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摘要:本文从多个方面介绍了抽象函数的应用,特别是从平移的角度说明了抽象函数的对称问题,并就典型例题加以分析解答,对学生的常见错误进行了剖析。
关键词:抽象函数;定义域;周期;对称;平移;解析式
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2016)03-0114
抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点,关于抽象函数题目类型较多,形式灵活多变,考查内容无论从深度和广度,给人耳目一新的感受,现就其中几个主要问题加以分类解析。
一、求抽象函数的定义域
1. 若已知函数f [g(x)]的定义域为x∈(a,b),求函数f(x)。
解决这类问题的方法是:利用a 例1. 已知函数f(x 1)的定义域是[-2,3],求y=f(x)的定义域。
解:因为函数f(x 1)的定义域是[-2,3],所以-2≤x≤3
所以-1≤x 1≤4, 因此y=f(x)的定义域是[-1,4]
2. 若已知函数f(x)的定义域为x∈(a,b),求f [g(x)]函数的定义域。
解决这类问题的方法是:a 例2. 已知函数f(x)的定义域为(0,1],求函数g(x)=f(x a) f(x-a)(- 解:因为函数f(x)的定义域为(0,1]
所以0 由于- 所以不等式组(Ⅰ)的解为-a 即g(x)=f(x a) f(x-a)(- 二、抽象函数的周期性和奇偶性
1. 抽象函数的周期性
例3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x 2),且当x∈(-1,1]时,f(x)=x2 2x,
求当x∈(3,5]时,f(x)的解析式。
解:∵f(x 4)=f(x 2 2)=-f(x 2)=f(x)
∴f(x)是以4为周期的周期函数
设x∈(3,5]时,则-1 ∴f(x)=f(x-4)=(x 4)2 2(x-4)=x2-6x 8(3 评注:若对函数f(x)定义域内的任意,恒有下列条件之一成立(以下式子分母不为零,a≠0)
①f(x a)=-f(x) ②f(x a)= ③f(x a)=-
④f(x a)=- ⑤f(x a)=- ⑥f(x a)=f(x-a)
则函数f(x)是以2a为周期的周期函数①
2. 抽象函数的奇偶性
奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据,有时为了便于判断函数的奇偶性,也往往需要先将函数进行化简,或运用定义的等价形式,但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法,构造出定义的形式。
例4. 已知定义在上的函数f(x),对于任意x,y∈R都有f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0
(1)求f(0)的值
(2)判断函数f(x)的奇偶性
解:(1)令x=y=0,则有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1
(2)令x=0,得f(y) f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)这说明函数f(x)是偶函数。
三、抽象函数图像的对称变换
结论1:①函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称;
②函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于轴对称;
③函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点轴对称;
④函数y=f-1(x)与函数y=f(x)的图像关于直线y=x轴对称。
结论2:若对定义域内的一切x均有f(x m)=f(n-x)成立,则函数y=f(x)的图像关于直线x= 对称。
结论3:函数y=f(x a)与y=f(-x b)的图像关于直线x=对称(a,b为常数)。
例5. 設函数y=f(x)的定义域为,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于( )
A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称
C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称
错解:因为函数y=f(x)的定义域为R,且f(x-1)=f(1-x),所以函数y=f(x)的图像关于直线x=0对称,故选择B。
错解分析:错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈,即将两个不同函数图像的对称问题,错误地当成一个函数的图像对称问题,从而导致错误。
正解:因为函数y=f(x)的定义域为R,而y=f(x-1)的图像是y=f(x)图像向右平移1个单位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的图像是y=f(-x)图像向右平移1个单位而得到的,又因为f(x)与f(-x)的图像关于y轴对称,因此函数y=f(x-1)与y=f(1-x的图像关于直线x=1对称,故应该选择D。
四、求抽象函数的解析式
解决抽象函数解析式的问题,关键是构造出函数f(x)。通常采取赋值法,赋予恰当的数值或代数式后,通过合理运算推理,最后得出结论。
例6. 已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b 1),求函数f(x)的解析式。
解:令a=0,则 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1 b(b-1)=b2-b 1
再令-b=x,即得f(x)=x2 x 1
(作者单位:贵州省遵义市第四高级中学 563000)
关键词:抽象函数;定义域;周期;对称;平移;解析式
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2016)03-0114
抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点,关于抽象函数题目类型较多,形式灵活多变,考查内容无论从深度和广度,给人耳目一新的感受,现就其中几个主要问题加以分类解析。
一、求抽象函数的定义域
1. 若已知函数f [g(x)]的定义域为x∈(a,b),求函数f(x)。
解决这类问题的方法是:利用a
解:因为函数f(x 1)的定义域是[-2,3],所以-2≤x≤3
所以-1≤x 1≤4, 因此y=f(x)的定义域是[-1,4]
2. 若已知函数f(x)的定义域为x∈(a,b),求f [g(x)]函数的定义域。
解决这类问题的方法是:a
所以0
1. 抽象函数的周期性
例3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x 2),且当x∈(-1,1]时,f(x)=x2 2x,
求当x∈(3,5]时,f(x)的解析式。
解:∵f(x 4)=f(x 2 2)=-f(x 2)=f(x)
∴f(x)是以4为周期的周期函数
设x∈(3,5]时,则-1
①f(x a)=-f(x) ②f(x a)= ③f(x a)=-
④f(x a)=- ⑤f(x a)=- ⑥f(x a)=f(x-a)
则函数f(x)是以2a为周期的周期函数①
2. 抽象函数的奇偶性
奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据,有时为了便于判断函数的奇偶性,也往往需要先将函数进行化简,或运用定义的等价形式,但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法,构造出定义的形式。
例4. 已知定义在上的函数f(x),对于任意x,y∈R都有f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0
(1)求f(0)的值
(2)判断函数f(x)的奇偶性
解:(1)令x=y=0,则有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1
(2)令x=0,得f(y) f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)这说明函数f(x)是偶函数。
三、抽象函数图像的对称变换
结论1:①函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称;
②函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于轴对称;
③函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点轴对称;
④函数y=f-1(x)与函数y=f(x)的图像关于直线y=x轴对称。
结论2:若对定义域内的一切x均有f(x m)=f(n-x)成立,则函数y=f(x)的图像关于直线x= 对称。
结论3:函数y=f(x a)与y=f(-x b)的图像关于直线x=对称(a,b为常数)。
例5. 設函数y=f(x)的定义域为,则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于( )
A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称
C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称
错解:因为函数y=f(x)的定义域为R,且f(x-1)=f(1-x),所以函数y=f(x)的图像关于直线x=0对称,故选择B。
错解分析:错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈,即将两个不同函数图像的对称问题,错误地当成一个函数的图像对称问题,从而导致错误。
正解:因为函数y=f(x)的定义域为R,而y=f(x-1)的图像是y=f(x)图像向右平移1个单位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的图像是y=f(-x)图像向右平移1个单位而得到的,又因为f(x)与f(-x)的图像关于y轴对称,因此函数y=f(x-1)与y=f(1-x的图像关于直线x=1对称,故应该选择D。
四、求抽象函数的解析式
解决抽象函数解析式的问题,关键是构造出函数f(x)。通常采取赋值法,赋予恰当的数值或代数式后,通过合理运算推理,最后得出结论。
例6. 已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b 1),求函数f(x)的解析式。
解:令a=0,则 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1 b(b-1)=b2-b 1
再令-b=x,即得f(x)=x2 x 1
(作者单位:贵州省遵义市第四高级中学 563000)