[摘 要]现代汽车多采用双曲率后视镜的形式，即将平面镜与凸面镜拼接到一起，并光滑过渡。但不同的视野大小直接影响着行车安全。本文在反射线模型的基础上，对汽车后视镜最大视野范围进行了确定。
　　[关键词]汽车后视镜；视野范围；数学模型
　　中图分类号：S62 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）06-0315-01
　　一、模型的的分析
　　1.1对视野的具体量化
　　视野的要求是在凸面镜的情况下，使司机通过后视镜看到的范围尽可能大，获得更广阔的视野。但视野却是一个抽象的概念，需要对其进行具体量化的描述。一般的要求和对应实际的位置如下：
　　司机通过后视镜所看到的视野范围，就量化为了后视野的宽度d，视线与地平线相交的投影长度l，和司机视角的最大空间偏角 。而视野范围也可以客观的以三角形面积s来描述。
　　二、模型的建立
　　2.1反射方程的建立
　　司机的视线通过后视镜的反射，在地平线上的总投影区域即为司机的后视野范围。故首先研究司机视线的反射方程。
　　以曲面的剖面形心为空间三维坐标的原点建立空间坐标系，如图2.1所示，首先假设司机眼点坐标为 。
　　从曲面上任取一个点 ，则由眼点坐标 ，可得到两点间的点向式入射线方程为：
　　将点向式化为化成一般式方程：
　　通过曲面方程对 点求偏导，得到该点在曲面处的切面法向量为 。由此得到在曲面上B点处的点向式曲面法线方程为：
　　由于要运用反射光线来研究司机通过后视镜看到的视野范围，故要得到经曲面反射后的反射线方程。
　　设司机入射线上眼点A关于曲面B点法线的对称点为 ，该坐标为空间中的点关于直线的对称关系。则眼点 可用对称点 表示[2]。由于入射线与出射线关于曲面法线对称，所以C为反射线上的某一点。将对称点表示的眼点坐标 代入入射线方程，得到直线关于直线的对称方程，及空间出射线方程G（x）。
　　2.2曲面坐标选取与边界曲线
　　在求解入射线和反射线方程时，都运用了曲面上某点的坐标值，所以合理的选取曲面某点的坐标至关重要。又因为视野的范围与曲面的边界有直接的关系，曲面边界越大，则反射线的相应反射区域也越大。所以我们仅需考虑边界曲线上的坐标值。
　　由于x轴方向上不影响视线的扩大，即沿车行驶方向的后方视野，理论上是趋于无穷大的，故用 的平面来截取三维曲面，得到截取后的边界曲线函數g（x），该边界曲线仅考虑凸面镜的部分，所以其中要考虑凸面镜占整个后视镜的比例k。截取的曲面剖面形心即为我们上述的空间坐标原点，相应的曲面方程形式也要对应变换。
　　此时就得到仅有y坐标和z坐标的边界曲线函数关系。该函数关系中应包含曲面方程的相关系数a、b、c、r。通过移动边界曲线上的坐标点，即可得到后视镜视野的区域范围。
　　三、模型求解
　　反射线方程在地面的投影范围即为后视镜视野的大小。由于视野的最边界坐标是反射线方程G（x）与地平线平面方程 的交点，所以仅需联立两者方程即可。
　　凸透镜上的反射线与地平面的交点 ，我们根据后视镜与地面的实际高度和现有坐标系可以得到地面的平面方程为Z= ，然后再把曲面上所取的B点向地面投影得到 ，分别过D和 点做x和y轴的平行线，连接 后就可以得到一个三角形区域，我们就把这个区域面积称为后视镜的视野范围s。故视野范围s的表达式为：
　　（6）
　　为了能取得最大的视野范围，首先把B点取在凸面镜的边缘部分 。其次将这个边缘点带入反射线方程，然后联立地面的平面方程就可以得到D点的具体坐标。最后根据S的计算式就可以得到 的参数表达式：
　　（7）
　　四、总结分析
　　在考虑人眼位置可变的情况下，简化后视镜位置，忽略后视镜的可调性，以及后视镜与车身的夹角，具有一定的局限性并且在求解过程中只研究凸面镜反射情况，未考虑光学中凸面镜折射等其他性质对视野范围的影响，具有一定的误差。
　　但是在模型建立的过程中将逆向思维与正向推导结合，求解过程严谨、客观而且将视野范围量化为面积的求解，使问题简化合理，得出的数据可靠符合现实。
　　参考文献：
　　[1] 熊玉洁. 后视镜布置与设计[J]. 轻型汽车技术， 2004（11）：8-12.
　　[2]刘桂香. 三维空间中直线的几种对称直线方程的探讨[J]. 信阳师范学院学报自然科学版， 1995（3）.
　　[3]王卫华. 汽车大视野后视镜的理论建模与应用技术研究[D]. 武汉理工大学， 2006.