（尉氏县第三高级中学洧川校区 河南 尉氏 475500）
　　函数是历届高考数学考查重点热点的内容，以分段函数为载体的问题已成为高考中的热点问题。下面对这类问题进行归类解析。
　　1. 与集合交汇
　　例1 已知函数f（x）=1，x∈[0，1]
　　x-3，x不属于[0，1] ，则使得f[f（x）]=1 成立的整数x的取值集合是________。
　　解析：当x∈[0，1]时，f（x）=1 ，f[f（x）]=f（1）=1，此时整数x取0和1。当x不属于[0，1] 时，f（x）=x-3 ，若x-3∈[0，1] ，即3≤x≤4 ，f[f（x）]=f（x-3）=1，此时整数x取3和4；若x-3不属于[0，1] ，，f[f（x）]=f（x-3）=（x-3）-3=1，此时整数x取7。故所求集合为{0，1，3，4，7} 。
　　点评：本题求解的关键是利用分类讨论思想方法将问题具体化，这是求解分段函数最为常用的方法之一，简言之“分段函数分段求”。
　　2. 与方程交汇
　　例2 设函数f（x）=x2+bx+c ，x≤0
　　2，x>0，若f（-4）=f（0） ，f（-2）=-2则关于x的方程f（x）=x 的解的个数为（ ）
　　A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　　解析：由f（-4）=f（0） ，得16-4b+c=c ，所以b=4 ；由f（-2）=-2 ，得4-2b+c=-2，所以c=2 ，所以f（x）=x2+4x+2 ，x≤0
　　2，x>0 ；当x≤0时，由x2+4x+2=x ，得x=-1或x=-2 ；当x>0时，得x=2 。故选（C）。
　　点评：解分段函数的方程只要分别求出各段上的方程的解集，再求其并集即可。
　　3. 与不等式交汇
　　例3、设函数f（x）=12 x-1 （x≥0）
　　1x （x<0），若f（a）>a，则实数a的取值范围为___________
　　解：分两类求解时， f（a）=12a-1>a推出a<-2，从而原不等式无解；当a<0时 ，f（a）=1a>a推出1a-a>0推出1-a2a>0推出a（a-1）（a+1）<0推出a<-1或0　　故实数a的取值范围为（-∞，-1） 。
　　点评：解分段函数的不等式只要分别求出各段上的不等式的解集，再求其并集即可。不同区间上函数解析式的确定是解处理分段函数的重要前提和出发点。本题通过分类讨论是问题具体化而得以解决。
　　4. 与数列交汇
　　例4、已知an=nn+1 （n=1，2，3）
　　-an+3 （n ∈N﹡，n≥4），则a2007 =_____
　　解析：由已知 当n ∈N﹡，n≥4，an+3=-an推出an+6=-an+3=an，从而知{an} 是一个周期为6的周期数列，于是a2007 =a334x6+3=a3=34 。即a2007 = 34。
　　點评：求解本题的关键是利用函数的周期性来解决。一般地，若函数f（x） 对任意实数x都有f（x+a）=f（x+b） ，则f（x） 是周期函数，并且周期T=k（a-b）（k∈Z） ；若函数f（x） 对任意实数x都有f（x+a）=-f（x+b） ，则f（x） 是周期函数，并且周期T=2k（a-b）（k∈Z） 。
　　5. 与概率与统计交汇
　　例5、已知随机变量x的总体密度曲线是函数f（x）=x，0≤x <1
　　2-x，1≤x ≤2的图象，则下列结论正确的是（ ）
　　A. P（x≤12）=13 B. P（x≥32）=14
　　C. P（x≤32）= 14 D. P（x≤32）= 78
　　解析：画出f（x） 的图象，由图易知P（x≤32）=1- 12x12x12=78 ，故选（D）。
　　点评：在总体密度曲线中，总体在区间（a，b） ，[a，b]，（a，b]，[a，b）内的概率等于在该区间上的曲线段的下方至横轴为止的图形面积是本题求解的关键。
　　6. 与极限交汇
　　例6、设函数f（x）= 1+x-1x，x≠0
　　a，x=0在x=0处连续，则实数a的值为______。
　　解析：当x≠0时， 1+x-1x=x x（ 1+x+1）=1 1+x+1
　　所以a=12。
　　点评：判断分段函数在分界点处是否连续，首先要判断函数在该点处的极限是否存在，然后考察f（x）在该点的极限值是否等于函数在该点处的函数值，若相等，则函数在分界点处连续，否则就不连续。
　　7. 与导数交汇
　　例6 讨论函数f（x）=x2，x>0
　　1，x=0
　　-x2，x<0，在点x=0处的可导性。
　　所以f（x）在x=0处不可导。
　　所以f（x）在x=0处不可导。
　　点评：分段函数在分段点处的导数，不能由分段函数的分段点左、右两侧的表达式的导函数求出，应按导数的定义去求。另函数f（x） 在x=x0 处不连续，则f（x）在点x=x0 处一定不可导。