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[摘 要]论述了不同需求函数的设定对垄断竞争下国际贸易理论分析的影响。CES效用函数简洁明了，但在CES效用函数设定下，从封闭到开放，垄断竞争厂商的价格不发生变化。在Translog支出函数设定下，由于需求弹性不是常数，从封闭走向开放后，垄断厂商的产品价格会随着竞争程度的加剧而下降。对比看来，Translog支出函数比CES效用函数更能准确反映垄断竞争条件下，对外开放所带来的经济影响。
[关键词]垄断竞争；CES效用函数；Translog支出函数；国际贸易
[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.46.029
从国际贸易理论的发展脉络中可以发现，对国际贸易的理论研究通常都侧重供给角度。具体说来，亚当·斯密的绝对优势理论和大卫·李嘉图的比较优势理论都是从劳动生产率差异的角度解释国际贸易的原因，并不关注消费者的偏好。赫克歇尔·俄林的新古典贸易理论讨论国家之间禀赋的差异对国际贸易的影响，同时，在H-O模型中明确假设两国消费者的偏好相同。克鲁格曼的新贸易理论研究规模经济导致的产业内贸易以及产业聚类等现象，仍然是侧重供给方。新新贸易理论专注对企业异质性的讨论，同样不重视需求方对国际贸易的影响。
已经有一些从需求角度研究国际贸易的文献，比如：嗜好与国际贸易，重叠需求与国际贸易等。但这些理论只是对国际贸易理论框架的补充和完善，从需求角度对国际贸易的研究还没有形成体系，更没有数理模型化的系统传承。
1 Homothetic函数的定义与特征
Feenstra（2002）的文章开启了从需求角度理论化研究国际贸易的一个新视角。Feenstra（2002）分析了Homothetic效用函数及垄断竞争条件下的国际贸易特征。Homothetic函数的定义参见定义1。
定义1（Homothetic函数）：V：Rn+→R是homothetic函数，如果它是一个齐次函数（homogeneous function）的单调变换（monotonic transformation）。具体说来：如果u是一个Rn+→R的一阶连续函数，那么u是homothetic函数的充分必要条件是：切面斜率在沿着原点的方向是相同的。即：
Homothetic函数及其特征参见下图。
齐次函数及单调变换的定义参见定义2和定义3。
定义2（齐次函数）：k∈[WTHZ]R[WTBZ]，一个实值函数f[JB（（]x1，x2，…，xn[JB））]称为R次齐次函数（homogeneous of degree k），如果f[JB（（]tx1，tx2，…，txn[JB））]=tkf[JB（（]x1，x2，…，xn[JB））]对x1，x2，…，xn成立，且t>0。
定义3（单调变换）：I是一个实数区间，那么g：I→R
Homothetic函数及其特征图
注：任意一条从原点引出的射线与Homothetic函数的交点处的切线斜率都相同。
是一个对I的单调变换，如果g是一个I的严格增函数。进一步的，如果g是一个单调变换，u是一个n个自变量的实值函数，那么就称gu：x→g[JB（（]u[JB（（]x[JB））][JB））]是一个对u的单调变换。
2 CES效用函数与垄断竞争
关于垄断竞争，Dixit和Stiglitz（1997）假设消费者的效用函数为：
U=Ni=1 φ[JB（（]Ci[JB））]，φ′>0，φ″<0（1）
其中，Ci是对商品i的消费量，i=1，2，3，…，N。在Krugman（1979）的关于垄断竞争和国际贸易的经典文章中，也使用了公式（1）的效用函数，但是公式（1）的效用函数不能保证具有homothetic的性质。因此，很多后续的研究采用的是公式（1）效用函数的一个特殊形式：
U=Ni=1 Cθi，其中0<θ<1（2）
公式（2）中的函数是homothetic，并且具有常替代弹性（Constant Elasticity of Substitution，CES），常替代弹性σ=[SX（]1[]1-θ[SX）]>1。
公式（2）中效用函数用于垄断竞争与国际贸易领域理论分析时存在不足：
第一，当N→+∞时，商品价格对边际成本的溢价为常数。
第二，对某些特定的成本函数，厂商的产出为常数，利润为零。
这说明当国际贸易导致厂商总数量增加时，现有厂商的规模以及产品价格不变，这显然与现实相距甚远。
因此，有必要引入一个新的效用函数，这个引入的效用函数具有homothetic特征，并且不具有常替代弹性。Bergin和Fenstra（2000，2001）的文章引入了这样的效用函数：对称的translog支出函数。但Bergin和Fenstra（2000，2001）假设经济中商品的数量是固定不变的，这与开放经济条件下垄断竞争中不断有新的企业进入，从而均衡利润为零的理论相悖。下面将重点论证当商品总数量可变的情况下，Bergin和Fenstra（2000，2001）中对称translog函数的优良特征不会受到影响。
3 Translog支出函数与垄断竞争
假设社会中可能生产出的商品种类上限为[AKN～]，支出函数为：
据公式（3）可知，消费者花费在某种特定商品上的支出比例Si满足公式（4）：
Si=αi+[AKN～]j=1 γijlnpj（4）
假设市场中已经存在的商品为1，2，…，N。没有进入市场中的商品为N+1，N+2，…，[AKN～]。即：
Si>0，当i=1，2，…，N时； Sj=0，当j=N+1，N+2，…，[AKN～]时。
可以证明，在Translog的函数形式设定下，均衡状态下需求弹性随着价格以及竞争厂商的改变而改变。
Si=[JB（（]1/N[JB））]-γ[JB（（]N-1[JB））]lnpi/N+[DD（]N[]j=1，j≠i[DD）]γlnpj/N（5）
根据公式（5）可得，当产品i的价格上升1%时，花费在产品i上的支出比例将降低γ%。对产品i的需求弹性随价格pi的上升而上升。产品i的价格pi满足
lnpi≈[JB（（]1/2[JB））]lnmci+[JB（（]1/2[JB））][DD（]N[]j=1，j≠i[DD）]lnpj/[JB（（]N-1[JB））]+1/[JB（[]2γ[JB（（]N-1[JB））][JB）]]（6）
公式（6）表明，产品i的价格pi是两部分的代数平均：第一部分是边际成本，第二部分是竞争对手的价格。可以证明，随着新厂商的进入，市场中原来的厂商的产品价格将下降。
4 结 论
总结说来，在CES效用函数下（U=[DD（]N[]i=1[DD）]Cθi，E=U1/θ+[JB（（][DD（]N[]i=1[DD）]pθ/[JB（（]θ-1[JB））]i[JB））][SX（]θ-1[]θ[SX）]，需求弹性是常数，而Translog函数设定下，需求弹性随pi的变化而变化。在CES函数设定下，pi只取决于边际成本，pi等于在边际成本的基础上再加上一个固定溢价。CES下厂商i生产的产品i的价格pi不因为新厂商的进入而下降。而本文所设定的Translog支出函数下，pi不仅取决于边际成本，还取决于其竞争对手的产品价格。因此，pi随着新厂商的进入而下降。通过这个对比发现，Translog支出函数的设定方式对垄断竞争条件下国际贸易的理论分析能力和效果明显优于CES效用函数。
参考文献：
[1]Bergin，Paul R.，Robert C.Feenstra.Pricing to Market，Staggered Contracts，and Real Exchange Rate Persistence[J].Journal of International Economics，2001，54（2）：333-359.
[2]Bergin，Paul R.，Robert C.Feenstra.Staggered Price Setting and Endogenous Persistence[J].Journal of Monetary Economics，2000（45）：657-680.
[3]Dixit，Avinash K.，Joseph E.Stiglitz.Monopolistic Competition and Optimum Product Diversity[J].American Economic Review，1977，67（3）：297-308.
[关键词]垄断竞争；CES效用函数；Translog支出函数；国际贸易
[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.46.029
从国际贸易理论的发展脉络中可以发现，对国际贸易的理论研究通常都侧重供给角度。具体说来，亚当·斯密的绝对优势理论和大卫·李嘉图的比较优势理论都是从劳动生产率差异的角度解释国际贸易的原因，并不关注消费者的偏好。赫克歇尔·俄林的新古典贸易理论讨论国家之间禀赋的差异对国际贸易的影响，同时，在H-O模型中明确假设两国消费者的偏好相同。克鲁格曼的新贸易理论研究规模经济导致的产业内贸易以及产业聚类等现象，仍然是侧重供给方。新新贸易理论专注对企业异质性的讨论，同样不重视需求方对国际贸易的影响。
已经有一些从需求角度研究国际贸易的文献，比如：嗜好与国际贸易，重叠需求与国际贸易等。但这些理论只是对国际贸易理论框架的补充和完善，从需求角度对国际贸易的研究还没有形成体系，更没有数理模型化的系统传承。
1 Homothetic函数的定义与特征
Feenstra（2002）的文章开启了从需求角度理论化研究国际贸易的一个新视角。Feenstra（2002）分析了Homothetic效用函数及垄断竞争条件下的国际贸易特征。Homothetic函数的定义参见定义1。
定义1（Homothetic函数）：V：Rn+→R是homothetic函数，如果它是一个齐次函数（homogeneous function）的单调变换（monotonic transformation）。具体说来：如果u是一个Rn+→R的一阶连续函数，那么u是homothetic函数的充分必要条件是：切面斜率在沿着原点的方向是相同的。即：
Homothetic函数及其特征参见下图。
齐次函数及单调变换的定义参见定义2和定义3。
定义2（齐次函数）：k∈[WTHZ]R[WTBZ]，一个实值函数f[JB（（]x1，x2，…，xn[JB））]称为R次齐次函数（homogeneous of degree k），如果f[JB（（]tx1，tx2，…，txn[JB））]=tkf[JB（（]x1，x2，…，xn[JB））]对x1，x2，…，xn成立，且t>0。
定义3（单调变换）：I是一个实数区间，那么g：I→R
Homothetic函数及其特征图
注：任意一条从原点引出的射线与Homothetic函数的交点处的切线斜率都相同。
是一个对I的单调变换，如果g是一个I的严格增函数。进一步的，如果g是一个单调变换，u是一个n个自变量的实值函数，那么就称gu：x→g[JB（（]u[JB（（]x[JB））][JB））]是一个对u的单调变换。
2 CES效用函数与垄断竞争
关于垄断竞争，Dixit和Stiglitz（1997）假设消费者的效用函数为：
U=Ni=1 φ[JB（（]Ci[JB））]，φ′>0，φ″<0（1）
其中，Ci是对商品i的消费量，i=1，2，3，…，N。在Krugman（1979）的关于垄断竞争和国际贸易的经典文章中，也使用了公式（1）的效用函数，但是公式（1）的效用函数不能保证具有homothetic的性质。因此，很多后续的研究采用的是公式（1）效用函数的一个特殊形式：
U=Ni=1 Cθi，其中0<θ<1（2）
公式（2）中的函数是homothetic，并且具有常替代弹性（Constant Elasticity of Substitution，CES），常替代弹性σ=[SX（]1[]1-θ[SX）]>1。
公式（2）中效用函数用于垄断竞争与国际贸易领域理论分析时存在不足：
第一，当N→+∞时，商品价格对边际成本的溢价为常数。
第二，对某些特定的成本函数，厂商的产出为常数，利润为零。
这说明当国际贸易导致厂商总数量增加时，现有厂商的规模以及产品价格不变，这显然与现实相距甚远。
因此，有必要引入一个新的效用函数，这个引入的效用函数具有homothetic特征，并且不具有常替代弹性。Bergin和Fenstra（2000，2001）的文章引入了这样的效用函数：对称的translog支出函数。但Bergin和Fenstra（2000，2001）假设经济中商品的数量是固定不变的，这与开放经济条件下垄断竞争中不断有新的企业进入，从而均衡利润为零的理论相悖。下面将重点论证当商品总数量可变的情况下，Bergin和Fenstra（2000，2001）中对称translog函数的优良特征不会受到影响。
3 Translog支出函数与垄断竞争
假设社会中可能生产出的商品种类上限为[AKN～]，支出函数为：
据公式（3）可知，消费者花费在某种特定商品上的支出比例Si满足公式（4）：
Si=αi+[AKN～]j=1 γijlnpj（4）
假设市场中已经存在的商品为1，2，…，N。没有进入市场中的商品为N+1，N+2，…，[AKN～]。即：
Si>0，当i=1，2，…，N时； Sj=0，当j=N+1，N+2，…，[AKN～]时。
可以证明，在Translog的函数形式设定下，均衡状态下需求弹性随着价格以及竞争厂商的改变而改变。
Si=[JB（（]1/N[JB））]-γ[JB（（]N-1[JB））]lnpi/N+[DD（]N[]j=1，j≠i[DD）]γlnpj/N（5）
根据公式（5）可得，当产品i的价格上升1%时，花费在产品i上的支出比例将降低γ%。对产品i的需求弹性随价格pi的上升而上升。产品i的价格pi满足
lnpi≈[JB（（]1/2[JB））]lnmci+[JB（（]1/2[JB））][DD（]N[]j=1，j≠i[DD）]lnpj/[JB（（]N-1[JB））]+1/[JB（[]2γ[JB（（]N-1[JB））][JB）]]（6）
公式（6）表明，产品i的价格pi是两部分的代数平均：第一部分是边际成本，第二部分是竞争对手的价格。可以证明，随着新厂商的进入，市场中原来的厂商的产品价格将下降。
4 结 论
总结说来，在CES效用函数下（U=[DD（]N[]i=1[DD）]Cθi，E=U1/θ+[JB（（][DD（]N[]i=1[DD）]pθ/[JB（（]θ-1[JB））]i[JB））][SX（]θ-1[]θ[SX）]，需求弹性是常数，而Translog函数设定下，需求弹性随pi的变化而变化。在CES函数设定下，pi只取决于边际成本，pi等于在边际成本的基础上再加上一个固定溢价。CES下厂商i生产的产品i的价格pi不因为新厂商的进入而下降。而本文所设定的Translog支出函数下，pi不仅取决于边际成本，还取决于其竞争对手的产品价格。因此，pi随着新厂商的进入而下降。通过这个对比发现，Translog支出函数的设定方式对垄断竞争条件下国际贸易的理论分析能力和效果明显优于CES效用函数。
参考文献：
[1]Bergin，Paul R.，Robert C.Feenstra.Pricing to Market，Staggered Contracts，and Real Exchange Rate Persistence[J].Journal of International Economics，2001，54（2）：333-359.
[2]Bergin，Paul R.，Robert C.Feenstra.Staggered Price Setting and Endogenous Persistence[J].Journal of Monetary Economics，2000（45）：657-680.
[3]Dixit，Avinash K.，Joseph E.Stiglitz.Monopolistic Competition and Optimum Product Diversity[J].American Economic Review，1977，67（3）：297-308.