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一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分）
1.若3π2<α<2π，则直线xcosα+ysinα=1必不经过第_______象限.
2.设cos100°=k，则tan80°是_________.
3.函数f（x）=asin（x+π4）+3sin（x-π4）是偶函数的充要条件是a=_________.
4.函数y=2sin（π6-2x），x∈[π6，π2]的值域为 .
5.函数y=3sin（2x+π4），x∈[0，π]的单调递减区间_________.
6.若函数f（x）=2sin ωx（ω>0）在[-2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为_________.
7.若函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON=0（O为坐标原点），则A·ω=_________.
8.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列四个函数：①f1（x）=sinx+cosx，②f2（x）=2sinx+2，③f3（x）=sinx，④f4（x）=2（sinx+cosx），其中“同形”函数有_________.
9.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则bc+cb的取值范围是_________.
10.设α为锐角，若cos（α+π6）=45，则sin（2a+π12）的值为_________.
11.在△ABC中，已知a=5，b=4，cos（A-B）=3132，则cosC=_________.
12.点O为△ABC的外心，已知AB=3，AC=2，若AO=xAB+yAC，x+2y=1，则cosB=_________.
13.在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则①若a>b，则f（x）=（sinA-sinB）·x在R上是增函数；②若a2-b2=（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值为-2；④若cos2A=cos2B，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则A+B=34π，其中错误命题的序号是_________.
14.设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是_________.
①若ab>c2；则C<π3
②若a+b>2c；则C<π3
③若a3+b3=c3；则C<π2
④若（a+b）c<2ab；则C>π2
⑤若（a2+b2）c2<2a2b2；则C>π3
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边交于点B（xB，yB），设∠BAO=β.
（1）用β表示α；
（2）如果sinβ=45，求点B（xB，yB）的坐标；
（3）求xB-yB的最小值.
16.已知函数f（x）=sin（x+π4）+2sin（x-π4）-4cos2x+3cos（x+3π4）.
（1）试判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）求f（x）在[π2，π]上的最小值与最大值.
17.如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+2π3） （A>0，ω>0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）.赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD，且CD∥EF.赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE.
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值.
18.某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具（5π24≤θ≤π3），现准备定制长与宽分别为a、b（a>b）的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC.（如图所示）
（1）当θ=π6时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；
（2）现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80cm，宽30cm，B规格长60cm，宽40cm，C规格长72cm，宽32cm，可以选择哪种规格的硬纸板使用.
19.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且（2b-3c）cosA=3acosC.
（1）求角A的大小；
（2）若角B=π6，BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积.
20.在平行四边形ABCD中，设∠DAB=α，∠CAB=β，已知2AB·AD=|BC|·|CD|=BD2，cos（γ-α）=437，其中γ∈（π3，5π6）
（1）求cosγ的值；（2）求sin（β+2γ）的值.
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分.
1. 二 2. -1-k2k 3. -3 4. [-2，-1] 5. [π8，5π8] 6. 34
7. 76π 8. ①② 9. [2，5]10. 17502 11. 18 12. cosB=79
13. ③⑤ 14. ①②③
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）∠AOB=α-π2=π-2β，所以α=3π2-2β.
（2）由sinα=yBr=yB，得yB=sinα=sin（3π2-2β）=-cos2β=2sin2β-1 =2（45）2-1=725.
由α为钝角知xB=cosα=-1-sin2α=-2425.
所以B（-2425，725）.
（3）xB-yB=cosα-sinα=2cos（α+π4）.
又α∈（π2，π），则α+π4∈（3π4，5π4）.所以cos（α+π4）∈[-1，-22）.
故xB-yB的最小值为-2.
16.（1）f（x）=22（sinx+cosx）+2（sinx-cosx）-4cos2x-323（cosx+sinx）
=-22cosx-4cos2x
f（-x）=-22cos（-x）-4cos（-2x）
=-22cosx-4cos2x=f（x）.
所以f（x）为偶函数.
（2）f（x）=-22cosx-4（2cos2x-1）
=-8cos2x-22cosx+4
=-8（cosx+28）2+174.
因为x∈[π2，π]，故-1≤cosx≤0，所以，当cosx=-1时，f（x）min=22-4.
当cosx=-28时，f（x）有最大值174.
17.（1）由条件，得A=2，T4=3. ∴=π6.
∴曲线段FBC的解析式为y=2sin（π6x+2π3）
当x=0时，y=OC=3.又CD=3，∴∠COD=π4即∠DOE=π4. （2）由（1），可知OD=6.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故OP=6.
设∠POE=θ，0<θ≤π4，“矩形草坪”的面积为
S=6sinθ（6cosθ-6sinθ）=6（sinθ·cosθ-sin2θ）
=6（12sin2θ+12cos2θ-12）=32sin（2θ+π4）-3.
∵0<θ≤π4，故当2θ+π4=π2时，θ=π8时，S取得最大值.
18.（1）由题意∠AED=∠CBE=θ
∵b=BE·cos30°=AB·sin30°·cos30°=34a
∴ab=433
（2）∵b=BE·cosθ=AB·sinθ·cosθ=12AB·sin2θ ∴ba=12sin2θ
∵5π24≤θ≤π3 ∴5π12≤2θ≤2π3 ∴ba∈[34，12]
A规格：3080=38<34， 不符合条件.
B规格：4060=23>12， 不符合条件.
C规格：3272=49∈[34，12]，符合条件.
∴选择买进C规格的硬纸板.
19.（1）∵（2b-3c）cosA=3acosC，
∴（2sinB-3sinC）cosA=3sinAcosC.
即2sinBcosA=3sinAcosC+3sinCcosA.
∴2sinBcosA=3sin（A+C）.
则2sinBcosA=3sinB，∴cosA=32，则A=π6.
（2）由（1）知A=B=π6，所以AC=BC，C=2π3，
设AC=x，则MC=12x，又 AM=7.
在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2-2AC·MCcosC=AM2，
即x2+（x2）2-2x·x2·cos120°=（7）2， 解得x=2，故S△ABC=12x2sin2π3=3.
20.（1）在平行四边形ABCD中，|AD|=|BC|，|AB|=|CD|，
所以|CD|·|BC|=|AB|·|AD|，
又已知2AB·AD=|BC|·|CD|，
所以|AB|·|AD|=2AB·AD=2|AB|·|AD|·cos∠DAB，
所以cos∠DAB=12，又∠DAB∈（0，π），
所以∠DAB=π3，即α=π3，
γ∈（π3，5π6），则γ-α=γ-π3∈（0，π2），
所以sin（γ-α）=1-cos2（γ-α）=17，
cosγ=cos[α+（γ-α）]=cos[π3+（γ-π3）]
=cosπ3cos（γ-π3）-sinπ3sin（γ-π3）=3314；
（2）在平行四边形ABCD中，有|BC|·|CD|=|AD|·|AB|=BD2
又在△ABD中，BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠DAB，
即有AB·AD=AD2+AB2-2AD·AB·cosπ3，
即有（AB-AD）2=0，所以AB=AD，
即平行四边形ABCD为菱形，又∠DAB=π3，
所以∠CAB=π6，即β=π6，
由（1）得cosγ=3314，又γ∈（π3，5π6），
所以sinγ=1-cos2γ=1314，
sin2γ=2sinγcosγ=39398，
cos2γ=2cos2γ-1=-7198，
所以sin（β+2γ）=sin（π6+2γ）=12·（-7198+32·39398）=2398.
（作者：陈志华，泰兴市第二高级中学）
1.若3π2<α<2π，则直线xcosα+ysinα=1必不经过第_______象限.
2.设cos100°=k，则tan80°是_________.
3.函数f（x）=asin（x+π4）+3sin（x-π4）是偶函数的充要条件是a=_________.
4.函数y=2sin（π6-2x），x∈[π6，π2]的值域为 .
5.函数y=3sin（2x+π4），x∈[0，π]的单调递减区间_________.
6.若函数f（x）=2sin ωx（ω>0）在[-2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为_________.
7.若函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON=0（O为坐标原点），则A·ω=_________.
8.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列四个函数：①f1（x）=sinx+cosx，②f2（x）=2sinx+2，③f3（x）=sinx，④f4（x）=2（sinx+cosx），其中“同形”函数有_________.
9.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则bc+cb的取值范围是_________.
10.设α为锐角，若cos（α+π6）=45，则sin（2a+π12）的值为_________.
11.在△ABC中，已知a=5，b=4，cos（A-B）=3132，则cosC=_________.
12.点O为△ABC的外心，已知AB=3，AC=2，若AO=xAB+yAC，x+2y=1，则cosB=_________.
13.在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则①若a>b，则f（x）=（sinA-sinB）·x在R上是增函数；②若a2-b2=（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值为-2；④若cos2A=cos2B，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则A+B=34π，其中错误命题的序号是_________.
14.设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是_________.
①若ab>c2；则C<π3
②若a+b>2c；则C<π3
③若a3+b3=c3；则C<π2
④若（a+b）c<2ab；则C>π2
⑤若（a2+b2）c2<2a2b2；则C>π3
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边交于点B（xB，yB），设∠BAO=β.
（1）用β表示α；
（2）如果sinβ=45，求点B（xB，yB）的坐标；
（3）求xB-yB的最小值.
16.已知函数f（x）=sin（x+π4）+2sin（x-π4）-4cos2x+3cos（x+3π4）.
（1）试判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）求f（x）在[π2，π]上的最小值与最大值.
17.如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+2π3） （A>0，ω>0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）.赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD，且CD∥EF.赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE.
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值.
18.某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具（5π24≤θ≤π3），现准备定制长与宽分别为a、b（a>b）的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC.（如图所示）
（1）当θ=π6时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；
（2）现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80cm，宽30cm，B规格长60cm，宽40cm，C规格长72cm，宽32cm，可以选择哪种规格的硬纸板使用.
19.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且（2b-3c）cosA=3acosC.
（1）求角A的大小；
（2）若角B=π6，BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积.
20.在平行四边形ABCD中，设∠DAB=α，∠CAB=β，已知2AB·AD=|BC|·|CD|=BD2，cos（γ-α）=437，其中γ∈（π3，5π6）
（1）求cosγ的值；（2）求sin（β+2γ）的值.
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分.
1. 二 2. -1-k2k 3. -3 4. [-2，-1] 5. [π8，5π8] 6. 34
7. 76π 8. ①② 9. [2，5]10. 17502 11. 18 12. cosB=79
13. ③⑤ 14. ①②③
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）∠AOB=α-π2=π-2β，所以α=3π2-2β.
（2）由sinα=yBr=yB，得yB=sinα=sin（3π2-2β）=-cos2β=2sin2β-1 =2（45）2-1=725.
由α为钝角知xB=cosα=-1-sin2α=-2425.
所以B（-2425，725）.
（3）xB-yB=cosα-sinα=2cos（α+π4）.
又α∈（π2，π），则α+π4∈（3π4，5π4）.所以cos（α+π4）∈[-1，-22）.
故xB-yB的最小值为-2.
16.（1）f（x）=22（sinx+cosx）+2（sinx-cosx）-4cos2x-323（cosx+sinx）
=-22cosx-4cos2x
f（-x）=-22cos（-x）-4cos（-2x）
=-22cosx-4cos2x=f（x）.
所以f（x）为偶函数.
（2）f（x）=-22cosx-4（2cos2x-1）
=-8cos2x-22cosx+4
=-8（cosx+28）2+174.
因为x∈[π2，π]，故-1≤cosx≤0，所以，当cosx=-1时，f（x）min=22-4.
当cosx=-28时，f（x）有最大值174.
17.（1）由条件，得A=2，T4=3. ∴=π6.
∴曲线段FBC的解析式为y=2sin（π6x+2π3）
当x=0时，y=OC=3.又CD=3，∴∠COD=π4即∠DOE=π4. （2）由（1），可知OD=6.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故OP=6.
设∠POE=θ，0<θ≤π4，“矩形草坪”的面积为
S=6sinθ（6cosθ-6sinθ）=6（sinθ·cosθ-sin2θ）
=6（12sin2θ+12cos2θ-12）=32sin（2θ+π4）-3.
∵0<θ≤π4，故当2θ+π4=π2时，θ=π8时，S取得最大值.
18.（1）由题意∠AED=∠CBE=θ
∵b=BE·cos30°=AB·sin30°·cos30°=34a
∴ab=433
（2）∵b=BE·cosθ=AB·sinθ·cosθ=12AB·sin2θ ∴ba=12sin2θ
∵5π24≤θ≤π3 ∴5π12≤2θ≤2π3 ∴ba∈[34，12]
A规格：3080=38<34， 不符合条件.
B规格：4060=23>12， 不符合条件.
C规格：3272=49∈[34，12]，符合条件.
∴选择买进C规格的硬纸板.
19.（1）∵（2b-3c）cosA=3acosC，
∴（2sinB-3sinC）cosA=3sinAcosC.
即2sinBcosA=3sinAcosC+3sinCcosA.
∴2sinBcosA=3sin（A+C）.
则2sinBcosA=3sinB，∴cosA=32，则A=π6.
（2）由（1）知A=B=π6，所以AC=BC，C=2π3，
设AC=x，则MC=12x，又 AM=7.
在△AMC中由余弦定理得AC2+MC2-2AC·MCcosC=AM2，
即x2+（x2）2-2x·x2·cos120°=（7）2， 解得x=2，故S△ABC=12x2sin2π3=3.
20.（1）在平行四边形ABCD中，|AD|=|BC|，|AB|=|CD|，
所以|CD|·|BC|=|AB|·|AD|，
又已知2AB·AD=|BC|·|CD|，
所以|AB|·|AD|=2AB·AD=2|AB|·|AD|·cos∠DAB，
所以cos∠DAB=12，又∠DAB∈（0，π），
所以∠DAB=π3，即α=π3，
γ∈（π3，5π6），则γ-α=γ-π3∈（0，π2），
所以sin（γ-α）=1-cos2（γ-α）=17，
cosγ=cos[α+（γ-α）]=cos[π3+（γ-π3）]
=cosπ3cos（γ-π3）-sinπ3sin（γ-π3）=3314；
（2）在平行四边形ABCD中，有|BC|·|CD|=|AD|·|AB|=BD2
又在△ABD中，BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠DAB，
即有AB·AD=AD2+AB2-2AD·AB·cosπ3，
即有（AB-AD）2=0，所以AB=AD，
即平行四边形ABCD为菱形，又∠DAB=π3，
所以∠CAB=π6，即β=π6，
由（1）得cosγ=3314，又γ∈（π3，5π6），
所以sinγ=1-cos2γ=1314，
sin2γ=2sinγcosγ=39398，
cos2γ=2cos2γ-1=-7198，
所以sin（β+2γ）=sin（π6+2γ）=12·（-7198+32·39398）=2398.
（作者：陈志华，泰兴市第二高级中学）