【摘 要】
：
著名澳籍华裔数学家、菲尔兹奖获得者陶哲轩，最近谈了他对数学学习的一些认识.他说，学校刚教授数学时往往会采用一种直观的、非正式的方法（比如用斜率和面积来表述导数和积分）.然后再告知学生要用更精确和正式的方法（比如用ε和Δ描述导数）来解决和思考问题.他认为，知道怎样严格地进行推理当然很重要，因为这可以使你避免某些常见错误，排除一些错觉.但不幸的是，这也把由“模糊式”和直觉式思考能得到的那种意料之外的结
论文部分内容阅读
著名澳籍华裔数学家、菲尔兹奖获得者陶哲轩，最近谈了他对数学学习的一些认识.他说，学校刚教授数学时往往会采用一种直观的、非正式的方法（比如用斜率和面积来表述导数和积分）.然后再告知学生要用更精确和正式的方法（比如用ε和Δ描述导数）来解决和思考问题.他认为，知道怎样严格地进行推理当然很重要，因为这可以使你避免某些常见错误，排除一些错觉.但不幸的是，这也把由“模糊式”和直觉式思考能得到的那种意料之外的结果，因为“不严格”而抛弃了.通常，如果一个人把天生的直觉给抛弃了，那他只能做一些常规的数学了.
他指出，严密，不是说把直觉都扔掉，而是用来把那些错误的直觉剔除掉，提取和保留正确的直觉.只有把严格的形式和直觉结合起来，才能解决复杂的数学问题：前者用来正确地解决一些细节问题，后者用来把握整体.缺少两者中的任何一个，都会让你在黑暗中摸索很久（虽然这也许行得通，但效率很低）.所以，在你熟悉严密的数学思考方式之后，应该重新发挥你的直觉，并运用你新掌握的思考技巧来检查和提炼這些直觉，而不是抛弃它们.学生要达到的理想状态，是每次探索式的论证都能自然而然地导出严格的论证，反之亦然.
（褚桂营 整理）
其他文献
1952年12月5日，整个伦敦城笼罩在浓浓的烟雾之中，没有风，那时的英国主要靠燃烧煤炭取暖，伦敦城空气中的污染物包括煤灰、焦油、二氧化硫等越积越多，可怕的烟雾一直持续到9日，方才被风吹散，这就是臭名昭著的伦敦烟雾事件，仅仅四天的烟雾，却带来了可怕的灾难，这四天，伦敦的非自然死亡人数高达4 000人。后来又有约8 000人在那个冬天因为这场烟雾死去，化石燃料，尤其是燃烧煤炭产生的严重污染，其威力之大
如图1.这是一个非凡的图形.它刊载于七百多年前南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，人们称之为“杨辉三角”.杨辉还在书中说，这个图出自贾宪的《释锁》算书.但可惜的是，贾宪的书失传了，在西方的数学史著作中，把这个图形称为“帕斯卡三角”，西方人认为这个图形是法国数学家帕斯卡（1623-1662）于1645年首创的，其实，在杨辉之后，中国元代数学家朱世杰在其《四元玉鉴》（1303年）一书中还曾用过
2012年9月，这里将竖立起一台亚洲最大、世界第四的射电天文望远镜，这个口径65m，高70m，主反射面的面积相当于8个篮球场的超级“耳朵”，将显著提升我国深空沿定轨能力，并将为“嫦娥三 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装
在上两篇中，我们介绍了储能装置中的传统电容器和超级电容器的工作原理，懂得了电容器是直接储电的装置，我们还提过一种电容器。叫做赝电容器，它其实借用了电池的部分工作原理。所以不是纯粹的电容器，故日赝，接下来的几篇文章，我们先来了解电池。 电池的名字很有讲究，因为通常装有液体电解质，故日“池”，这一点有别于多数电容器，电池是个很古老的装置，它和蒸汽机是“同班同学”，民用的蒸汽机已经很少见了，而我们接触
你看。初学游泳的Tom套着可爱的游泳圈战战兢兢地站在跳水池边。望着水发呆 他很想尝试跳水及落水后在水里自由自在游泳的感觉。可又怕出事，因此在池边反复地纠结着是否往下跳。Tom告诉自己：“没事，跳吧! 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装
谈到脂肪，很多喜欢苗条的同学不禁退避三舍。其实脂肪不仅是食品的重要组成部分和人类所需的营养成分，还可以提供食品滑润的口感、光润的外观、赋予油脂食品香酥的风味，还可以保持食品中的水分，如肉中的脂肪就可使肉类具备特有的香气。并赋予吞咽时爽滑的口感。脂肪也可携带、加强、释放其他食品原料中的风味，在奶油的生产中通过包裹空气来增加焙烤食品的可塑性。另外，脂肪还是脂溶性维生素的载体，也是人体必需脂肪酸、氨基酸
高明的爸爸正在驾校学开车，准备考驾照，他在练习倒库时，由于技术不熟练，好几次都没有把车倒进库里，一同来学习的老李道：“你不是飞行员吗？老说自己驾驶飞机的技术有多高，怎么倒车都倒不好？”其实，高明的爸爸退休前在飞机场做后勤工作，并没有驾驶过飞机，说开过飞机只是对老李吹牛，老李这么一说，高明的爸爸就愣住了，老李仍然不依不饶：“这开车不会比开飞机更难吧？”没想到，高明的爸爸哼了一声，说：“你知道什么啊，
我国古代乐器多种多样，不同的乐器，发声的原理也不尽相同。 1.笛子 如图l所示。我国笛子历史悠久。可以追溯到新石器时代。1987年河南省舞阳县贾湖遗址出土了7孔贾湖骨笛（距今约9 000年），是世界上最早的可吹奏乐器。 笛子是利用空气振动发声的原理制成的。当吹笛子时。气体从吹孔边缘进入笛子内部。引起笛子中的空气柱振动发声。空气柱的长短不同，发出的声音的音调也不同。这样就可以吹出不同的乐曲。
为何调水 地球表面的70%覆盖着水，其中97%是人类无法直接饮用或使用的海水，在余下的3%的淡水中，大部分分布在南北两极的固体冰川中，仅有1%的淡水可供人类开发利用.即便是如此之少的淡水，在地区分布上也极不均衡.目前.世界上有26个国家约3亿人生活在经常缺水状态.预计到2025年，全世界将有30亿人面临缺水，40个国家和地区淡水严重不足， 河川径流是人类最早利用的水资源，也是实现上、中、下游地
我的猜想 我们接触的声音各种各样，有的听起来音调高，有的听起来音调低．声音为什么会有音调的高低不同？也许是物体振动得快，发出的音调就高，振动得慢，发出的音调就低的缘故吧. 实验装置 如图１所示，利用钢尺和课桌进行实验. 实验操作 将一把钢尺紧按在桌面上，一端伸出桌边.拨动钢尺，听它振动发出的声音，同时注意钢尺振动的快慢.改变钢尺伸出桌边的长度，用相同大小的力再次拨