小为[T2]，则（ ）
A．[T1]<[T2]
B．[T1]=[T2]
C．[T1]>[T2]
D．不知[θ1]和[θ2]的大小关系，无法确定
3．如图3-5所示，带箭头的直线表示某电场的电场线，虚线表示等势线. 一个带负电的粒子以一定初速度进入电场，由A运动到B．设粒子经过A、B两点时的加速度和动能分别用[aA]、[aB]、[EA]、[EB]表示，不计粒子重力，则（ ）
图3-5
A．[aA>aB] B．[aA=aB]
C．[EA>EB] D．[EA 4．一个带电小球从空中的a点运动到b点的过程中，重力做功0.3J，电场力做功0.1J．则小球（ ）
A．在a点的重力势能比在b点大0.3J
B．在a点的电势能比在b点小0.1J
C．在a点的动能比在b点小0.4J
D．在a点的机械能比在b点小0.1J
5．如图3-6所示，水平固定的带电小圆盘A，取盘中心O点的电势为零，从盘心O处释放一质量为m，带电量为+q的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的最大高度可达盘中心竖直线上的C点，且OC=h，已知小球通过竖直线上B点时的速度最大且为[vm]，由此可以确定（ ）
图3-6
A．B点的场强和C点的场强
B．C点的场强和B点的电势
C．B点的场强和C点的电势
D．B点的电势和C点的电势
6．如图3-7所示，质量为m=10g，电量为q=[10-4]C的带正电小球用长为L=0.3m的绝缘细线系于O点，放在匀强电场中，静止时悬线与竖直方向夹角[θ=60°].
图3-7
（1）求电场强度；
（2）若通过外力将带电小球缓慢拉至竖直方向的最低点并使悬线拉紧，而小球最终处于静止状态，问外力需做多少功？
7．如图3-8甲所示，两平行金属板间接有如图3-8乙所示的随时间t变化的交流电压[U.] 金属板间电场可看作均匀，且两板外无电场，板长[L=0.2m]，板间距离[d=0.1m]. 在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线[OO′]垂直，磁感应强度[B=5×10-3T]，方向垂直纸面向里. 现有带正电的粒子流沿两板中线[OO′]连续射人电场中，已知每个粒子的速度[v0=105m/s]，比荷[qm=108C/kg]，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为恒定不变. 求：
[甲][乙][0.2 0.4 0.6 0.8][100][-100][× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×]
图3-8
（1）带电粒子刚好从极板边缘射出时两金属板间的电压；
（2）带电粒子进入磁场时，粒子最大速度的大小；
（3）证明：任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的人射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值，并计算出两点间的距离.
8．如图3-9所示，光滑绝缘水平面上方空间被竖直的与纸面垂直的平面[MN]分隔成两部分，左侧空间存在一水平向右的匀强电场，场强大小[E1=mgq]，右侧空间有一长为[R=0.8m]轻质绝缘细绳，绳的一端固定于O点，另一端拴一个质量[m2=m]的不带电的小球B正在与纸面平行的竖直面内做顺时针圆周运动，运动到最低点时速度大小[vB]=8m/s，B物体在最低点时与地面接触但没有相互作用力．在MN左侧空间中有一个质量为[m1=m]的带正电的物体A，电量大小为q，在水平面上与MN水平间距为L时由静止释放，恰好能和B物体在B运动的最低点处发生正碰，并瞬间成为一个整体C，碰后瞬间在MN的右侧空间立即加上一竖直向上的匀强电场，场强大小[E2=3E1]．
图3-9
（1）如果L=0.2m，求整体C运动到最高点时的瞬时速度大小，及此时绳拉力是物体重力的多少倍？
（2）当L满足什么条件时，整体C可以在竖直面内做一个完整的圆周运动．
9．如图3-10所示，在絕缘的水平面上，相隔[2L]的A、B两点固定有两个电量均为Q的正点电荷，C、O、D是A、B连线上的三个点，O为连线的中点，CO=OD=[L2]. 一质量为m、电量为q的带电物块以初速度v0从C点出发沿A、B连线向B运动，运动过程中物块受到大小恒定的阻力作用，但在速度为零时，阻力也为零. 当物块运动到O点时，物块的动能为初动能的n倍，到达D点刚好速度为零，然后返回做往复运动，直至最后静止在O点. 已知静电力恒量为k，求：
[+ +][A C O D B]
图3-10
（1）A、B两点电荷在C点产生的电场强度的大小；
（2）物块在运动中受到的阻力的大小；
（3）带电物块在电场中运动的总路程.
二、 带电体在磁场中的运动
[【例题精讲
例1 如图3-11所示，圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c以不同速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，运动轨迹如图所示．若带电粒子只受磁场力作用，则（ ）
图3-11
A．a粒子动能最大
B．c粒子速率最大
C．c粒子在磁场中运动时间最长
D．它们做圆周运动的周期[Ta 解析 由图可知，c粒子的轨道半径最大，a粒子的轨道半径最小，由[R=mυqB]可知，c粒子的速度最大，动能最大，选项A错B对；由粒子在匀强磁场中的运动周期[T=2πmqB]可知，当三粒子的比荷相同时，在同一匀强磁场中运动的周期相同，选项D错；粒子在磁场中的运动时间[t=ϕ2πT]，由圆弧对应的圆心角[ϕ]决定，圆心角[ϕ]与速度方向的偏转角相等，其中a的偏转角最大，在磁场中的运动时间最长，选项C错．
答案 B
点拨 考查半径公式和周期公式以及粒子在磁场中运动时间与偏转角的关系. 带电粒子在有界圆形匀强磁场区间的运动，要确定：圆心、半径和速度偏转角（也是轨迹圆弧对应的圆心角）．
例2 如图3-12甲所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直挡板，其上有一小孔P，现有一质量[m=4×10-20]kg，带电量[q=+2×10-14]C的粒子，从小孔以速度[υ0=3×104]m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的正三角形区域．该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计．求：
甲 乙
图3-12
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）正三角形磁场区域的最小边长．
解析 作出粒子运动的示意图，利用几何关系，一是几何圆与竖直挡板相切，二是出射方向与OA垂直并与几何圆相切.
（1）由[qvB=mv2r]得[r=mvqB=0.3m]
（2）粒子的运动轨迹如图3-12乙所示.
由[T=2πrυ]得
[T=2πmqB=2π×10-5s=6.28×10-5s]
由几何关系知粒子的运动时间[t=56T]，得
[t=5πm3qB=5π3×10-5s=5.23×10-5s]
（3）由数学知识得磁场的最小边长
[L=2r+rcos30°cos30°]
∴[L=mvqB(43+1)=43+310m=0.99m]
点拨 考查带电粒子在有界磁场中的运动．本题几何分析要求高，但紧扣住初始速度和出场速度方向，可知粒子在磁场中偏转的轨迹. 在分析三角形边长时可能会出错，以为是整个圆的外切圆.
[【专题训练3.2】]
1．带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹．如图3-13所示是在有匀强磁场的云室中观察到的粒子的轨迹，a和b是轨迹上的两点，匀强磁场B垂直纸面向里．该粒子在运动时，其质量和电量不变，而动能逐渐减少，则（ ）
[× ×
× × ×
× × × ×] [× ×
× × ×
× × × ×]
甲 乙
图3-21
（1）带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标；
（2）带电微粒在磁场区域运动的总时间；
（3）带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标.
解析 微粒在磁场中先偏转[14]圆弧，恰好水平向左进入电场，匀减速直线运动到速度为零后，再水平向右进入磁场，在磁场中偏转[34]圆弧后，竖直向上进入电场做类平抛运动，到达y轴后离开电场.
（1）微粒从O点射入磁场，运动轨迹如图3-21乙所示.
第一次经过磁场边界上的A点，由[qv0B=mυ20r]得
[r=mv0qB=4×10-3]m
A点位置坐标（-4×10-3m，-4×10-3m）.
（2）设微粒在磁场中做圆周运动的周期为T，则
[t=tOA+tAC=14T+34T]
而[T=2πmqB]
解得T=1.256×10-5s， t=1.256×10-5s
（3）微粒从C点沿y轴正方向进入电场，做类平抛运动.
[a=qEm]
[Δx=12at12=2r]
[Δy=υ0t1]
解得[Δy=0.2]m.
[y=Δy]-2r=0.2-2×4×10-3m=0.192m.
微粒离开电、磁场时的位置坐标（0，0.192m）.
点拨 带电粒子在复合场中的偏转，综合考查牛顿运动定律、运动学公式、运动的合成与分解、左手定则、磁场中的匀速圆周运动等考点，实现了“借电考力”的完美结合. 带电粒子（不计重力）在复合场中的运动，常见情景是电场和磁场交替出现，粒子的运动过程一般涉及电场中的类平抛运动和磁场中的匀速圆周运动.
[【专题训练3.3】]
1．如图3-22所示，两平行金属板中间有相互正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B，一质子沿极板方向以速度v0从左端射入，并恰好从两板间沿直线穿过. 不计质子重力，则（ ）
[× × × × ×] [+][-] [× × × × ×]
图3-22
A．若质子以小于v0的速度沿极板方向从左端射入，它将向上偏转
B．若质子以速度2v0沿极板方向从左端射入，它将沿直线穿过
C．若电子以速度v0沿极板方向从左端射入，它将沿直线穿过
D．若电子以速度v0沿极板方向从左端射入，它将沿直线穿过
2．在竖直放置的光滑绝缘圆环中，套有一个带电荷量为[-q]、质量为m的小环，整个装置放在如图3-23所示的正交电磁场中. 已知[E=mgq,]当小环从大环顶无初速下滑时，在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大（ ）
[· · · ·][· · · ·][· · · ·][· · · ·]
图3-23
A．[π4] B．[π2] C．[3π4] D．π
3．如图3-24所示，在竖直虚线MN和M′N′之间区域内存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场. 一带电粒子（不计重力）以初速度v0由A点垂直MN进入这个区域，带电粒子沿直线运动，并从C点离开场区. 如果撤去磁场，该粒子将从B点离开场区；如果撤去电场，该粒子将从D点离开场区. 则（ ）
图3-24
A．粒子由B、C、D三点离开场区时的动能相同
B．粒子由A点运动到B、C、D三点的时间均不相同
C．匀强电场的场强E与匀强磁场的磁感应强度B之比[EB=v0]
D．若该粒子带负电，则电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向外
4．如图3-25所示，相互垂直的匀强电场和匀强磁场，其电场强度和磁感应强度分别为E和B. 一个质量为m，带正电量为q的油滴，以水平速度[v0]从a点射入，经一段时间后运动到b. 求：
[× × ×][× × ×][× × ×]
图3-25
（1）油滴刚进入场中a点时的加速度.
（2）若到达b点时，偏离入射方向的距离为d，此时速度大小为多大？
5．如图3-26所示，一根光滑绝缘细杆与水平面成[α=30∘]的角倾斜固定. 细杆的一部分处在水平向右的匀强电场中，场强[E=2×104N／C]. 在细杆上套有一个带电量为[q=-1.73×105C]、质量为[m=3×10-2kg]的小球. 现使小球从细杆的顶端A由静止开始沿杆滑下，并从B点进入电场，小球在电场中滑至最远处的C点. 已知A、B间距离[x1=0.4m,] g=10m/s2. 求：
图3-26
（1）带电小球在B点的速度vB；
（2）带电小球进入电场后滑行的最大距离[x2]；
（3）带电小球从A点滑行至C点的时间是多少?
6．如图3-27所示为一种获得高能粒子的装置. 环形区域内存在垂直纸面向外，大小可调的匀强磁场. [M]、[N]为两块中心开有小孔的极板，每当带电粒子经过[M]、[N]板时，都会被加速，加速电压均为[U]；每当粒子飞离电场后，[M]、[N]板间的电势差立即变为零. 粒子在[M]、[N]间的电场中一次次被加速，动能不断增大，而绕行半径[R]不变（[M]、[N]两极板间的距离遠小于[R]）. 当[t=0]时，质量为[m]，电荷量为[+q]的粒子静止在[M]板的小孔处.
图3-27
（1）求粒子绕行[n]圈回到[M]板时的动能[En]；
（2）为使粒子始终保持在圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第[n]圈时磁感应强度[B]的大小；
（3）求粒子绕行[n]圈所需总时间[tn].
7．如图3-28甲所示，水平地面上有一辆固定有竖直光滑绝缘管的小车，管的底部有一质量m=0.2g、电荷量q=8×10-5C的小球，小球的直径比管的内径略小．在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度B1=15T的匀强磁场，MN面的上方还存在着竖直向上、场强E=25V/m的匀强电场和垂直纸面向外、磁感应强度B2 =5T的匀强磁场．现让小车始终保持v=2m/s的速度匀速向右运动，以带电小球刚经过场的边界PQ为计时的起点，测得小球对管侧壁的弹力FN随高度h变化的关系如图3-28乙所示．g取10m/s2，不计空气阻力．求：
[甲 乙][2.4]
图3-28
（1）小球刚进入磁场B1时加速度a的大小；
（2）绝缘管的长度L；
（3）小球离开管后再次经过水平面MN时距管口的距离△x．
8．如图3-29所示，一个质量为m、电量为q的小金属滑块以某一速度沿着水平放置的绝缘板运动. 整个装置所在的空间存在着匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，匀强电场沿着水平方向. 滑块与绝缘板之间的动摩擦因数为[μ]，滑块从A到B匀速运动，到达B点时与提供电场的电路开关相碰，使电路断开，电场立即消失，碰撞使滑块的动能减少为原来的[14]. 滑块碰撞后从B点返回到A点的运动恰好是匀速运动，已知滑块从B点到A点所需时间为t，AB长为L. 求：
[· · · · · · ·][· · · · · · ·][· · · · · · ·][· · · · · · ·] [· · · · · · ·]
图3-29
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）滑块在整个过程中克服摩擦力做的功.
带电粒子在电场、磁场和重力场及其复合场中的运动，涉及场对带电粒子的作用，综合力、能、电、图象等知识. 题型以中高难度的计算题为主．对空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力有较高的要求．
带电粒子在电场、磁场、重力场中的运动与现代科技密切相關，如质谱仪，回旋加速器，密立根油滴实验，磁偏转，电偏转等．
一、 带电体在电场中的运动
[【例题精讲】]
例1 如图3-1所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小忽略，它们分别带有[+QA]和[+QB]的电荷量，质量分别为[mA]和[mB]．两物块由绝缘轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接一轻质小钩. 整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中. A、B开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮．
图3-1
（1）若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A对挡板P的压力恰为零，但不会离开P，求物块C下降的最大距离；
（2）若C的质量改为2M，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？
解析 （1）开始B静止，说明弹簧处于压缩状态；挂上物块C后，A对挡板P的压力恰为零，说明弹簧处于拉伸状态．因此，物块C下降的最大距离为两次形变量之和．设开始弹簧形变量为[x1]，对B，由平衡条件
[kx1=EQB]
解得 [x1=EQBk]
设A刚要离开挡板时弹簧的形变量为[x2]，对[A]
[kx2=EQA]
解得 [x2=EQAk]
C下降的最大距离
[h=x1+x2]
解得 [h=Ek(QA+QB)]
同时C下降到最大距离时
[Mgh=EQB⋅h+ΔE弹]
（2）物块C的质量改为2M后，B加速运动而获得动能，A刚要离开挡板P时，[A]的动能为零，[C]下落[h]，弹簧此时的拉伸形变量与第一次拉伸形变量相同，即弹簧的弹性势能相同．由能量守恒定律可知，C下落h的过程中，C重力势能的减少量等于B的电势能增量和弹簧弹性势能增量以及系统动能增量之和．
设A刚要离开挡板时，B、C的速度为v．则
[2Mgh=EQB⋅h+ΔE弹+12(2M+mB)v2]
解得B的速度
[v=2MgE(QA+QB)k(2M+mB)]
点拨 根据物体的运动状态进行受力分析；利用平衡条件列方程求解；能量守恒定律的应用．弹簧由压缩到拉伸，暗示了物块C下降的距离；而能量守恒定律应用中，弹簧弹性势能的处理是又一难点，题目隐含了两次相等这一条件．
例2 如图3-2所示，两平行金属板A、B长L=8cm，两板间距离d=8cm，A板比B板电势高U=300V. 一带正电的粒子电荷量[q=10-10]C，质量[m=10-20]kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度[v0=2×106]m/s，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS间的无电场区域后，进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域（设界面PS右边点电荷的电场分布不受界面的影响），已知两界面MN、PS相距为[l1]=12cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为[l2]=9cm，粒子穿过界面PS最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上．(静电力常数[k=9.0×109N⋅m2C2])
图3-2
（1）求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离多远？到达PS界面时离D点多远？
（2）在图上粗略画出粒子运动的轨迹；
（3）确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小．
解析 （1）带电粒子在平行金属板间做类平抛运动. 加速度
[a=qUdm=10-10×3008×10-2×10-20m/s2=3.75×1013m/s2]
飞出平行金属板间的时间
[t=Lv0=8×10-22×106s=4×10-8s]
带电粒子穿过界面MN时，偏离中心线的距离即为侧向位移
[y1=12at2=12×3.75×1013×(4×10-8)2m=0.03m]
设带电粒子飞出平行金属板间的速度为[v]，则
[υx=v0=2×106]m/s
[vy=at=1.5×106]m/s
[v=υ2x+υ2y=2.5×106]m/s
此时带电粒子的速度方向与水平方向成[θ]
[tanθ=vyvx=34]
带电粒子离开电场后做匀速直线运动打在PS上. 设交点为a，则a点离中心线的距离为
[y=y1+l1tanθ=0.12]m
（2）带电粒子的运动轨迹如图3-3所示．
（3）带电粒子从a点进入点电荷电场时的速度为[v]，设a点与点电荷所在位置的连线与PS的夹角为[β]，则
[tanβ=l2y=0.090.12=34]
可知[β=θ]
即带电粒子进入点电荷电场时，速度垂直于粒子所受点电荷的库仑力．之后带电粒子绕点电荷Q做匀速圆周运动．带正电的粒子受到Q的库仑引力，所以Q带负电．
运动半径
[r=y2+l22=(0.12)2+(0.09)2m=0.15m]
由库仑定律和匀速圆周运动规律得
[kQqr2=mv2r]
点电荷Q的电荷量
[Q=mv2rkq=10-20×(2.5×106)2×0.159×109×10-10=1.04×10-8C]
点拨 考查粒子在匀强电场中的类平抛运动和在点电荷电场中的圆周运动. 综合考查粒子在匀强电场中的类平抛运动和粒子在点电荷电场中的圆周运动增加了难度，难点在电荷进入点电荷电场时的速度方向.
[【专题训练3.11．质量为m，带电量为+q的小球，在匀强电场中由静止释放，小球沿着与竖直向下夹30°角的方向做匀加速直线运动，当场强大小满足[Eq=12mg]时，E所有可能的方向可以构成（ ）
A．一条线 B．一个平面
C．一个球面 D．一个圆锥面
2．如图3-4所示，用线把小球A悬于O点，静止时恰好与另一固定小球B接触．今使两球带
A．[T1]<[T2]
B．[T1]=[T2]
C．[T1]>[T2]
D．不知[θ1]和[θ2]的大小关系，无法确定
3．如图3-5所示，带箭头的直线表示某电场的电场线，虚线表示等势线. 一个带负电的粒子以一定初速度进入电场，由A运动到B．设粒子经过A、B两点时的加速度和动能分别用[aA]、[aB]、[EA]、[EB]表示，不计粒子重力，则（ ）
图3-5
A．[aA>aB] B．[aA=aB]
C．[EA>EB] D．[EA
A．在a点的重力势能比在b点大0.3J
B．在a点的电势能比在b点小0.1J
C．在a点的动能比在b点小0.4J
D．在a点的机械能比在b点小0.1J
5．如图3-6所示，水平固定的带电小圆盘A，取盘中心O点的电势为零，从盘心O处释放一质量为m，带电量为+q的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的最大高度可达盘中心竖直线上的C点，且OC=h，已知小球通过竖直线上B点时的速度最大且为[vm]，由此可以确定（ ）
图3-6
A．B点的场强和C点的场强
B．C点的场强和B点的电势
C．B点的场强和C点的电势
D．B点的电势和C点的电势
6．如图3-7所示，质量为m=10g，电量为q=[10-4]C的带正电小球用长为L=0.3m的绝缘细线系于O点，放在匀强电场中，静止时悬线与竖直方向夹角[θ=60°].
图3-7
（1）求电场强度；
（2）若通过外力将带电小球缓慢拉至竖直方向的最低点并使悬线拉紧，而小球最终处于静止状态，问外力需做多少功？
7．如图3-8甲所示，两平行金属板间接有如图3-8乙所示的随时间t变化的交流电压[U.] 金属板间电场可看作均匀，且两板外无电场，板长[L=0.2m]，板间距离[d=0.1m]. 在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线[OO′]垂直，磁感应强度[B=5×10-3T]，方向垂直纸面向里. 现有带正电的粒子流沿两板中线[OO′]连续射人电场中，已知每个粒子的速度[v0=105m/s]，比荷[qm=108C/kg]，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为恒定不变. 求：
[甲][乙][0.2 0.4 0.6 0.8][100][-100][× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×]
图3-8
（1）带电粒子刚好从极板边缘射出时两金属板间的电压；
（2）带电粒子进入磁场时，粒子最大速度的大小；
（3）证明：任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的人射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值，并计算出两点间的距离.
8．如图3-9所示，光滑绝缘水平面上方空间被竖直的与纸面垂直的平面[MN]分隔成两部分，左侧空间存在一水平向右的匀强电场，场强大小[E1=mgq]，右侧空间有一长为[R=0.8m]轻质绝缘细绳，绳的一端固定于O点，另一端拴一个质量[m2=m]的不带电的小球B正在与纸面平行的竖直面内做顺时针圆周运动，运动到最低点时速度大小[vB]=8m/s，B物体在最低点时与地面接触但没有相互作用力．在MN左侧空间中有一个质量为[m1=m]的带正电的物体A，电量大小为q，在水平面上与MN水平间距为L时由静止释放，恰好能和B物体在B运动的最低点处发生正碰，并瞬间成为一个整体C，碰后瞬间在MN的右侧空间立即加上一竖直向上的匀强电场，场强大小[E2=3E1]．
图3-9
（1）如果L=0.2m，求整体C运动到最高点时的瞬时速度大小，及此时绳拉力是物体重力的多少倍？
（2）当L满足什么条件时，整体C可以在竖直面内做一个完整的圆周运动．
9．如图3-10所示，在絕缘的水平面上，相隔[2L]的A、B两点固定有两个电量均为Q的正点电荷，C、O、D是A、B连线上的三个点，O为连线的中点，CO=OD=[L2]. 一质量为m、电量为q的带电物块以初速度v0从C点出发沿A、B连线向B运动，运动过程中物块受到大小恒定的阻力作用，但在速度为零时，阻力也为零. 当物块运动到O点时，物块的动能为初动能的n倍，到达D点刚好速度为零，然后返回做往复运动，直至最后静止在O点. 已知静电力恒量为k，求：
[+ +][A C O D B]
图3-10
（1）A、B两点电荷在C点产生的电场强度的大小；
（2）物块在运动中受到的阻力的大小；
（3）带电物块在电场中运动的总路程.
二、 带电体在磁场中的运动
[【例题精讲
例1 如图3-11所示，圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c以不同速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，运动轨迹如图所示．若带电粒子只受磁场力作用，则（ ）
图3-11
A．a粒子动能最大
B．c粒子速率最大
C．c粒子在磁场中运动时间最长
D．它们做圆周运动的周期[Ta
答案 B
点拨 考查半径公式和周期公式以及粒子在磁场中运动时间与偏转角的关系. 带电粒子在有界圆形匀强磁场区间的运动，要确定：圆心、半径和速度偏转角（也是轨迹圆弧对应的圆心角）．
例2 如图3-12甲所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直挡板，其上有一小孔P，现有一质量[m=4×10-20]kg，带电量[q=+2×10-14]C的粒子，从小孔以速度[υ0=3×104]m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的正三角形区域．该粒子在运动过程中始终不碰及竖直挡板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计．求：
甲 乙
图3-12
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）正三角形磁场区域的最小边长．
解析 作出粒子运动的示意图，利用几何关系，一是几何圆与竖直挡板相切，二是出射方向与OA垂直并与几何圆相切.
（1）由[qvB=mv2r]得[r=mvqB=0.3m]
（2）粒子的运动轨迹如图3-12乙所示.
由[T=2πrυ]得
[T=2πmqB=2π×10-5s=6.28×10-5s]
由几何关系知粒子的运动时间[t=56T]，得
[t=5πm3qB=5π3×10-5s=5.23×10-5s]
（3）由数学知识得磁场的最小边长
[L=2r+rcos30°cos30°]
∴[L=mvqB(43+1)=43+310m=0.99m]
点拨 考查带电粒子在有界磁场中的运动．本题几何分析要求高，但紧扣住初始速度和出场速度方向，可知粒子在磁场中偏转的轨迹. 在分析三角形边长时可能会出错，以为是整个圆的外切圆.
[【专题训练3.2】]
1．带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹．如图3-13所示是在有匀强磁场的云室中观察到的粒子的轨迹，a和b是轨迹上的两点，匀强磁场B垂直纸面向里．该粒子在运动时，其质量和电量不变，而动能逐渐减少，则（ ）
[× ×
× × ×
× × × ×] [× ×
× × ×
× × × ×]
甲 乙
图3-21
（1）带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标；
（2）带电微粒在磁场区域运动的总时间；
（3）带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标.
解析 微粒在磁场中先偏转[14]圆弧，恰好水平向左进入电场，匀减速直线运动到速度为零后，再水平向右进入磁场，在磁场中偏转[34]圆弧后，竖直向上进入电场做类平抛运动，到达y轴后离开电场.
（1）微粒从O点射入磁场，运动轨迹如图3-21乙所示.
第一次经过磁场边界上的A点，由[qv0B=mυ20r]得
[r=mv0qB=4×10-3]m
A点位置坐标（-4×10-3m，-4×10-3m）.
（2）设微粒在磁场中做圆周运动的周期为T，则
[t=tOA+tAC=14T+34T]
而[T=2πmqB]
解得T=1.256×10-5s， t=1.256×10-5s
（3）微粒从C点沿y轴正方向进入电场，做类平抛运动.
[a=qEm]
[Δx=12at12=2r]
[Δy=υ0t1]
解得[Δy=0.2]m.
[y=Δy]-2r=0.2-2×4×10-3m=0.192m.
微粒离开电、磁场时的位置坐标（0，0.192m）.
点拨 带电粒子在复合场中的偏转，综合考查牛顿运动定律、运动学公式、运动的合成与分解、左手定则、磁场中的匀速圆周运动等考点，实现了“借电考力”的完美结合. 带电粒子（不计重力）在复合场中的运动，常见情景是电场和磁场交替出现，粒子的运动过程一般涉及电场中的类平抛运动和磁场中的匀速圆周运动.
[【专题训练3.3】]
1．如图3-22所示，两平行金属板中间有相互正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B，一质子沿极板方向以速度v0从左端射入，并恰好从两板间沿直线穿过. 不计质子重力，则（ ）
[× × × × ×] [+][-] [× × × × ×]
图3-22
A．若质子以小于v0的速度沿极板方向从左端射入，它将向上偏转
B．若质子以速度2v0沿极板方向从左端射入，它将沿直线穿过
C．若电子以速度v0沿极板方向从左端射入，它将沿直线穿过
D．若电子以速度v0沿极板方向从左端射入，它将沿直线穿过
2．在竖直放置的光滑绝缘圆环中，套有一个带电荷量为[-q]、质量为m的小环，整个装置放在如图3-23所示的正交电磁场中. 已知[E=mgq,]当小环从大环顶无初速下滑时，在滑过什么弧度时所受洛仑兹力最大（ ）
[· · · ·][· · · ·][· · · ·][· · · ·]
图3-23
A．[π4] B．[π2] C．[3π4] D．π
3．如图3-24所示，在竖直虚线MN和M′N′之间区域内存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场. 一带电粒子（不计重力）以初速度v0由A点垂直MN进入这个区域，带电粒子沿直线运动，并从C点离开场区. 如果撤去磁场，该粒子将从B点离开场区；如果撤去电场，该粒子将从D点离开场区. 则（ ）
图3-24
A．粒子由B、C、D三点离开场区时的动能相同
B．粒子由A点运动到B、C、D三点的时间均不相同
C．匀强电场的场强E与匀强磁场的磁感应强度B之比[EB=v0]
D．若该粒子带负电，则电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向外
4．如图3-25所示，相互垂直的匀强电场和匀强磁场，其电场强度和磁感应强度分别为E和B. 一个质量为m，带正电量为q的油滴，以水平速度[v0]从a点射入，经一段时间后运动到b. 求：
[× × ×][× × ×][× × ×]
图3-25
（1）油滴刚进入场中a点时的加速度.
（2）若到达b点时，偏离入射方向的距离为d，此时速度大小为多大？
5．如图3-26所示，一根光滑绝缘细杆与水平面成[α=30∘]的角倾斜固定. 细杆的一部分处在水平向右的匀强电场中，场强[E=2×104N／C]. 在细杆上套有一个带电量为[q=-1.73×105C]、质量为[m=3×10-2kg]的小球. 现使小球从细杆的顶端A由静止开始沿杆滑下，并从B点进入电场，小球在电场中滑至最远处的C点. 已知A、B间距离[x1=0.4m,] g=10m/s2. 求：
图3-26
（1）带电小球在B点的速度vB；
（2）带电小球进入电场后滑行的最大距离[x2]；
（3）带电小球从A点滑行至C点的时间是多少?
6．如图3-27所示为一种获得高能粒子的装置. 环形区域内存在垂直纸面向外，大小可调的匀强磁场. [M]、[N]为两块中心开有小孔的极板，每当带电粒子经过[M]、[N]板时，都会被加速，加速电压均为[U]；每当粒子飞离电场后，[M]、[N]板间的电势差立即变为零. 粒子在[M]、[N]间的电场中一次次被加速，动能不断增大，而绕行半径[R]不变（[M]、[N]两极板间的距离遠小于[R]）. 当[t=0]时，质量为[m]，电荷量为[+q]的粒子静止在[M]板的小孔处.
图3-27
（1）求粒子绕行[n]圈回到[M]板时的动能[En]；
（2）为使粒子始终保持在圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第[n]圈时磁感应强度[B]的大小；
（3）求粒子绕行[n]圈所需总时间[tn].
7．如图3-28甲所示，水平地面上有一辆固定有竖直光滑绝缘管的小车，管的底部有一质量m=0.2g、电荷量q=8×10-5C的小球，小球的直径比管的内径略小．在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度B1=15T的匀强磁场，MN面的上方还存在着竖直向上、场强E=25V/m的匀强电场和垂直纸面向外、磁感应强度B2 =5T的匀强磁场．现让小车始终保持v=2m/s的速度匀速向右运动，以带电小球刚经过场的边界PQ为计时的起点，测得小球对管侧壁的弹力FN随高度h变化的关系如图3-28乙所示．g取10m/s2，不计空气阻力．求：
[甲 乙][2.4]
图3-28
（1）小球刚进入磁场B1时加速度a的大小；
（2）绝缘管的长度L；
（3）小球离开管后再次经过水平面MN时距管口的距离△x．
8．如图3-29所示，一个质量为m、电量为q的小金属滑块以某一速度沿着水平放置的绝缘板运动. 整个装置所在的空间存在着匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，匀强电场沿着水平方向. 滑块与绝缘板之间的动摩擦因数为[μ]，滑块从A到B匀速运动，到达B点时与提供电场的电路开关相碰，使电路断开，电场立即消失，碰撞使滑块的动能减少为原来的[14]. 滑块碰撞后从B点返回到A点的运动恰好是匀速运动，已知滑块从B点到A点所需时间为t，AB长为L. 求：
[· · · · · · ·][· · · · · · ·][· · · · · · ·][· · · · · · ·] [· · · · · · ·]
图3-29
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）滑块在整个过程中克服摩擦力做的功.