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“随机”“可能”“不一定”等词汇，正随着新课程悄然进入小学校园，这标志着我们的学生从小学就将进入“随机”世界。在原有的学校数学体系中，概率要到高二年级才进行教学。在中学，概率是作为排列组合的实际应用来进行编排的，重点是学习概率的基本定义与计算公式，灵活地判定随机事件的关系(互斥事件、相互独立事件)，并利用相应的公式计算概率。由于其应用性强，密切联系生活，因此在高考中所占比重正逐步增加，概率在高考中的分数比是概率在教学中的课时比的2.4倍。
当然，小学阶段的概率与中学的概率相比，无论是内容体系、学习方式，还是教学目标等均有着质的区别。因此，必须重新审视概率在学校教学中的地位与作用，并提出切合小学实际的教学策略。
笔者选择了三个角度进行思索：一是小学数学中的“概率”与概率论中的“概率”之间的关系，以期找到小学概率知识的生长点，促进学生的可持续发展；二是澄清概率知识与概率误解的关系，以期探索小学概率教学的课堂教学结构：三是概率教材与学生回答的关系，以期批判地利用课本，更好地促进学生的主动学习。
在对概率教材进行理性思索的基础上，提出三个方面的策略：一是巧设情境，巧妙引导，在丰富的体验中形成概率概念：二是精心设问，适时质疑，让动手实验成为学生的真需要；三是结合经验，重视过程，构建以“问题解决”为核心的概率教学流程。
一、思索
凡是值得思考的事情，没有不是被人思考过的，我们必须做的只是试图重新加以思考而已。
——歌德
小学的“概率教学”有其独特的教育价值，对于学生全面合理地认识生活中的随机性事件有着重要的作用。“概率”进入小学课堂的时间虽然不长，但人们已从课堂教学实践、学生的现实基础等方面进行了研究。笔者尝试从它的“母体”——“概率论”入手展开思索，试图构筑小学“概率”教学目标与“概率论知识体系”之间的桥梁。
(一)概率论与小学数学中的概率
概率论是数学体系中研究随机事件数量关系的一个分支，在其发展的过程中，形成了四个基本的概率概型，产生了四种研究问题的思维方法。(表一)
其中前两种概型可以统称为等可能性概型。以上四种概率各有优缺点，但不论哪一种概率，一般经历以下流程(图1)：
与概率论的基本内容及思维流程相比较，小学的概率可从“概率论”的基本思想中找到其数学化的概率涵义与形成轨迹，两者的关系可从下表中得到反映(表二见右上)。
从表二与图1中可以发现，中小学的概率体系是根据概率的古典概型、几何概型与统计概型的学习历程来构建的。第一学段是对图1虚框中内容的学习，重点是感受生活中的随机现象并进行分析；第二学段是对等可能事件的定量分析；第三学段结合具体情境了解古典概型、几何概型与统计概型的意义。通过以上三个学段，用具体情境和更适合于中小学生理解的词汇，建立起初步的概率观念与思维方法，在解决实际问题的过程中体会到概率知识的内在魅力与实际价值。而大数定律作为解决复杂的随机事件的一种方法，在小学中只是结合具体实例进行直观感受。综上分析，我们认为，中小学的“概率”是“概率论”基本思想的“生活化”体现。从上述分析比较中，对我们理解小学的概率教学有以下几点启示：
1、小学的概率教学要以学生的生活经验为基础，但又不能只停留于表层的活动与感受，要通过课堂教学活动使学生体验到概率的实质：从复杂的变化中预测结果。
2、小学的概率教学重在观念的形成，而不是对概率下具体的定义与计算，为后续的学校数学概率学习打下坚实的感性基础。
3、在(中)小学的概率教学进程中，要化零为整，构筑起为小学生能理解的概率概念体系与思维方法，能解释和解决生活中的随机现象。
(二)概率概念与错误直觉
在学习有关文章时，我们经常能看到对错误的概率直觉问题的论述，并提出要对此尽早“干预”，这是完全正确并有必要的。对照《数学课程标准》，小学生在学习相关内容时，会有哪些错误直觉呢?我们通过查阅文献与调查，找到一些小学生在学习中或在生活经验中业已存在的错误直觉，现列举其中几则(表三)。
以上错误直觉，不可能随着概率概念的形成而消除，必须用实验和数据分析来纠正。
(三)概率教材和学生回答
在具体的情境中学习概率，这符合学生的认知特点。因此，关于概率知识的教材，配了许多插图。但由于插图只是对现实情境某一个镜头的摄写，学生在回答时有时并不能理解编者的意图。这是我在2003年12月进行“自然状态下的学生”调查时的一个意外发现。调查的题目共有8题，其中6题均用了书本中的图文。调查的对象是本校各年级一班的全体学生。
调查题3(北师大版三年级概率教材中的情境图)：
从表格中发现学生随着年龄的增长，对可能性的表述日趋合理。同时发现六(1)班填白球的学生远远超过填黄球。为什么会这样?我访谈了其中的10位学生，有6位的回答是：我从图中看出来的，白球在下面，手伸下去拿到的也应该是下面的球。这则事例给我们启示，从学生的视角看问题，有时错的不在学生。对于学生的回答，要多问问为什么。同时也提醒我们，书本中的情境图不能完全代表生活情境，实际教学时，教师要对图意进行必要的说明。
有时教材中的文字表述也可能使学生产生疑义。如下图(调查题5)：
一般均如上图所示，但也有部分学生填成：“摸到的球可能是白球、白球，摸到白球的可能性大”。访谈后发现，读题后，他(她)们误以为是连续摸两次，因为白球多，两次摸出的球可能都是白球。因此，对可能性的叙述要语义明确，上题加一个“或”字——“摸到的球可能是一球或一球，摸到一球的可能性大”更有利于学生理解。
学贵在疑而精于思。在思索中，我们从宏观的角度对小学的概率有了更深刻的认识，并通过调查反思，从细微处发现了概率教材中的一些问题。这些，为我们的小学概率教学提供了有力的理论支持与实践思路。
二、实践
我不能。别的任何人也不能替代你走过的路，你必须自己去走。
——[美]惠特曼《自己之歌》
“思索”加深了对小学概率的理性认识，在此基础上笔者先后在各年级进行了概率教学实践，积累了几则比较满意的课例，并以建构主义为理论依据，总结出小学概率教学的基本思路。
(一)巧设情境，巧妙引导，在丰富的体验中形成概率概念
“小学概率教学重在观念教育”。观念的形成必须建立在丰富的经验感受的基础之上。教师要对概率概念有全面的认识，了解学生的现实起点，针对学生可能出现的经验错误，为学生提供充分的感受空间，让学生充分调动多种感官，用眼观察、动手实验、对话交流，充分体现出学生的主体地位，尊重学生的原始直觉，用事实说话，建构正确的概率概念。
如在建立1／6概率的意义时，让每一位学生说说投掷过程中的心情，并进行合理反思，体验不确定事件发 生的不确定性与可能性。
(二)精心设问，适时质疑，让动手实验成为学生的真正需要
“在教学之前和教学期间，学生在概率问题上应如何思考才能易于师生间的交流?”我们的结论是用事实说话：让学生动手实验，以检查他们的猜测与判断是否得到实际证据的支持。
“(小学的)概率是建立在经验基础上的弱科学”。动手实验是学生建立正确概率意义的保证。当学生出现观点不能统一时，引导学生自己想办法，体会到动手实验的必要性，然后再进行掷一掷、摸一摸等实践活动，并用所得到的现象与数据来验证猜测，形成概念。
如，为让学生正确建立概率中的比率概念，我们在教学时让学生经历“操作——思辨——验证”的学习历程，在矛盾冲突与思维碰撞中揭示比率概念的本质：
放：往袋子里放入一些球，要求任意摸出一个球，摸到黄球的可能性为1/3。
想：有多种放法，你认为从哪个袋子里摸一个球，摸到黄球的可能性会大些?
摸：四人小组摸球，每一组又分成两小组，两个小组分别从(1黄2白)和(4黄8白)的袋子里摸球，每人摸10次，并做好记录。
统计：组内统计——全班统计——其他班级累计。
分析：两种情况下摸到黄球的次数越来越接近。
结论：从黄球多或黄球少的袋子里摸球，摸到黄球的可能性是一样的。
(三)结合经验，重视过程，构建以“问题解决”为核心的概率教学流程
概率教学有两个重要的切入口，一是激活正确的生活经验，建立起正确的概率概念，二是剖析错误经验，形成正确的概率概念。对于后者更能激发起学生对概率概念的探究。我们总结了概率教学的基本样式，即：
建构主义认为，学生的学习是一个积极主动的建构过程。在建构知识的过程中必须与他人磋商并达成一致，因此在概率概念的学习过程中，教师让学生充分发表自己的想法、猜测，如产生异议，引导学生进行实验(个体的、小组的、班级的等多种形式)，并对实验所得的结果或数据进行分析，从而形成正确的概率概念，由第一直觉转变为第二直觉。
回顾这几年来对小学“概率教学”的思索与实践，笔者认为，虽然小学的概率教学内容与“概率论”思想相比显得浅显，但是通过教学，对于促进学生的逻辑思维能力和问题解决能力均有显著的作用。同时，概率与其他数学领域乃至其他学科领域均有着紧密的联系，它为学生提供了将各个领域的内容联系起来的机会。
当然，小学阶段的概率与中学的概率相比，无论是内容体系、学习方式，还是教学目标等均有着质的区别。因此，必须重新审视概率在学校教学中的地位与作用，并提出切合小学实际的教学策略。
笔者选择了三个角度进行思索：一是小学数学中的“概率”与概率论中的“概率”之间的关系，以期找到小学概率知识的生长点，促进学生的可持续发展；二是澄清概率知识与概率误解的关系，以期探索小学概率教学的课堂教学结构：三是概率教材与学生回答的关系，以期批判地利用课本，更好地促进学生的主动学习。
在对概率教材进行理性思索的基础上，提出三个方面的策略：一是巧设情境，巧妙引导，在丰富的体验中形成概率概念：二是精心设问，适时质疑，让动手实验成为学生的真需要；三是结合经验，重视过程，构建以“问题解决”为核心的概率教学流程。
一、思索
凡是值得思考的事情，没有不是被人思考过的，我们必须做的只是试图重新加以思考而已。
——歌德
小学的“概率教学”有其独特的教育价值，对于学生全面合理地认识生活中的随机性事件有着重要的作用。“概率”进入小学课堂的时间虽然不长，但人们已从课堂教学实践、学生的现实基础等方面进行了研究。笔者尝试从它的“母体”——“概率论”入手展开思索，试图构筑小学“概率”教学目标与“概率论知识体系”之间的桥梁。
(一)概率论与小学数学中的概率
概率论是数学体系中研究随机事件数量关系的一个分支，在其发展的过程中，形成了四个基本的概率概型，产生了四种研究问题的思维方法。(表一)
其中前两种概型可以统称为等可能性概型。以上四种概率各有优缺点，但不论哪一种概率，一般经历以下流程(图1)：
与概率论的基本内容及思维流程相比较，小学的概率可从“概率论”的基本思想中找到其数学化的概率涵义与形成轨迹，两者的关系可从下表中得到反映(表二见右上)。
从表二与图1中可以发现，中小学的概率体系是根据概率的古典概型、几何概型与统计概型的学习历程来构建的。第一学段是对图1虚框中内容的学习，重点是感受生活中的随机现象并进行分析；第二学段是对等可能事件的定量分析；第三学段结合具体情境了解古典概型、几何概型与统计概型的意义。通过以上三个学段，用具体情境和更适合于中小学生理解的词汇，建立起初步的概率观念与思维方法，在解决实际问题的过程中体会到概率知识的内在魅力与实际价值。而大数定律作为解决复杂的随机事件的一种方法，在小学中只是结合具体实例进行直观感受。综上分析，我们认为，中小学的“概率”是“概率论”基本思想的“生活化”体现。从上述分析比较中，对我们理解小学的概率教学有以下几点启示：
1、小学的概率教学要以学生的生活经验为基础，但又不能只停留于表层的活动与感受，要通过课堂教学活动使学生体验到概率的实质：从复杂的变化中预测结果。
2、小学的概率教学重在观念的形成，而不是对概率下具体的定义与计算，为后续的学校数学概率学习打下坚实的感性基础。
3、在(中)小学的概率教学进程中，要化零为整，构筑起为小学生能理解的概率概念体系与思维方法，能解释和解决生活中的随机现象。
(二)概率概念与错误直觉
在学习有关文章时，我们经常能看到对错误的概率直觉问题的论述，并提出要对此尽早“干预”，这是完全正确并有必要的。对照《数学课程标准》，小学生在学习相关内容时，会有哪些错误直觉呢?我们通过查阅文献与调查，找到一些小学生在学习中或在生活经验中业已存在的错误直觉，现列举其中几则(表三)。
以上错误直觉，不可能随着概率概念的形成而消除，必须用实验和数据分析来纠正。
(三)概率教材和学生回答
在具体的情境中学习概率，这符合学生的认知特点。因此，关于概率知识的教材，配了许多插图。但由于插图只是对现实情境某一个镜头的摄写，学生在回答时有时并不能理解编者的意图。这是我在2003年12月进行“自然状态下的学生”调查时的一个意外发现。调查的题目共有8题，其中6题均用了书本中的图文。调查的对象是本校各年级一班的全体学生。
调查题3(北师大版三年级概率教材中的情境图)：
从表格中发现学生随着年龄的增长，对可能性的表述日趋合理。同时发现六(1)班填白球的学生远远超过填黄球。为什么会这样?我访谈了其中的10位学生，有6位的回答是：我从图中看出来的，白球在下面，手伸下去拿到的也应该是下面的球。这则事例给我们启示，从学生的视角看问题，有时错的不在学生。对于学生的回答，要多问问为什么。同时也提醒我们，书本中的情境图不能完全代表生活情境，实际教学时，教师要对图意进行必要的说明。
有时教材中的文字表述也可能使学生产生疑义。如下图(调查题5)：
一般均如上图所示，但也有部分学生填成：“摸到的球可能是白球、白球，摸到白球的可能性大”。访谈后发现，读题后，他(她)们误以为是连续摸两次，因为白球多，两次摸出的球可能都是白球。因此，对可能性的叙述要语义明确，上题加一个“或”字——“摸到的球可能是一球或一球，摸到一球的可能性大”更有利于学生理解。
学贵在疑而精于思。在思索中，我们从宏观的角度对小学的概率有了更深刻的认识，并通过调查反思，从细微处发现了概率教材中的一些问题。这些，为我们的小学概率教学提供了有力的理论支持与实践思路。
二、实践
我不能。别的任何人也不能替代你走过的路，你必须自己去走。
——[美]惠特曼《自己之歌》
“思索”加深了对小学概率的理性认识，在此基础上笔者先后在各年级进行了概率教学实践，积累了几则比较满意的课例，并以建构主义为理论依据，总结出小学概率教学的基本思路。
(一)巧设情境，巧妙引导，在丰富的体验中形成概率概念
“小学概率教学重在观念教育”。观念的形成必须建立在丰富的经验感受的基础之上。教师要对概率概念有全面的认识，了解学生的现实起点，针对学生可能出现的经验错误，为学生提供充分的感受空间，让学生充分调动多种感官，用眼观察、动手实验、对话交流，充分体现出学生的主体地位，尊重学生的原始直觉，用事实说话，建构正确的概率概念。
如在建立1／6概率的意义时，让每一位学生说说投掷过程中的心情，并进行合理反思，体验不确定事件发 生的不确定性与可能性。
(二)精心设问，适时质疑，让动手实验成为学生的真正需要
“在教学之前和教学期间，学生在概率问题上应如何思考才能易于师生间的交流?”我们的结论是用事实说话：让学生动手实验，以检查他们的猜测与判断是否得到实际证据的支持。
“(小学的)概率是建立在经验基础上的弱科学”。动手实验是学生建立正确概率意义的保证。当学生出现观点不能统一时，引导学生自己想办法，体会到动手实验的必要性，然后再进行掷一掷、摸一摸等实践活动，并用所得到的现象与数据来验证猜测，形成概念。
如，为让学生正确建立概率中的比率概念，我们在教学时让学生经历“操作——思辨——验证”的学习历程，在矛盾冲突与思维碰撞中揭示比率概念的本质：
放：往袋子里放入一些球，要求任意摸出一个球，摸到黄球的可能性为1/3。
想：有多种放法，你认为从哪个袋子里摸一个球，摸到黄球的可能性会大些?
摸：四人小组摸球，每一组又分成两小组，两个小组分别从(1黄2白)和(4黄8白)的袋子里摸球，每人摸10次，并做好记录。
统计：组内统计——全班统计——其他班级累计。
分析：两种情况下摸到黄球的次数越来越接近。
结论：从黄球多或黄球少的袋子里摸球，摸到黄球的可能性是一样的。
(三)结合经验，重视过程，构建以“问题解决”为核心的概率教学流程
概率教学有两个重要的切入口，一是激活正确的生活经验，建立起正确的概率概念，二是剖析错误经验，形成正确的概率概念。对于后者更能激发起学生对概率概念的探究。我们总结了概率教学的基本样式，即：
建构主义认为，学生的学习是一个积极主动的建构过程。在建构知识的过程中必须与他人磋商并达成一致，因此在概率概念的学习过程中，教师让学生充分发表自己的想法、猜测，如产生异议，引导学生进行实验(个体的、小组的、班级的等多种形式)，并对实验所得的结果或数据进行分析，从而形成正确的概率概念，由第一直觉转变为第二直觉。
回顾这几年来对小学“概率教学”的思索与实践，笔者认为，虽然小学的概率教学内容与“概率论”思想相比显得浅显，但是通过教学，对于促进学生的逻辑思维能力和问题解决能力均有显著的作用。同时，概率与其他数学领域乃至其他学科领域均有着紧密的联系，它为学生提供了将各个领域的内容联系起来的机会。