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抽象函数是指没有给出具体表达式的函数,它往往与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等诸多性质联系在一起,具有抽象性、综合性和技巧性等特点。这类函数问题运算量不大,但思维水平较高,主要考查数学思想、方法和数学语言、符号的阅读理解能力。它既是高中数学函数部分的难点,又是近年来高考的热点。不少同学对此类问题往往感到无从下手,为了使抽象函数问题的解决有“章”可循,有“法”可依,本文结合具体问题分类其求解策略。
一、利用特殊模型的解题思想
利用特殊模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:
■
若能充分利用这些模型解题,既可掌握解决数学问题的规律,又可体会到人们对事物的认识总是在感性认识的基础上通过抽象概括上升为理性认识,最终揭示事物的本质这一认识规律。
1.利用特殊模型直接解抽象函数客观题
例1、已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)(y),且当x<0时,f(x)>1,则当x>0时,f(x)的取值范围是____________
分析:令f(x)=ax(0 例2、若对任意正实数x,y总有f(xy)=f(x)+f(y);(1)求f(1)=__________; (2)若f(2)=1,求f(1024)=__________
分析:令f(x)=logax易得f(1)=0;由f(2)=1得a=2,∴f(1024)=log2210=10
评注:借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题方法,可以迅速得结果。
2.借助特殊模型为解抽象函数问题铺路
对于抽象函数解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可借助特殊模型理解题意;同时,对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题,要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型,从而得到抽象函数问题的求解方法。
例3、已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),(1)求证:f(1)=f(-1)=0;(2)求证:f(x)为偶函数;(3)若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(1-x)≤0。
分析:因为定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以用f(x)=logax(0 解:(1)令x=y=1得f(1)=0,令x=y=-1得f(-1)=0;(2)令y= -1得f(-x)=f(x);(3)∵f(x)为偶函数,∴f(x)+f(1-x)=f(|x|)+f(|1-x|)=f(|x(1-x)|)≤f(1),又f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴|x(1-x)|≤1
评注:借助特殊函数模型铺路是解抽象函数问题的常用处理方法,这样做不仅使学生感到抽象函数并不是无章可循、玄妙莫测,而且为更深入地研究抽象函数打下了良好的基础。
二、利用函数性质的解题思想
函数的特征是通过各种性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设表明或隐含的函数性质,运用适当的数学方法,才能顺利解决抽象型函数问题。
1.利用奇偶性,整体思考
例4、已知函数f(x)=ax+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值。
分析:f(x)的解析式中含有两个参数a、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法用待定系数法确定a、b的值,因此解析式不确定,注意到g(x)=ax+bsinx=f(x)-3是奇函数,可得g(-3)= -g(3),
即f(-3)-3=-[f(3)-3],f(3)=6-f(-3)=-1。
评注:这种解法运用了整体思想,先化整体为局部,再由各局部的解决使整体问题得解。
2.利用单调性,等价转化
例5、已知奇函数f(x)在(-1,1)上是减(下转第150页)(上接第143页)函数,试求满足不等式的的取值范围。
分析:由单调性,脱掉抽象的函数记号,原不等式等价于:-1<1-a<1-1a2-1,解得0 评注:抽象函数与不等式的综合题常需利用单调性,脱掉函数记号。
3.利用周期性,回归已知
例6、已知f(x)是定义在正整数集上的函数,对任意正整数x都有f(x)=f(x-1)+f(x+1),且f(1)=2002。
分析:根据x的任意性,利用递推找出函数的周期。
解:由f(x)=f(x-1)+f(x+1)可知
f(x+1)=f(x)+f(x+2)f(x+2)=f(x+1)+f(x+3)解得:f(x+3)=-f(x)
∴f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)
∴函数f(x)是以6为周期的周期函数
∴f(2002)=f(333×6+4)=f(4)=f(3+1)=-f(1)=-2002
评注:对一类抽象函数求值问题,充分利用周期性,可化未知为已知。
4.利用对称性,数形结合
例7、已知函数f(x)对一切实数x都有f(2+x)= f(2-x),如果方程f(x)=0恰好有4个不同的实根,求这些实根之和。
分析:由f(2+x)=f(2-x)知直线x=2是函数图象的对称轴,又f(x)=0有四根,现从大到小依次设为x1、x2、x3、x4,则x1与x4,x2与x3均关于x=2对称,∴x1+x4=2×2=4,x2+x3=2×2=4,∴x1+x2+x3+x4=8。
评注:一般地,若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则直线x=a是函数图象的对称轴,利用对称性,数形结合,可使抽象函数问题迎刃而解。
三、利用特殊方法的解题思想
对于用常规解法难以解决的数学问题,若利用一些特殊的数学思想方法求解,有时会收到事半功倍的效果。其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法。赋值主要从以下方面考虑:①令x=…、-2、-1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值;②令x=x2,y=x1或y=■,且x1 例8、已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+1)=■,(f(x)≠0,1),若f(1)=2,求f(2002)的值。
解:在f(x+1)=■中,将x换为x+1,有f(x+2)=■=■=-■,从而f(x+4)=-■=-■=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数,故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=■=-3.
评注:方程观点是处理数学问题的一个基本观点,挖掘隐含条件,合理赋值,构造方程(组),化函数问题为方程问题,可使这类抽象函数问题迅速获解。
以上列举了求解抽象型函数问题的解题思想,处理这类问题时,常需将几种解题思想综合运用,“多管齐下”。通过抽象型函数问题的解题思想的探求,可以提高学生的解题能力,培养学生的创新思想。
一、利用特殊模型的解题思想
利用特殊模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:
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若能充分利用这些模型解题,既可掌握解决数学问题的规律,又可体会到人们对事物的认识总是在感性认识的基础上通过抽象概括上升为理性认识,最终揭示事物的本质这一认识规律。
1.利用特殊模型直接解抽象函数客观题
例1、已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)(y),且当x<0时,f(x)>1,则当x>0时,f(x)的取值范围是____________
分析:令f(x)=ax(0
分析:令f(x)=logax易得f(1)=0;由f(2)=1得a=2,∴f(1024)=log2210=10
评注:借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题方法,可以迅速得结果。
2.借助特殊模型为解抽象函数问题铺路
对于抽象函数解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可借助特殊模型理解题意;同时,对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题,要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型,从而得到抽象函数问题的求解方法。
例3、已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),(1)求证:f(1)=f(-1)=0;(2)求证:f(x)为偶函数;(3)若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(1-x)≤0。
分析:因为定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以用f(x)=logax(0
评注:借助特殊函数模型铺路是解抽象函数问题的常用处理方法,这样做不仅使学生感到抽象函数并不是无章可循、玄妙莫测,而且为更深入地研究抽象函数打下了良好的基础。
二、利用函数性质的解题思想
函数的特征是通过各种性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设表明或隐含的函数性质,运用适当的数学方法,才能顺利解决抽象型函数问题。
1.利用奇偶性,整体思考
例4、已知函数f(x)=ax+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值。
分析:f(x)的解析式中含有两个参数a、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法用待定系数法确定a、b的值,因此解析式不确定,注意到g(x)=ax+bsinx=f(x)-3是奇函数,可得g(-3)= -g(3),
即f(-3)-3=-[f(3)-3],f(3)=6-f(-3)=-1。
评注:这种解法运用了整体思想,先化整体为局部,再由各局部的解决使整体问题得解。
2.利用单调性,等价转化
例5、已知奇函数f(x)在(-1,1)上是减(下转第150页)(上接第143页)函数,试求满足不等式的的取值范围。
分析:由单调性,脱掉抽象的函数记号,原不等式等价于:-1<1-a<1-1
3.利用周期性,回归已知
例6、已知f(x)是定义在正整数集上的函数,对任意正整数x都有f(x)=f(x-1)+f(x+1),且f(1)=2002。
分析:根据x的任意性,利用递推找出函数的周期。
解:由f(x)=f(x-1)+f(x+1)可知
f(x+1)=f(x)+f(x+2)f(x+2)=f(x+1)+f(x+3)解得:f(x+3)=-f(x)
∴f(x+6)=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)
∴函数f(x)是以6为周期的周期函数
∴f(2002)=f(333×6+4)=f(4)=f(3+1)=-f(1)=-2002
评注:对一类抽象函数求值问题,充分利用周期性,可化未知为已知。
4.利用对称性,数形结合
例7、已知函数f(x)对一切实数x都有f(2+x)= f(2-x),如果方程f(x)=0恰好有4个不同的实根,求这些实根之和。
分析:由f(2+x)=f(2-x)知直线x=2是函数图象的对称轴,又f(x)=0有四根,现从大到小依次设为x1、x2、x3、x4,则x1与x4,x2与x3均关于x=2对称,∴x1+x4=2×2=4,x2+x3=2×2=4,∴x1+x2+x3+x4=8。
评注:一般地,若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则直线x=a是函数图象的对称轴,利用对称性,数形结合,可使抽象函数问题迎刃而解。
三、利用特殊方法的解题思想
对于用常规解法难以解决的数学问题,若利用一些特殊的数学思想方法求解,有时会收到事半功倍的效果。其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法。赋值主要从以下方面考虑:①令x=…、-2、-1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值;②令x=x2,y=x1或y=■,且x1
解:在f(x+1)=■中,将x换为x+1,有f(x+2)=■=■=-■,从而f(x+4)=-■=-■=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数,故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=■=-3.
评注:方程观点是处理数学问题的一个基本观点,挖掘隐含条件,合理赋值,构造方程(组),化函数问题为方程问题,可使这类抽象函数问题迅速获解。
以上列举了求解抽象型函数问题的解题思想,处理这类问题时,常需将几种解题思想综合运用,“多管齐下”。通过抽象型函数问题的解题思想的探求,可以提高学生的解题能力,培养学生的创新思想。