中考数学新题例析

来源 :初中生世界·九年级中考版 | 被引量 : 0次 | 上传用户:liongliong588
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  在中考复习过程中,练习一定数量的数学试题必不可少.常见的常规问题我们已经练习很多,但每年各地中考与模考试卷中还会出现许多立意新颖、解法巧妙的问题,解决这些问题需要我们有开阔的视野与较强的思维能力.下面我们摘取一些新题供同学们分析与练习.
  一、 分式化简
  例1 按下列程序计算:
  n→平方→+n→÷n→-n→答案
  (1) 填表
  输入n 3 1 2 -2 -3 …
  输出答案 1 1
  
  (2) 请将题中计算程序用代数式表达出来,并化简.
  分析 第(1)题较容易,只要按程序所提供的运算方法和顺序进行计算,就能得到正确的答案.有趣的是,尽管输入的n不同,但输出答案均是1.进而可以猜想第(2)题的所列代数式化简后的结果应是1.
  解析 (1) 均填1.
  (2) n2+nn-n;n2+nn-n=n(n+1)n-n=n+1-n=1.
  点评 这道题目通过文字叙述与相应的运算,让我们感受到“变中不变”的有趣现象,从而引起我们思索这是为什么,然后用字母运算,推理解释相应的规律.
  例2 (1) 请你任意写出五个正的真分数: 、 、 、 、 .请给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到五个新分数: 、 、 、 、 .
  (2) 比较原来每个分数与对应新分数的大小,可以得出下面的结论:给一个真分数ab(a、b均为正数,a (3) 请你用文字叙述(2)中结论的含义:
  .
  
  图1
  (4) 如图1所示,有一个长宽不等的长方形绿地,现给绿地四周铺一条宽相等的小路,原来的绿地与现在铺过小路后的绿地的长与宽的比值是否相等?为什么?
  (5) 这个结论可以解释生活中的许多现象,解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题,或举出一个生活中与此结论相关的例子.
  分析 把“发现问题,提出假设,解释和证明,实际应用”的认知思维过程融入一道探索题中,让同学们在做数学题的同时,体会和感悟到对终身发展都有价值的探究事物的过程.
  解析 (1) 略;(2) >;
  (3) 给一正的真分数的分子、分母同加一个正数,得到的新分数大于原来的分数.
  (4) 两块绿地的长与宽的比值不相等.理由略.
  (5) 数学问题举例:
  ① 若ab是假分数,会有怎样的结论?
  ② a、b不是正数,或不全为正数,情况如何?
  点评 这是一道由我们自己举例运算并发现规律的题目,经历了“从特殊到一般”发现结论的过程.题目最后还要求我们运用规律及对规律作变式思索,引导我们将研究推向更高层次.
  二、 定义新运算
  例3 在实数的原有运算法则中我们补充定义一种新的运算“”如下:
  当a≥b时,ab=b2;当a<b时,ab=a.
  则当x=2时,(1x)·x-(3x)的值为 .(“· ” 和“-”仍为实数运算中的乘号和减号).
  分析 本题对任意两个数a与b定义了一种新运算,在计算新运算的结果时,仍用到了我们平时的常规运算.需要同学们仔细阅读题目,透彻理解题意,然后“依葫芦画瓢”就可以得到正确答案.
  解析 因为1<2<3,即1<x<3,所以1x=1,3x=22=4.
  所以(1x)·x-(3x)=1·x-4=2-4=-2.
  点评 本题注重了对同学们的自学能力的考查,要求同学们理解新的运算法则,并能加以运用,从而实现信息的迁移.第一次遇到这样的题目,可能会感到有点意外甚至费解,但适当训练后,便会发现,解答这类问题十分容易.
  图2
  三、 探索规律
  例4 如图2,将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 012次,点P依次落在点P1,P2,P3,P4,…,P2 012的位置,则P2 012的横坐标x2 012= .
  
  
  分析 最终的数字2 012较大,暗示翻转过程中落点与横坐标存在某种规律,因此我们只要耐心将正方形OAPB转动几次,观察其摆放的位置何时重复出现.
  解析 点P为正方形OAPB左上角顶点,当正方形OAPB连续翻转4次后,得到的正方形左上角顶点为P4.由此可知,后面继续翻转时,必然每转动4次,点Pi(其中i是4的倍数)就出现在正方形左上角,从而点Pi的横坐标xi=-1+4·i4=-1+i=i-1.自此要研究点P2 012的横坐标,只要研究数字2 012,2 012恰巧是4的503倍,因此x2 012=2 012-1=2 011.
  点评 要求点Pn的横坐标,即使n不是4的倍数,也可以先求出与数字n相邻的4的倍数n′,然后根据规律求出点Pn′的横坐标,在此基础上,再翻转有限的几次,就可以得到点Pn的横坐标.
  请同学们进一步思考下面两个问题:
  (1) 你能写出点Pn一般形式的坐标吗?
  (2) 从点P翻转n次至点Pn,在转动过程中,点P经过的路线长度是多少?
  例5 有两个边长均为1的等边三角形(或正方形),将△A′B′C′(或正方形A′B′C′D′)的顶点A′固定在△ABC(或正方形ABCD)的中心O上.保持△ABC(或正方形ABCD)不动,让△A′B′C′(或正方形A′B′C′D′)以A′B′与BC相交并垂直时为起始位置,绕点O作逆时针方向旋转.
  下面研究在旋转过程中,两个图形的重叠部分OMCN的面积是否变化?如果变化,变化规律是什么?
  
  图3
  
  图4
  
  如何着手研究这类问题?你是怎么想的?下面提供了一些思考步骤,但顺序被打乱了:   ① 当自变量确定后,则通过运算,具体写出面积关于这个自变量的函数关系式.
  ② 在建立面积关于某个变量的函数关系式时,首先要做的事是,寻求一个自变量,用这个自变量来刻划图形在旋转过程中的不同位置状态.
  ③ 为了探索重叠部分面积变还是不变,先找几个特殊位置,分别计算出它们的面积.
  ④ 如果不变,则尝试证明;如果变化,则着手研究面积的变化规律.具体说,力求建立面积关于某个变量的函数关系式.
  ⑤ 根据几个特殊位置上的计算结果,对面积是否变化初步提出猜想,是变还是不变.
  (1) 结合自己的思考方法,填写你认为合理的顺序:
  .
  (2) 探索研究,填写结论(用“不变”与“变化”填空):
  图3中重叠部分的面积是 的;图4中重叠部分的面积则是 的.
  (3) 当重叠部分面积是变化的,并想建立其关于某个变量的函数关系式时,你打算选择哪个量作为函数的自变量(可在原图中添加点、线加以辅助说明,至少给出两种方法)?
  (4) 研究无止境!如果对这类问题作进一步探究,请你提出一到两个值得研究的其他问题(只需提出问题,不作具体研究).
  分析 探索面积变还是不变,急于建立函数,就显得仓促盲目.直觉引导是非常重要的,可通过特殊位置的适当计算,形成合理猜想,再作相应的研究,这才是科学的研究方法.
  解析 (1) ③→⑤→④→②→①;
  (2) 变化,不变.
  (3) 过点O作OH⊥BC,H为垂足,则选择自变量的方法至少有两种:∠MOH=x°,或以点H(或点B)为起点,点M经过的路程为自变量x(当点M旋转到另一条边上时,x为折线长度).
  (4) 如果有兴趣探究,可以继续关注下面问题:
  ① 当重叠部分的面积发生变化时,被旋转的图形分别旋转到什么位置时,重叠部分的面积取得最大值与最小值?
  ② 对于等边三角形,重叠部分的面积是变化的;对于正方形,重叠部分的面积则是不变的.那么对于正五边形,正六边形,……,结果分别如何呢?对于最一般的情形:正n边形,结果又如何呢?
  点评 同学们可能还会提出用其他变量的描述方法,但未必正确,比如OM=x,因为对于同样的OM的长度,△A′B′C′(正方形A′B′C′D′)的位置不确定.
  这道题目对我们的启发是,在学习过程中,既要会解决已有的问题,更要学会发现问题,提出问题,并科学地研究问题,这是当代人必须具备的素质.
  四、 错题纠正
  例6 数学教师在讲完公式(a+b)2=a2+2ab+b2后,要求同学们相互编题考查对方.很快,小明同学就“精心”地策划出如下题目:
  已知a、b均为正数,且a2=4,ab=22,b2=16,求a+b的值.
  对于这个问题,小明心中的解法是这样的:
  ∵ (a+b)2=a2+2ab+b2,∴ (a+b)2=4+2×22+16=64.
  ∵ a+b>0,∴ a+b=8.
  其实小明所编之题是一道条件多余而且矛盾的病题!这是由于:
  ∵ a2=4,a>0,∴ a=2.
  ∵ b2=16,b>0,∴ b=4.
  ∴ ab=8,这与条件ab=22矛盾.
  
  图5
  因此,只要将条件中的3个等式任意去掉一个,题目就“健康”了.
  阅读上述材料,请思考并解决与上面类似的一个问题:
  在图5的△ABC中,∠C=90°,点D在AC边上,若AB=23,DB=22,∠ABC=60°,∠DBC=45°,求AD的长.
  (1) 请你分析说明这是一道条件多余而且矛盾的病题.
  (2) 请你去掉一个条件,然后完成相应问题的解答过程.
  解析 (1) 方法不唯一,过程略.
  (2) 若去掉条件∠ABC=60°,则结果为AD=2(2-1);
  若去掉条件∠DBC=45°,则结果为AD=3-5;
  
  图6
  若去掉条件AB=23,则结果为AD=2(3-1);
  若去掉条件DB=22,则结果为AD=3-3;
  若去掉条件“∠C=90°”和“点D在AC边上”,则结果为AD=6-2.具体解法见图6.
  点评 这道题目颇有新意.平时我们解答的都是正确的题目,偶尔题目有错误时,我们却不知道,仍在傻傻地做,浪费了时间,浪费了精力.这对我们的启发是,要深刻分析题目,理清内在联系,找准解题突破口,从而形成解题思路.
  五、 欣赏数学美
  例7 在学习“黄金分割”时,我们遇到了两个数5-12与5+12.这两个数很有趣.
  其一,两个数分别由52与12通过加减运算而得;其二,两个数的乘积为1;其三,两个数化成近似值(精确到0001)时,小数部分相同(5-12≈0618,5+12≈1618).请解答下列问题.
  (1) 严格意义上,5-12与5+12均为无理数,因此在将它们化成小数时,都只能写成无限不循环小数.现在的问题是,如果将5-12与5+12化成小数时,无论精确到哪一位,你能肯定它们的小数部分一定相同吗?说明你的理由.
  (2) 你能否找到两个正实数,使它们既互为倒数,同时在它们化成小数时,其中一个数的整数部分为2,而小数部分就是另一个数?写出你的探求过程.
  分析 解决本题的关键在于如何表示5-12与5+12的小数部分.
  解答 (1) 方法1:由于5+12-5-12=1,因此5+12与5-12的小数部分必定相同.
  方法2:由于5+12=1+5-12,且0<5-12<1,所以5+12的整数部分为1,小数部分就是5-12,因此5+12与5-12的小数部分必定相同.
  (2) 设小数部分为x,则其中一个数为2+x,另一个数就是x.由题意得x(x+2)=1,解之得x=2-1(另一个根x=-2-1<0,舍去).
  因此这两个实数为2+1与2-1.
  点评 本题饶有趣味,让人忍不住模仿一句名言:数学中并不缺少美,而是缺少发现美的眼睛.
  六、 解决生活中的问题
  例8 商家为了吸引顾客眼球,非常注重商品的外包装.如图7,商家拟用绸带对某件商品进行斜着缠绕包装(图7中两个矩形分别是绸带与商品的示意图,不考虑厚度),期盼达到图8的效果.
  
  图7
  
  图8
  
  思考并解决下列问题:
  (1) 将绸带(图9)沿MN折叠成“V”形(图10),若PM′=5,求PN′的长(要有说理过程).
  
  图9
  
  图10
  
  图11
  
  (2) 显然,倾斜角α过大,包装将会太松,商品将有部分露在外面(图11);倾斜角α过小,包装将会太紧,绸带将出现交错重叠.
  若已知绸带的宽度为2,商品的宽度为10,则倾斜角α多大时,才能做到恰到好处包装(即达到图8的效果)?(求出α的某个三角函数值即可)
  分析 本题的合理性是很容易感受到的,关键是如何转化为数学问题来解决.
  解析 (1) ∵ AD∥BC,∴ ∠DMN=∠BNM(如图9).
  ∵ 在折叠过程中,∠DMN=∠D′M′N′,∠BNM=∠B′N′M′,
  ∴ ∠D′M′N′=∠B′N′M′,∴ PM′=PN′(如图10).
  ∵ PM′=5,∴ PN′=5.
  
  图12
  (2) 图12是图10中△PM′N′的放大图.如图,取M′N′的中点E,连接PE,则∠EPM′=∠N′PE=∠α.作N′G⊥PM′,G为垂足,取GM′的中点F,连接EF,则EF∥N′G,且EF=12N′G.
  ∵ N′G为绸带的宽度,PE为商品的宽度,
  ∴ N′G=2,PE=10,∴ EF=1.
  ∵ △PEF中,sin∠EPF=110,∴ sinα=110.
  点评 学会用数学的眼光观察生活,并能够用相应的数学知识解决问题,这是学习数学的目的之一.前面的解答应用了中位线知识,也可以采用相似或者面积的方法解决.
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