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【摘要】高三复习的逻辑就是要明确目标在哪，学生基础在哪，采取什么策略帮助学生达到目标，有哪些表现说明学生已经到哪里.这就决定高三复习的策略：明确高考考什么，怎样考；研究数学学习规律和影响学生解题的因素；制定复习策略；贯彻始终的评估策略.
【关键词】高三复习；策略；思维特征；评估
高三复习是高中教学的重要组成部分，每个备课组、每位教师都有自己系统的高三复习逻辑和策略，本文意在探究高三复习的逻辑和具体策略及其依据.
高三复习和新授课一样，需要明确四点：目标在哪？学生基础在哪？采取什么策略帮住学生达到目标？有哪些表现说明学生已经到哪里？这就是高三复习的逻辑.这也决定高三复习需做好的四项工作.1.明确高考考什么，怎样考；2.研究数学学习规律和影响学生解题的因素；3.制定复习策略；4.贯彻始终的评估策略.
1明确高考考什么，怎样考
高考考什么？当然是考查学生的数学核心素养，最核心的是数学逻辑推理能力，抽象概括能力.再具體一点就是考纲要求的四基（基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验），六大能力（空间想象力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力）和个性品质，明确怎样考需要做以下四点工作.
1.1梳理高考题
可以用思维导图梳理近三年本省和全国高考每一部分知识点考查角度和立意、呈现形式.以函数与导数为例.
高考立意：①考查学生所学函数与导数基本知识、技能、思想方法，核心概念；②主要考查学生逻辑推理和运算能力；③数学思想：转化与化归，分类讨论；④最终考查学生分析解决新问题的能力（构建新函数并研究其性质）
考查特点：①情景设置：以基本函数为载体，加上参数，构建新函数；以高等数学为背景，高立意，低起点；②设问方式：丰富多彩；③解决方法：灵活多变（以解析式的代换、变换为主）.
1.2研究高考命题人如何想？想要什么？
研究命题人的思路，可以和命题人交流，也可以看命题人写的文章，看命题人导向什么？
1.3研究教研员怎样想？往届老师怎样做？
省级或区级教研员一般都有丰富的备考经验，可以多和他们交流，明确更多备考信息，当然本校老师，特别是上一届的高三老师的经验与教训，都是最好的、最直接实用的资源.1.4构建每一部分知识点的思维特征
数学每部分知识都有明显的思维特征，比如函数与导数的思维特征是分析一个量的变化是如何影响另一个量的.但是有些抽象，可以具体化为以下思维特征，这就要求你在函数与导数复习中始终贯彻这个思维特征.
俗语：有的放矢.教师多做研究，学生就少走弯路；教师多做题，学生就少做题.
2研究数学学习规律、影响学生解题的因素分析
2.1数学学习大致经过这几个过程：“听懂——理解——建立联系——模仿——熟练——迁移应用——创新”七个环节.他们之间没有明确的界限，都有交集，每一个环节都是一个过程，有时还会倒退到低一层级.
2.2通过课前测试、个人教学经验、往届学生错题的积累，掌握学生学习情况，分析影响学生解决问题的因素.内部因素：知识基础、解题策略，调控能力，元认知能力，信念，外部因素：问题熟悉程度，问题特点，复杂程度，问题情境.
俗语：知彼知己，百战不殆，有备无患.研究学生怎样学习是人类永远的课题，研究学生贯彻于学习全过程.
3做好教学策略研究，落实好学习过程
3.1设计整体复习计划
不谋全局者，不足谋一域，善谋者谋全局.备课组一起商议整个高三复习计划，包括整体目标、策略，每一阶段目标、策略，目标要分解到每一个课时，分数目标具体到班级、学生，备课组人员分工等.以提升学生思维能力为目标，以各部分知识的思维特征为主线，以课堂为主场景，以体验、交流、分享为手段，消枝强干，以课堂和课后测试为评估手段，分阶段、个性化指导为保障，设计高三各个阶段的复习计划.
3.2做好单元设计
学案设计以单元进行，单元设计内容包括：考试要求，单元基本问题，每一课时内容.先给出一个基本问题为切入点，让学生明确本单元研究的主要问题和方法.比如函数与导数的单元问题：函数是我们多年的朋友，我们已经认识很多“函数小朋友”，现在把这些函数小朋友任意组合会产生新的朋友，比如下面几个新朋友，你还认识他们吗？研究它们的哪些性质？怎么研究它们的性质？
函数性质（1）f（x）=x-lnx（2）g（x）=xlnx（3）h（x）=lnxx复习材料组织立足以下三个维度：①落实基础知识、基本问题、基本方法；②基于对学生学习水平的估计，深化对单元核心概念及其联系的理解；③揭示核心概念蕴含的数学思维方法，每单元的数学思维特征；④开放性问题激发学生思考，提高学生研究问题、解决问题的能力，发展学生思维.
3.3设计课堂理解活动，促进学生理解，实现深度交流和学习
以数学思维特征为主线的高三复习课理解活动流程：前测或访谈——确定课时复习主题——学生先行体验——师生共同交流——梳理思维特征——落实与领悟解决方法——迁移应用新的问题——做好反馈校正.
高三课堂追求达到的标准：主题设计系统化，思维特征精准化，学习过程可视化，学习结果迁移化，反馈校正及时化，知识学习个性化、感情化；学习现代化，从学生需求出发，提高教学供给侧改革.
案例1已知函数f（x）=2sin（2x π3）-32.
（Ⅰ）求f（π6）的值，并说出你的运算次序，和同伴交流是否正确；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-π3，π6]的取值范围，其中区间[-π3，π6]是指谁的范围？
解析f（π6）=32.运算次序： x=π62x=π32x π3=2π3sin（2x π3）=322sin（2x π3）=3
2sin（2x π3）-32=32.
因此对于每一个x值，都要经过以上5步运算才能得出对应函数值.而第3步运算中，是把（2x π3）当成一个角来看，直接求其函数值，这就是“换元法”.那么对于属于区间[-π3，π6]内的任意x，如何求对应函数值？只需把上面运算中的x=π6换成-π3≤x≤π6，所以-π3≤2x π3≤2π3，把2x π3当做一个角α，画出正弦函数y=sin x的图像，观察图形求出：
当2x π3=π2，即x=π12時，f（x）max=2-32.当2x π3=-π3，即x=-π3时，f（x）min=-332.
理解此原理，学生只要会画正弦函数y=sin x的图像就可以求解.凸显出基本初等函数的重要性，体现数学中的化归思想[1].
学生亲历指向思维的理解活动，学生在做中把自己的思维链条衔接上，并把个人的理解结果外显化：同伴间相互说出来，自己写出来（这是衡量一个学生是否理解的有效评价方法）.经过这样的信息输入和输出的过程，才会在他脑子里留下痕迹，建构起解决此类问题的一种“新图式”，在今后遇到类似问题时能够调动出已知的“新图式”，这是理解的过程.如果跨过这个过程，只凭记忆结论做题，“看似快，实则慢”.
课堂问题可以适当提高难度.适当提高问题的难度有着生理基础和心理基础.从神经生物学的角度看对于某些任务，如果人们不断进行长期训练和反复练习，大脑便会为这些任务分配额外的神经元，这就像计算机会给复杂程序分配更多的记忆内存一样.这些额外分配的神经元或多或少被永久地保留下来.例如专业键盘手或弦乐师拥有更多的运动皮层来控制手指和手部的运动.如果训练完全停止，不再被使用的神经元最终会分配给其他任务，技巧的熟练程度就会随之降低.从心理角度讲，学生更愿意做有一定挑战性活动[2].
3.4利用“微单元设计”突破“思维障碍”
俗话说：打蛇打七寸，牵牛要牵牛鼻子，在学生最困难的地方舍得花功夫，通过单元设计解决学生问题.
案例2应用导数研究函数单调性.开始我领着学生总结对参数分类讨论的思考流程，但学生用起来并没达到我的理想效果，于是我让学生自己建构流程图，效果好些，今年我让学生提炼每一步的解题意识，学生丰富流程图如下[3]：解题中的自我监控能力，是一个人的元认知能力.匈菲尔德（Schoenfeld，1985）强调数学解题需考虑四个因素：知识基础、解题策略、自我控制、信念系统.他从专家和新手的解题对比研究中看到：专家的一个典型特征是始终监控和调整自己在解题中的行为.波利亚在《怎样解题》中介绍了解题表，给出解题的四个环节：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾.同时给出很多解题的自我调控意识：要做什么只要知道什么？我已经知道什么？能推出什么？有没有一个类似的我解过的题目？在具体教学中还要结合数学的每一部分知识给出具体的解题意识，提高学生的思维品质.
3.5巩固落实与评估策略
策略1：通过每天半小时的作业评估训练，个性化访谈，测试等手段，及时发现学生学习问题，定位到人、到知识点、到解法.用电子表格统计每一个学生的错误点，汇总，根据个人需求提供不同学案、作业实现个性化.
案例3已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则AE·BD=.
一个基础填空题，所考查的内容是向量的基本运算，得分率仅为065，问题是什么呢？我认为是学生向量的分解方向或运算出错，主要还是对运算法则不熟练，另外没有选择用坐标运算来做.对学生访谈却惊奇的发现有部分同学的错误竟然是正方形顶点的字母标记规则不对，错误的标成下图的形式，并且有同学当我们交流时都还没有意识到错误！他们的问题不是向量知识和方法的问题，这是没有想到的！如果没有这次的访谈，这个问题学生和老师都不会关注到，仅仅会认为是粗心，这个问题会经常出现.
策略2：用好手机平台及时解决学生的疑惑，困难点.高三这一年学生需要做很多的题目，当学生遇到问题，解决问题的过程中遇到障碍点时最想及时得到老师的帮助和点拨，平时在课间、午间及晚自习前能及时解决学生的一些困惑，另外用好手机的微信平台，及时推送核心问题视频，交流学习问题，并可以给予过程的指导，
策略3：组建不同特色的学习小组，发动学生自己查找问题，解决问题.
3.6调动非智力因素，激发“思维的活性”
俗话说：知之者不如好之者，好之者不如乐之者.高三复习不仅仅是做题、考试，更重要的是让学生学会做人、做事，推升品质、完善性格.越来越多的研究表明：动机和信念在问题解决过程中同样有重要意义.波利亚强调说：“认为解题纯粹是一种智力活动是错误的，决心和情绪所起的作用很重要，教学生解题是意志的教育”.当学生求解那些对他来说不太容易的问题时，他学会了败而不馁，学会赞赏微小的进展，学会等待主要的念头，学会当主要念头出现后全力以赴，如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了[4].我认为影响问题解决的因素除了知识、技能、思想方法、调控意识外，还要加一条：坚定的信念.我们注意到那些敢于尝试、有毅力、自信心强的同学更能在解决问题中胜出.因此高三复习，老师一定要注意调动学生的非智力因素，高三学生都有争强好胜的心理需求，让学生在解题中锻炼坚强的毅力，完善自己的品格.具体做法有很多，比如充分利用数学学科的逻辑思维优势吸引学生，学生在解决问题中逐渐体会数学学科的思维方式，慢慢揭开学科的本质，挖掘数学内容蕴含的思想价值和数学美，让学生感到数学既有用又有趣.用教师的热情、积极性、责任心影响学生；给讲义的标题起个好名字；在每份讲义上方打上：“信心和毅力是关键因素”等.
参考文献
[1]夏繁军.高三复习课理解活动设计案例分析[J].中小学数学，2013（12）.
[2] 鲍建生、周超 著.《数学学习的心理基础与过程》[M].上海：上海教育出版社，2009，10.
[3]夏繁军. 以发展学生思维能力为核心的高三复习[J].中学数学教学参考， 2014（10）.
[4]波利亚著.《怎样解题》[M].上海：上海科技教育出版社，2007，05.
作者简介夏繁军（1968—），男，北京市高级教师，省级教学能手、海淀区学科带头人.研究方向：学生学习，教学设计，理解力培养.现已在各类教学期刊发表论文60多篇，4篇被中国人民大学报刊资料中心《高中数学教与学》全文转载.主编《课程标准校本化实施（中学数学卷）》（高等教育出版社）.
于明辉（1984—），男，硕士，北京市海淀区一级教师.
郝俊奎（1983—）男，本科，北京市海淀区一级教师.
【关键词】高三复习；策略；思维特征；评估
高三复习是高中教学的重要组成部分，每个备课组、每位教师都有自己系统的高三复习逻辑和策略，本文意在探究高三复习的逻辑和具体策略及其依据.
高三复习和新授课一样，需要明确四点：目标在哪？学生基础在哪？采取什么策略帮住学生达到目标？有哪些表现说明学生已经到哪里？这就是高三复习的逻辑.这也决定高三复习需做好的四项工作.1.明确高考考什么，怎样考；2.研究数学学习规律和影响学生解题的因素；3.制定复习策略；4.贯彻始终的评估策略.
1明确高考考什么，怎样考
高考考什么？当然是考查学生的数学核心素养，最核心的是数学逻辑推理能力，抽象概括能力.再具體一点就是考纲要求的四基（基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验），六大能力（空间想象力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力）和个性品质，明确怎样考需要做以下四点工作.
1.1梳理高考题
可以用思维导图梳理近三年本省和全国高考每一部分知识点考查角度和立意、呈现形式.以函数与导数为例.
高考立意：①考查学生所学函数与导数基本知识、技能、思想方法，核心概念；②主要考查学生逻辑推理和运算能力；③数学思想：转化与化归，分类讨论；④最终考查学生分析解决新问题的能力（构建新函数并研究其性质）
考查特点：①情景设置：以基本函数为载体，加上参数，构建新函数；以高等数学为背景，高立意，低起点；②设问方式：丰富多彩；③解决方法：灵活多变（以解析式的代换、变换为主）.
1.2研究高考命题人如何想？想要什么？
研究命题人的思路，可以和命题人交流，也可以看命题人写的文章，看命题人导向什么？
1.3研究教研员怎样想？往届老师怎样做？
省级或区级教研员一般都有丰富的备考经验，可以多和他们交流，明确更多备考信息，当然本校老师，特别是上一届的高三老师的经验与教训，都是最好的、最直接实用的资源.1.4构建每一部分知识点的思维特征
数学每部分知识都有明显的思维特征，比如函数与导数的思维特征是分析一个量的变化是如何影响另一个量的.但是有些抽象，可以具体化为以下思维特征，这就要求你在函数与导数复习中始终贯彻这个思维特征.
俗语：有的放矢.教师多做研究，学生就少走弯路；教师多做题，学生就少做题.
2研究数学学习规律、影响学生解题的因素分析
2.1数学学习大致经过这几个过程：“听懂——理解——建立联系——模仿——熟练——迁移应用——创新”七个环节.他们之间没有明确的界限，都有交集，每一个环节都是一个过程，有时还会倒退到低一层级.
2.2通过课前测试、个人教学经验、往届学生错题的积累，掌握学生学习情况，分析影响学生解决问题的因素.内部因素：知识基础、解题策略，调控能力，元认知能力，信念，外部因素：问题熟悉程度，问题特点，复杂程度，问题情境.
俗语：知彼知己，百战不殆，有备无患.研究学生怎样学习是人类永远的课题，研究学生贯彻于学习全过程.
3做好教学策略研究，落实好学习过程
3.1设计整体复习计划
不谋全局者，不足谋一域，善谋者谋全局.备课组一起商议整个高三复习计划，包括整体目标、策略，每一阶段目标、策略，目标要分解到每一个课时，分数目标具体到班级、学生，备课组人员分工等.以提升学生思维能力为目标，以各部分知识的思维特征为主线，以课堂为主场景，以体验、交流、分享为手段，消枝强干，以课堂和课后测试为评估手段，分阶段、个性化指导为保障，设计高三各个阶段的复习计划.
3.2做好单元设计
学案设计以单元进行，单元设计内容包括：考试要求，单元基本问题，每一课时内容.先给出一个基本问题为切入点，让学生明确本单元研究的主要问题和方法.比如函数与导数的单元问题：函数是我们多年的朋友，我们已经认识很多“函数小朋友”，现在把这些函数小朋友任意组合会产生新的朋友，比如下面几个新朋友，你还认识他们吗？研究它们的哪些性质？怎么研究它们的性质？
函数性质（1）f（x）=x-lnx（2）g（x）=xlnx（3）h（x）=lnxx复习材料组织立足以下三个维度：①落实基础知识、基本问题、基本方法；②基于对学生学习水平的估计，深化对单元核心概念及其联系的理解；③揭示核心概念蕴含的数学思维方法，每单元的数学思维特征；④开放性问题激发学生思考，提高学生研究问题、解决问题的能力，发展学生思维.
3.3设计课堂理解活动，促进学生理解，实现深度交流和学习
以数学思维特征为主线的高三复习课理解活动流程：前测或访谈——确定课时复习主题——学生先行体验——师生共同交流——梳理思维特征——落实与领悟解决方法——迁移应用新的问题——做好反馈校正.
高三课堂追求达到的标准：主题设计系统化，思维特征精准化，学习过程可视化，学习结果迁移化，反馈校正及时化，知识学习个性化、感情化；学习现代化，从学生需求出发，提高教学供给侧改革.
案例1已知函数f（x）=2sin（2x π3）-32.
（Ⅰ）求f（π6）的值，并说出你的运算次序，和同伴交流是否正确；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-π3，π6]的取值范围，其中区间[-π3，π6]是指谁的范围？
解析f（π6）=32.运算次序： x=π62x=π32x π3=2π3sin（2x π3）=322sin（2x π3）=3
2sin（2x π3）-32=32.
因此对于每一个x值，都要经过以上5步运算才能得出对应函数值.而第3步运算中，是把（2x π3）当成一个角来看，直接求其函数值，这就是“换元法”.那么对于属于区间[-π3，π6]内的任意x，如何求对应函数值？只需把上面运算中的x=π6换成-π3≤x≤π6，所以-π3≤2x π3≤2π3，把2x π3当做一个角α，画出正弦函数y=sin x的图像，观察图形求出：
当2x π3=π2，即x=π12時，f（x）max=2-32.当2x π3=-π3，即x=-π3时，f（x）min=-332.
理解此原理，学生只要会画正弦函数y=sin x的图像就可以求解.凸显出基本初等函数的重要性，体现数学中的化归思想[1].
学生亲历指向思维的理解活动，学生在做中把自己的思维链条衔接上，并把个人的理解结果外显化：同伴间相互说出来，自己写出来（这是衡量一个学生是否理解的有效评价方法）.经过这样的信息输入和输出的过程，才会在他脑子里留下痕迹，建构起解决此类问题的一种“新图式”，在今后遇到类似问题时能够调动出已知的“新图式”，这是理解的过程.如果跨过这个过程，只凭记忆结论做题，“看似快，实则慢”.
课堂问题可以适当提高难度.适当提高问题的难度有着生理基础和心理基础.从神经生物学的角度看对于某些任务，如果人们不断进行长期训练和反复练习，大脑便会为这些任务分配额外的神经元，这就像计算机会给复杂程序分配更多的记忆内存一样.这些额外分配的神经元或多或少被永久地保留下来.例如专业键盘手或弦乐师拥有更多的运动皮层来控制手指和手部的运动.如果训练完全停止，不再被使用的神经元最终会分配给其他任务，技巧的熟练程度就会随之降低.从心理角度讲，学生更愿意做有一定挑战性活动[2].
3.4利用“微单元设计”突破“思维障碍”
俗话说：打蛇打七寸，牵牛要牵牛鼻子，在学生最困难的地方舍得花功夫，通过单元设计解决学生问题.
案例2应用导数研究函数单调性.开始我领着学生总结对参数分类讨论的思考流程，但学生用起来并没达到我的理想效果，于是我让学生自己建构流程图，效果好些，今年我让学生提炼每一步的解题意识，学生丰富流程图如下[3]：解题中的自我监控能力，是一个人的元认知能力.匈菲尔德（Schoenfeld，1985）强调数学解题需考虑四个因素：知识基础、解题策略、自我控制、信念系统.他从专家和新手的解题对比研究中看到：专家的一个典型特征是始终监控和调整自己在解题中的行为.波利亚在《怎样解题》中介绍了解题表，给出解题的四个环节：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾.同时给出很多解题的自我调控意识：要做什么只要知道什么？我已经知道什么？能推出什么？有没有一个类似的我解过的题目？在具体教学中还要结合数学的每一部分知识给出具体的解题意识，提高学生的思维品质.
3.5巩固落实与评估策略
策略1：通过每天半小时的作业评估训练，个性化访谈，测试等手段，及时发现学生学习问题，定位到人、到知识点、到解法.用电子表格统计每一个学生的错误点，汇总，根据个人需求提供不同学案、作业实现个性化.
案例3已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则AE·BD=.
一个基础填空题，所考查的内容是向量的基本运算，得分率仅为065，问题是什么呢？我认为是学生向量的分解方向或运算出错，主要还是对运算法则不熟练，另外没有选择用坐标运算来做.对学生访谈却惊奇的发现有部分同学的错误竟然是正方形顶点的字母标记规则不对，错误的标成下图的形式，并且有同学当我们交流时都还没有意识到错误！他们的问题不是向量知识和方法的问题，这是没有想到的！如果没有这次的访谈，这个问题学生和老师都不会关注到，仅仅会认为是粗心，这个问题会经常出现.
策略2：用好手机平台及时解决学生的疑惑，困难点.高三这一年学生需要做很多的题目，当学生遇到问题，解决问题的过程中遇到障碍点时最想及时得到老师的帮助和点拨，平时在课间、午间及晚自习前能及时解决学生的一些困惑，另外用好手机的微信平台，及时推送核心问题视频，交流学习问题，并可以给予过程的指导，
策略3：组建不同特色的学习小组，发动学生自己查找问题，解决问题.
3.6调动非智力因素，激发“思维的活性”
俗话说：知之者不如好之者，好之者不如乐之者.高三复习不仅仅是做题、考试，更重要的是让学生学会做人、做事，推升品质、完善性格.越来越多的研究表明：动机和信念在问题解决过程中同样有重要意义.波利亚强调说：“认为解题纯粹是一种智力活动是错误的，决心和情绪所起的作用很重要，教学生解题是意志的教育”.当学生求解那些对他来说不太容易的问题时，他学会了败而不馁，学会赞赏微小的进展，学会等待主要的念头，学会当主要念头出现后全力以赴，如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了[4].我认为影响问题解决的因素除了知识、技能、思想方法、调控意识外，还要加一条：坚定的信念.我们注意到那些敢于尝试、有毅力、自信心强的同学更能在解决问题中胜出.因此高三复习，老师一定要注意调动学生的非智力因素，高三学生都有争强好胜的心理需求，让学生在解题中锻炼坚强的毅力，完善自己的品格.具体做法有很多，比如充分利用数学学科的逻辑思维优势吸引学生，学生在解决问题中逐渐体会数学学科的思维方式，慢慢揭开学科的本质，挖掘数学内容蕴含的思想价值和数学美，让学生感到数学既有用又有趣.用教师的热情、积极性、责任心影响学生；给讲义的标题起个好名字；在每份讲义上方打上：“信心和毅力是关键因素”等.
参考文献
[1]夏繁军.高三复习课理解活动设计案例分析[J].中小学数学，2013（12）.
[2] 鲍建生、周超 著.《数学学习的心理基础与过程》[M].上海：上海教育出版社，2009，10.
[3]夏繁军. 以发展学生思维能力为核心的高三复习[J].中学数学教学参考， 2014（10）.
[4]波利亚著.《怎样解题》[M].上海：上海科技教育出版社，2007，05.
作者简介夏繁军（1968—），男，北京市高级教师，省级教学能手、海淀区学科带头人.研究方向：学生学习，教学设计，理解力培养.现已在各类教学期刊发表论文60多篇，4篇被中国人民大学报刊资料中心《高中数学教与学》全文转载.主编《课程标准校本化实施（中学数学卷）》（高等教育出版社）.
于明辉（1984—），男，硕士，北京市海淀区一级教师.
郝俊奎（1983—）男，本科，北京市海淀区一级教师.