论文部分内容阅读
化归思想是指当问题难以直接解决时，根据问题的性质、条件和关系的特点，采取适当的变换方法而对问题进行转换，最终把它化为容易的或已经解决的问题。数学问题的解决，总离不开化归，如未知向已知的化归、新知识向旧知识的化归、复杂问题向简单问题的化归、实际问题向数学问题化归等，化归思想是数学思想方法体系主线之一。
匈牙利数学家罗莎曾对化归思想作过十分形象的描述：
假设你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧一壶水，你应该怎样做？
这个问题很简单，谁都知道做法：先拿水壶到水龙头下装满水，再划火柴点燃煤气，然后把水壶放到煤气灶上。接着罗莎在此基础上又提出一个问题：
假设所有条件仍和原来一样，只是在水壶中已经装满了水，这时你该这样去做？
对于第二个问题，人们往往这样回答：那就只要划火柴、点煤气，再把水壶放到煤气灶上。但是罗莎指出：对于数学家来说，这还不是最好的答案，因为只有物理学家会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称已经把第二个问题转化为第一个问题，而第一个问题是已经解决了的。
罗莎这一比喻生动揭示化归思想的实质：就是把新问题转化成已经解决的问题来解决，把复杂的问题转化成简单的问题来解决。
例如下面几道例题：
例1.有5只猴子分一堆桃子，他们想平均分配，但无论如何也分不下去。于是大家约定先去睡觉，明天再分。晚上第一个猴子趁大家熟睡，走到桃子边，先吃掉一个后，剩下的恰好可以平均分成5份。这个猴子把其中一份藏了起来，然后去睡觉，过了一会第二个猴子起来，在剩下的桃子中拿一个吃了，其余的又恰好能平均分成5份，第二个猴子也藏了其中一份后去睡觉。接着第三、第四个猴子都照次办理。最后第五个猴子起来，把剩下的桃子吃掉一个后，余下的桃子也恰能平均分成5份。问最少有多少只桃子。
这道题有多种解法。如果用不定方程求解，比较麻烦。特别是如果把5只猴子推广为[n]只猴子，计算量就更大。利用化归思想，把它化为一个典型的等比数列问题，就可以得到一个比较简洁的解法 ：
设开始有[x]个桃子，[n]只猴子。第[k]只猴子藏去的一份桃子数为[xk]则得到一个正整数列：[x1，x2，???，xn]
它满足递推关系：[（n-1）xk-1-1=nxk，]两边加上[n]则得[（n-1）（xk-1+1）=n（xk+1）.]
令[yk=xk+1，] 则 [y1，y2，???，yn] 是一个公比为[n-1n]的等比级数：[yk=n-1nyk-1，] 或 [yn=（n-1n）n-1y1.]由于是[yn]正整数，[y1]最小应为[nn-1，]从而[x1]最小为[nn-1-1.]再注意到[x-1=nx1，]即得[x]的最小值为[nx1+1=n（nn-1-1）+1=nn-（n-1）]本题中取[n]=5，即得[x=55-4=3121.]
例2.（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h.求证三棱锥P—ABC的体积[V=16l2h]。
分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求.如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境.
解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD.这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以
VP-ABC=VP-ECD+VA-ECD=[13]S△ECD·AE+[13]S△ECD·PE=[13]S△ECD ·PA
=[13]·[12]BC·ED·PA=[V=16l2h]。
点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。
（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。
分析：由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。
证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC=∠NSC
又∵ ∠DCM=∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC=∠SNC=Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
點评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。
最后再看下面这道题：
例3.把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。
分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。
解析：如图，设矩形的一边长为x，则半圆的周长为[πx2]
矩形的另一边长为[AB=12（P-x-πx2）]=[2P-（π+2）x4]
设零件的面积为S，则
S=[12?][π4x2+x?][2P-（π+2）x4]=[-π+48x2+P2x]
∵a<0 ∴当[x=-b2a=2Pπ+4]时，S有最大值，这时AB=[Pπ+4]。
∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1︰2时，Smax=[P28+2π]。
点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。
通过以上例题可以看出，将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂。化归思想是数学中十分重要的解题。
匈牙利数学家罗莎曾对化归思想作过十分形象的描述：
假设你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧一壶水，你应该怎样做？
这个问题很简单，谁都知道做法：先拿水壶到水龙头下装满水，再划火柴点燃煤气，然后把水壶放到煤气灶上。接着罗莎在此基础上又提出一个问题：
假设所有条件仍和原来一样，只是在水壶中已经装满了水，这时你该这样去做？
对于第二个问题，人们往往这样回答：那就只要划火柴、点煤气，再把水壶放到煤气灶上。但是罗莎指出：对于数学家来说，这还不是最好的答案，因为只有物理学家会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称已经把第二个问题转化为第一个问题，而第一个问题是已经解决了的。
罗莎这一比喻生动揭示化归思想的实质：就是把新问题转化成已经解决的问题来解决，把复杂的问题转化成简单的问题来解决。
例如下面几道例题：
例1.有5只猴子分一堆桃子，他们想平均分配，但无论如何也分不下去。于是大家约定先去睡觉，明天再分。晚上第一个猴子趁大家熟睡，走到桃子边，先吃掉一个后，剩下的恰好可以平均分成5份。这个猴子把其中一份藏了起来，然后去睡觉，过了一会第二个猴子起来，在剩下的桃子中拿一个吃了，其余的又恰好能平均分成5份，第二个猴子也藏了其中一份后去睡觉。接着第三、第四个猴子都照次办理。最后第五个猴子起来，把剩下的桃子吃掉一个后，余下的桃子也恰能平均分成5份。问最少有多少只桃子。
这道题有多种解法。如果用不定方程求解，比较麻烦。特别是如果把5只猴子推广为[n]只猴子，计算量就更大。利用化归思想，把它化为一个典型的等比数列问题，就可以得到一个比较简洁的解法 ：
设开始有[x]个桃子，[n]只猴子。第[k]只猴子藏去的一份桃子数为[xk]则得到一个正整数列：[x1，x2，???，xn]
它满足递推关系：[（n-1）xk-1-1=nxk，]两边加上[n]则得[（n-1）（xk-1+1）=n（xk+1）.]
令[yk=xk+1，] 则 [y1，y2，???，yn] 是一个公比为[n-1n]的等比级数：[yk=n-1nyk-1，] 或 [yn=（n-1n）n-1y1.]由于是[yn]正整数，[y1]最小应为[nn-1，]从而[x1]最小为[nn-1-1.]再注意到[x-1=nx1，]即得[x]的最小值为[nx1+1=n（nn-1-1）+1=nn-（n-1）]本题中取[n]=5，即得[x=55-4=3121.]
例2.（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h.求证三棱锥P—ABC的体积[V=16l2h]。
分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求.如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境.
解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD.这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以
VP-ABC=VP-ECD+VA-ECD=[13]S△ECD·AE+[13]S△ECD·PE=[13]S△ECD ·PA
=[13]·[12]BC·ED·PA=[V=16l2h]。
点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。
（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。
分析：由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。
证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC=∠NSC
又∵ ∠DCM=∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC=∠SNC=Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
點评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。
最后再看下面这道题：
例3.把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。
分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。
解析：如图，设矩形的一边长为x，则半圆的周长为[πx2]
矩形的另一边长为[AB=12（P-x-πx2）]=[2P-（π+2）x4]
设零件的面积为S，则
S=[12?][π4x2+x?][2P-（π+2）x4]=[-π+48x2+P2x]
∵a<0 ∴当[x=-b2a=2Pπ+4]时，S有最大值，这时AB=[Pπ+4]。
∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1︰2时，Smax=[P28+2π]。
点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。
通过以上例题可以看出，将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂。化归思想是数学中十分重要的解题。