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应用题是高考解答题的重要组成部分，主要考查考乍运用数学知识解决实际问题的能力，而函数是高中数学的主干和核心知识，以函数知识为背景的应用题一直活跃在高考的舞台，引人关注。随着知识的更新，函数应用问题中的模型也越来越新颖。现撷取高中阶段函数应用问题中的热点模型，并结合最新实例加以分析，旨在展示解题规律，揭示解题方法，希望能对大家的学习有所帮助。
一、二次函数型
例1 有一家公司准备裁减人员。已知这家公司现有职员2m（160<2m<630，且m为偶数）人，每人每年呵创利n（n>0）万元。据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.02n万元，但公司需付给下岗人员每人每年0.8n万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员数的3/4。为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解析：设应裁员x人，可获得的经济效益为y万元。
y=（2m-x（n 0.02nx）-0.8nx.
整理得。
二次函数，的图像的对称轴为直线x=m-45。由，得：当xm-45时，y单调递减。
由该公司正常运转所需人数不得小于现有职员数的，得，则
由m为偶数，得m/2为整数。
由160<2m<630，得80 当，即45m/2，即90 综上所述，当80 点评：二次函数是高中阶段最基础、最重要的函数模型之一。本题属于含参数的二次函数应用问题，形式新颖，体现了命题人在传统知识上的创新精神。解决二次函数问题，需要灵活运用数形结合、分类讨论等思想。
二、三次函数型
例2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）。设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm?。假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）。
（l）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域。
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大。
解析：（l）蓄水池侧面的建造成本为100（2πrh）～200πrh（元），底面的建造成本为160πr?元，所以蓄水池的总建造成本为（200πrh 160πr?）元。
由题意得200πrh 160πr
2=12000π。
则。
由r>0，h>0，可得
故函数V（r）的定义域为
令V’（r）=O，解得r1=5，r2=-5（因r2=-5不在定义域内，故舍去）。
当，r∈（O，5）时，V’（r）>0，故V（r）在（O，5）上单调递增；当时，V’（r）<0，故V（r）在上单调递减。
故V（r）在r=5处取得最大值，此时h=8。
当r=5、h=8时，该蓄水池的体积最大。
点评：三次函数是高中阶段才接触的最基本的高次函数。求解三次函数的最值通常需要借助导数。由于三次函数的导数是二次函数，而二次函数有着大家较为熟悉的性质，因此三次函数有着特殊的地位，值得注意。
三、指数函数型
例3 有一个受污染的湖泊，其湖水容量为Vm?，每天流进和流出的都是rm?。现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质和湖水均混合，用函数g（t）表示某一时刻t每立方米湖水所含的污染物质的克数，我们称为在￡时刻的湖水污染质量分数。已知目前污染源以每天pg的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式，其中g（0）表示湖水污染的初始质量分数。
（l）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数。
（2）求证：当时，湖水的污染程度越来越重。
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
解析：（l）设0≤t1 （2）设O≤tl 當0 （3）污染停止，即p=0，此时g（t）=g（O）.
经过t天能使湖水污染水平下降到初始污染水平的5%，即g（t）=g（o）·5%，故，所以，故需要天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%。
点评：指数函数是高中阶段重要的函数模型。本题涉及指数函数的单调性、指数式向对数式的转化、不等式等相关知识，有一定的综合度。实际问题中，涉及增长率、银行利润与投资等时常用到指、对数函数，对于这类问题，应注意指、对数函数的单调性及定义域问题。
四、对数函数型
例4 有时可用函数
描述对某学科知识的掌握等程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增加量f（x 1）-f（x）总是下降。
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]、（121，127]、（127，133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。（已知数据eo.05≈1.0513，eo.5≈1.6487） （2）如图2，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为（CE、EA、EB。若），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值。
解析：（l）由已知可得△ABC为等边三角形。
由CD⊥AD，得水下电缆的最短线路为CD。
如图3，过D作DF⊥AB于F，可知地下电缆的最短线路为DF、AB。
易得，AB=2，故该方案的总施工费用为（万元）。
（2）因为，所以CE=EB
则
令。易得
由，得
记
当，即o≤θ<θ。时，g’（θ）<0；当，即时，
所以，等号成立时，
因此总施工费用的最小值为（）万元，其中。
点评：和传统的y=Asin（ωx ψ）型三角函数应用模型不同，越来越多的函数表达式涉及正弦、余弦、正切函数，这些函数最值或范围的解决通常需要借助导数，本题就是一例。高考特别注重在知识的交汇处命题，一个题目往往涉及多个知识点，考查考生灵活运用知识解决问题的能力。以上问题涉及三角函数、导数、不等式等诸多知识，综合性强，需要大家提升综合解决问题的能力。
九、含有max或min的函数型
例9 某企业接到生产3000台某产品的A、B、C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2、2、1（单位：件）。已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件。该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）。设生产A部件的人数为x。
（l）分别写出完成A、B、C三种部件生产需要的时间。
（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。
解析：（l）设完成A、B、C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T1（x）、T2（x）、T3（x）。
由题意得，其中（1 k）x均为l到200之间的正整数。
（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}.
由O 易知T1（x）、T2（x）为减函数，T3（x）为增函数。
①当k=2时，T1（x）=T2（x），此时f（x）=
由函数T1（x）、T3（x）的单调性，知：当时，f（x）取得最小值，解得。由于而。，故当x=44时，完成订单任务的时间最短，且最短时间为。
②当k>2时，T1（x）>T2（x）。由k为正整数，得k≥3，则
由函数T1（x）、T（x）的单调性，知：当时，ψ（x）取得最小值，解得由于，而，所以此时完成订单任务的最短时间大于。
③当k<2时，T1（x） 由函数T2（x）、T3（x）的单调性，知：当时，f（x）取得最小值，解得此时完成订单任务的最短时间为，大于
综上所述，当k=2时，完成订單任务的时间最短，此时生产A、B、C三种部件的人数分别为44、88、68。
点评：在选优问题中经常会用到max、min型函数，这类问题比较复杂，要借助相关函数的图像将其转化为分段函数。本例的解决涉及分段函数、函数的单调性、最值等，要求考生具有较强的运算能力及分析能力。
通过以上9例，我们不难发现解决应用问题常常按照如下思维展开：
解决函数应用题，应在认真审阅题目的基础上，抓住问题的关键因素和实质，首先对题意进行整体理解，真正理解用文字语言表达出来的实际问题的类型，然后进行字句的理解，注意抓住问题的关键词。
出于立意和创设情境的需要，函数试题设置问题的角度和方式也在不断创新，重视函数思想的考查，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使高考题显得生动和灵活。解决函数应用题，应着力培养下面的一些能力。
（l）阅读理解、整理数据的能力。通过分析、画图、列表、归纳等方法，快速弄清数据之间的关系、数据的单位等。
（2）建立函数模型的能力。关键是正确选择自变量，将问题的目标表示为关于这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些变量之间的相等关系列出函数式，注意不要忽略函数的定义域。
（3）求解函数模型的能力。主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数的图像的作用。
跟踪训练
1.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角。问：怎样剪才能使剩下的残料最少？
参考答案：在边长为60cm的直角边CB上截CD=30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF=20cm时，能使所剩残料最少。
2.某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元。经市场调查知：这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收人为万元。
（l）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（z）。
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
参考答案：（l）当O500时，
（2）当该公司的年产量为475件时，当年所获得的利润最大。 3.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会。据市场调查，当每套丛书售价定为z元时，销售量可达到15-0.lx万套。现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10。假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润一售价一供货价格。
（l）每套从书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
參考答案：（1）每套丛书售价定为100元时，销售量为15-0.1×100=5（万套），此时每套供货价格为（元），书商所获得的总利润为5×（100-32）=340（万元）。
（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为lOO元。
4.某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图5，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图6（注：利润与投资单位：万元）。
（l）分别将A、B两种产品的利润表示为投资z（万元）的函数关系式。
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？
参考答案：（l）设投资x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元。
（2）当A产品投入3.75万元、B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润，为万元。
5.如图7，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点Po出发，沿与AB
的夹角为θ的方向射到边BC 上的点Pl后，依次反射（入射 角与反射角相等）到边CD、
DA和AB上的P2、P3、P4处。
（l）若P4与Po重合，求tanθ的值。
（2）若P4落在A、Po两点之间，且APo=2，设tanθ=t，将五边形PoP1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值。
参考答案：（1）
（2）的最大值为。
6.某企业拟建造如图8所示m器c不计厚度，长度 单位：m），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求，容器的体积为，且ι≥2r。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）千元。设该容器的建造费用为y千元。
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域。
（2）求该容器的建造费用最小时的r。
参考答案：（1）
（2）当时，建造费用最小时r=2；当c>9/2时，建造费用最小时
一、二次函数型
例1 有一家公司准备裁减人员。已知这家公司现有职员2m（160<2m<630，且m为偶数）人，每人每年呵创利n（n>0）万元。据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.02n万元，但公司需付给下岗人员每人每年0.8n万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员数的3/4。为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
解析：设应裁员x人，可获得的经济效益为y万元。
y=（2m-x（n 0.02nx）-0.8nx.
整理得。
二次函数，的图像的对称轴为直线x=m-45。由，得：当x
由该公司正常运转所需人数不得小于现有职员数的，得，则
由m为偶数，得m/2为整数。
由160<2m<630，得80
二、三次函数型
例2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）。设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm?。假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）。
（l）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域。
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大。
解析：（l）蓄水池侧面的建造成本为100（2πrh）～200πrh（元），底面的建造成本为160πr?元，所以蓄水池的总建造成本为（200πrh 160πr?）元。
由题意得200πrh 160πr
2=12000π。
则。
由r>0，h>0，可得
故函数V（r）的定义域为
令V’（r）=O，解得r1=5，r2=-5（因r2=-5不在定义域内，故舍去）。
当，r∈（O，5）时，V’（r）>0，故V（r）在（O，5）上单调递增；当时，V’（r）<0，故V（r）在上单调递减。
故V（r）在r=5处取得最大值，此时h=8。
当r=5、h=8时，该蓄水池的体积最大。
点评：三次函数是高中阶段才接触的最基本的高次函数。求解三次函数的最值通常需要借助导数。由于三次函数的导数是二次函数，而二次函数有着大家较为熟悉的性质，因此三次函数有着特殊的地位，值得注意。
三、指数函数型
例3 有一个受污染的湖泊，其湖水容量为Vm?，每天流进和流出的都是rm?。现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质和湖水均混合，用函数g（t）表示某一时刻t每立方米湖水所含的污染物质的克数，我们称为在￡时刻的湖水污染质量分数。已知目前污染源以每天pg的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式，其中g（0）表示湖水污染的初始质量分数。
（l）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数。
（2）求证：当时，湖水的污染程度越来越重。
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？
解析：（l）设0≤t1
经过t天能使湖水污染水平下降到初始污染水平的5%，即g（t）=g（o）·5%，故，所以，故需要天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%。
点评：指数函数是高中阶段重要的函数模型。本题涉及指数函数的单调性、指数式向对数式的转化、不等式等相关知识，有一定的综合度。实际问题中，涉及增长率、银行利润与投资等时常用到指、对数函数，对于这类问题，应注意指、对数函数的单调性及定义域问题。
四、对数函数型
例4 有时可用函数
描述对某学科知识的掌握等程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增加量f（x 1）-f（x）总是下降。
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]、（121，127]、（127，133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。（已知数据eo.05≈1.0513，eo.5≈1.6487） （2）如图2，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为（CE、EA、EB。若），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值。
解析：（l）由已知可得△ABC为等边三角形。
由CD⊥AD，得水下电缆的最短线路为CD。
如图3，过D作DF⊥AB于F，可知地下电缆的最短线路为DF、AB。
易得，AB=2，故该方案的总施工费用为（万元）。
（2）因为，所以CE=EB
则
令。易得
由，得
记
当，即o≤θ<θ。时，g’（θ）<0；当，即时，
所以，等号成立时，
因此总施工费用的最小值为（）万元，其中。
点评：和传统的y=Asin（ωx ψ）型三角函数应用模型不同，越来越多的函数表达式涉及正弦、余弦、正切函数，这些函数最值或范围的解决通常需要借助导数，本题就是一例。高考特别注重在知识的交汇处命题，一个题目往往涉及多个知识点，考查考生灵活运用知识解决问题的能力。以上问题涉及三角函数、导数、不等式等诸多知识，综合性强，需要大家提升综合解决问题的能力。
九、含有max或min的函数型
例9 某企业接到生产3000台某产品的A、B、C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2、2、1（单位：件）。已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件。该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）。设生产A部件的人数为x。
（l）分别写出完成A、B、C三种部件生产需要的时间。
（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。
解析：（l）设完成A、B、C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T1（x）、T2（x）、T3（x）。
由题意得，其中（1 k）x均为l到200之间的正整数。
（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}.
由O
①当k=2时，T1（x）=T2（x），此时f（x）=
由函数T1（x）、T3（x）的单调性，知：当时，f（x）取得最小值，解得。由于而。，故当x=44时，完成订单任务的时间最短，且最短时间为。
②当k>2时，T1（x）>T2（x）。由k为正整数，得k≥3，则
由函数T1（x）、T（x）的单调性，知：当时，ψ（x）取得最小值，解得由于，而，所以此时完成订单任务的最短时间大于。
③当k<2时，T1（x）
综上所述，当k=2时，完成订單任务的时间最短，此时生产A、B、C三种部件的人数分别为44、88、68。
点评：在选优问题中经常会用到max、min型函数，这类问题比较复杂，要借助相关函数的图像将其转化为分段函数。本例的解决涉及分段函数、函数的单调性、最值等，要求考生具有较强的运算能力及分析能力。
通过以上9例，我们不难发现解决应用问题常常按照如下思维展开：
解决函数应用题，应在认真审阅题目的基础上，抓住问题的关键因素和实质，首先对题意进行整体理解，真正理解用文字语言表达出来的实际问题的类型，然后进行字句的理解，注意抓住问题的关键词。
出于立意和创设情境的需要，函数试题设置问题的角度和方式也在不断创新，重视函数思想的考查，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使高考题显得生动和灵活。解决函数应用题，应着力培养下面的一些能力。
（l）阅读理解、整理数据的能力。通过分析、画图、列表、归纳等方法，快速弄清数据之间的关系、数据的单位等。
（2）建立函数模型的能力。关键是正确选择自变量，将问题的目标表示为关于这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些变量之间的相等关系列出函数式，注意不要忽略函数的定义域。
（3）求解函数模型的能力。主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数的图像的作用。
跟踪训练
1.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角。问：怎样剪才能使剩下的残料最少？
参考答案：在边长为60cm的直角边CB上截CD=30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF=20cm时，能使所剩残料最少。
2.某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元。经市场调查知：这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收人为万元。
（l）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（z）。
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
参考答案：（l）当O
（2）当该公司的年产量为475件时，当年所获得的利润最大。 3.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会。据市场调查，当每套丛书售价定为z元时，销售量可达到15-0.lx万套。现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10。假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润一售价一供货价格。
（l）每套从书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
參考答案：（1）每套丛书售价定为100元时，销售量为15-0.1×100=5（万套），此时每套供货价格为（元），书商所获得的总利润为5×（100-32）=340（万元）。
（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为lOO元。
4.某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图5，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图6（注：利润与投资单位：万元）。
（l）分别将A、B两种产品的利润表示为投资z（万元）的函数关系式。
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？
参考答案：（l）设投资x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元。
（2）当A产品投入3.75万元、B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润，为万元。
5.如图7，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点Po出发，沿与AB
的夹角为θ的方向射到边BC 上的点Pl后，依次反射（入射 角与反射角相等）到边CD、
DA和AB上的P2、P3、P4处。
（l）若P4与Po重合，求tanθ的值。
（2）若P4落在A、Po两点之间，且APo=2，设tanθ=t，将五边形PoP1P2P3P4的面积S表示为t的函数，并求S的最大值。
参考答案：（1）
（2）的最大值为。
6.某企业拟建造如图8所示m器c不计厚度，长度 单位：m），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求，容器的体积为，且ι≥2r。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）千元。设该容器的建造费用为y千元。
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域。
（2）求该容器的建造费用最小时的r。
参考答案：（1）
（2）当时，建造费用最小时r=2；当c>9/2时，建造费用最小时