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初中数学开放题的出现是素质教育的产物。素质教育的核心是培养学生的创新能力,而学生的创新能力往往是在解决数学问题的过程中逐渐培养起来的。开放题以其丰富的试题内容和呈现方式,拓宽了解决问题的途径,有效地实现了对学生创新精神和创新能力的考查。开放题的出现,将改革初中数学的教与学的行为,让学生在开放的空间中探求知识,激发学生创新意识,体验成功的乐趣。随着素质教育的深入进行,加强对初中数学开放题的研究就显得意义重大。
一、数学开放题概述
关于开放题的概念,现在国内还没有统一的认识,主要有下列几种描述:
(1)答案不固定或者条件不完备的习题,我们称为开放题;(2)开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题;(3)答案不唯一的问题是开放性的问题;(4)具有多种不同的解法,或有多种可能的解答的问题,称之为开放题。(5)问题不必有解,答案不必唯一,条件可以多余的问题为开放题。
二、开放题的主要常见类型
1.条件开放型:此类型题主要是给定结论,要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。
例:如图,四边形ABCD是矩形,O是它的中心,E、F是对角线AC上的点。
(1)如果________,则ΔDEC≌ΔBFA(请你填上能使结论成立的一个条件);
2.结论开放型:此类型题主要是给定条件,探究其可能存在的结论。
例:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,D为垂足。由以上两个条件可得________。(写出一个结论)
解:∠1=∠2或BD=DC或△ABD≌△ACD等。
3.策略开放型:条件和结论都已知或部分已知,需要探索解题方法或设计解题方案的一类题。
例:按图所示的流程,输入一个数据x,根据y与x的关系式就输出一个数据y,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求:
(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间;
(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大。
流程:开始——输入x——y与x的关系——输出y——结束
4.综合开放型:指条件、结论都开放,即思维策略与解题方法不唯一,思维具有非常规性、发散性和创新性。不同的条件可得到不同结论,不同的结论需要不同的条件。
例:如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E。试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明。
三、数学开放题的教学途径
1.在新课引入中融入适合的开放题,创设课堂悬念,激发学生的学习兴趣。如讲沪科版20.3.1矩形的判定时,可问学生:添加什么条件,平行四边形ABCD就为矩形?学生会说出不同的答案,教师要抓住这一契机,引出课题,这样能引起了学生的兴趣和求知欲,也就调动了学生的积极性。
2.在课堂结构设计中融入开放题,让学生参与知识的形成过程。教师要为学生营造轻松、活泼的课堂氛围,鼓励学生大胆猜想、发现、论证,培养学生分析问题与解决问题的能力,注意选材要合适,难度要适当,教学中不能急于求成,需要循序渐进。在七年级进行开放题的教学时,可以先让学生都尽早地接触一些很简单的开放题,让他们有一个粗浅的感性的认识。例如说出三个负有理数,2x表示的实际意义,写出与x2y3的两个同类项,写出一个方程,使它们的解是x=1等等。
进入八年级,便需对所给的开放题稍加难度和设有梯度,并增加一些开放题的类型。如已知x2-ax-24在整数范围内可以分解因式,则整数a的值是______(只需填二个);例如某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)并且使整个矩形场地成轴对称图形,请在矩形中画出你设计的方案。这是一道解题过程开放和结论开放的数学作图问题,给学生提供了发挥创新思维的广阔空间,对学生创新能力的培养提供了良好的机遇,从而也提示与督促教师进行创新性的开放式教学。
3.改造例题、习题为开放性问题,也可在处理课外作业时适时给出一定的开放题,让学生有足够的时间和空间去思考,以培养学生的发散思维及独立解决问题的能力。
例 已知: ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,AE=CF,点M、N是ED,BF的中点,求证:四边形EMFN是平行四边形。(沪科版初中《数学》八年级下册第106页A组复习题第5题)
可改为:已知: ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,AE=CF,点M、N是ED,BF的中点,问:还须追加什么条件,四边形EMFN是菱形?为矩形?为正方形?
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
一、数学开放题概述
关于开放题的概念,现在国内还没有统一的认识,主要有下列几种描述:
(1)答案不固定或者条件不完备的习题,我们称为开放题;(2)开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题;(3)答案不唯一的问题是开放性的问题;(4)具有多种不同的解法,或有多种可能的解答的问题,称之为开放题。(5)问题不必有解,答案不必唯一,条件可以多余的问题为开放题。
二、开放题的主要常见类型
1.条件开放型:此类型题主要是给定结论,要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。
例:如图,四边形ABCD是矩形,O是它的中心,E、F是对角线AC上的点。
(1)如果________,则ΔDEC≌ΔBFA(请你填上能使结论成立的一个条件);
2.结论开放型:此类型题主要是给定条件,探究其可能存在的结论。
例:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,D为垂足。由以上两个条件可得________。(写出一个结论)
解:∠1=∠2或BD=DC或△ABD≌△ACD等。
3.策略开放型:条件和结论都已知或部分已知,需要探索解题方法或设计解题方案的一类题。
例:按图所示的流程,输入一个数据x,根据y与x的关系式就输出一个数据y,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求:
(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间;
(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大的对应的新数据也较大。
流程:开始——输入x——y与x的关系——输出y——结束
4.综合开放型:指条件、结论都开放,即思维策略与解题方法不唯一,思维具有非常规性、发散性和创新性。不同的条件可得到不同结论,不同的结论需要不同的条件。
例:如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E。试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明。
三、数学开放题的教学途径
1.在新课引入中融入适合的开放题,创设课堂悬念,激发学生的学习兴趣。如讲沪科版20.3.1矩形的判定时,可问学生:添加什么条件,平行四边形ABCD就为矩形?学生会说出不同的答案,教师要抓住这一契机,引出课题,这样能引起了学生的兴趣和求知欲,也就调动了学生的积极性。
2.在课堂结构设计中融入开放题,让学生参与知识的形成过程。教师要为学生营造轻松、活泼的课堂氛围,鼓励学生大胆猜想、发现、论证,培养学生分析问题与解决问题的能力,注意选材要合适,难度要适当,教学中不能急于求成,需要循序渐进。在七年级进行开放题的教学时,可以先让学生都尽早地接触一些很简单的开放题,让他们有一个粗浅的感性的认识。例如说出三个负有理数,2x表示的实际意义,写出与x2y3的两个同类项,写出一个方程,使它们的解是x=1等等。
进入八年级,便需对所给的开放题稍加难度和设有梯度,并增加一些开放题的类型。如已知x2-ax-24在整数范围内可以分解因式,则整数a的值是______(只需填二个);例如某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)并且使整个矩形场地成轴对称图形,请在矩形中画出你设计的方案。这是一道解题过程开放和结论开放的数学作图问题,给学生提供了发挥创新思维的广阔空间,对学生创新能力的培养提供了良好的机遇,从而也提示与督促教师进行创新性的开放式教学。
3.改造例题、习题为开放性问题,也可在处理课外作业时适时给出一定的开放题,让学生有足够的时间和空间去思考,以培养学生的发散思维及独立解决问题的能力。
例 已知: ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,AE=CF,点M、N是ED,BF的中点,求证:四边形EMFN是平行四边形。(沪科版初中《数学》八年级下册第106页A组复习题第5题)
可改为:已知: ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,AE=CF,点M、N是ED,BF的中点,问:还须追加什么条件,四边形EMFN是菱形?为矩形?为正方形?
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