论文部分内容阅读
摘 要：通过对经典的Stackelberg博弈模型的某些假设进行改进的基础上构建Stackelberg博弈模型，主要研究当每个厂商并不知道市场需求函数，只能对其进行估计的情况下，基于行为博弈的一些原理对Stackelberg博弈模型进行求解，并把解和经典的Stackelberg博弈模型的解进行比较，通过比较分析，对竞争市场中的一些现象给予解释。
关键词：Stackelberg博弈模型；市场需求；需求估计；行为博弈
中图分类号：F7文献标识码：A文章编号：1672-3198（2009）01-0064-02
1 对市场需求函数估计不同的情况下的Stackelberg模型
首先简单回顾经典的Stackelberg博弈模型。
假设有两个厂商进行先后确定产量水平的两阶段动态博弈，第一阶段，作为领导者的厂商1首先制定产量；第二阶段，在观察到厂商1的产量水平后，作为跟随者的厂商2按照利润最大化原则制定其产量。假设两个厂商的边际成本相等，c1=c2=c；市场的需求函数为p=a-（q1+q2），其中a>0为常数，q1为厂商i的产量，i=1,2。两个厂商都确切知道这个市场需求函数。
利用后退归纳法求解：
首先考虑第2阶段。给定厂商1的产量q1，厂商2的最优产量qS2为
qS2∈arggMaxq2｛π2（q1，q2）=［a-（q1+q2）-c］q2｝
由一阶条件，得到厂商2的最优反应函数q2=R2（q1）=a-q1-c2。
再考虑第1阶段，预见到厂商2的反应函数q2=R2（q1）=a-q1-c2，厂商1的最优产量qS1为
qS1∈arggMaxq1｛π1（q1，q2）=［a-（q1+R2（q1））-c］q1＝［a-q1+a-q1-c2-c］q1｝
由一阶条件，得到厂商1的最优产量qS1=a-c2。
所以qS2=R2（qS1）=a-qS1-c2=a-c4。
因此，Stackelberg博弈的结果为
qS=qS1+qS2=3（a-c）4；pS=a-qS=a+3c4。
进一步，两个厂商的利润分别为πS1=（pS-c）qS1=（a-c）28
πS2=（pS-c）qS2=（a-c）216。
但是，在现实经济活动中，厂商并不一定确切知道市场需求函数，只能对其进行估计，如本文引言所说的理由，不同的厂商对市场需求函数的估计并不一定相同，并且每个厂商认为对手对市场需求函数的估计和自己的估计一样。
假设厂商1估计的市场需求函数为p=a1-（q1+q2），并且认为厂商2估计的市场需求函数也和自己估计的一样。
厂商2估计的市场需求函数为p=a2-（q1+q2），并且认为厂商1估计的市场需求函数也和自己估计的一样。
这里ai，i=1，2是大于零的数。
现在这种情况下研究Stackelberg博弈模型，博弈分两个阶段且博弈的过程同经典的Stackelberg博弈过程一样。用后退归纳法求解。
首先考虑第2阶段，给定厂商1的产量q1，由于厂商2认为市场需求函数为p=a2-（q1+q2），若厂商2选择产量q2，厂商2认为自己的利润为π2（q1，q2）=［a2-（q1+q2）-c］q2，由一阶条件，得到厂商2的最优反应函数q2=R2（q1）=a2-q1-c2。
。
再回到第一阶段，由于厂商1估计的市场需求函数为p=a1-（q1+q2），并且认为厂商2估计的市场需求函数也和自己估计的一样。若厂商1选择产量q1，厂商1会认为在第2阶段厂商2若选择产量q2，则利润为π2（q1，q2）=［a1-（q1+q2）-c］q2，由一阶条件，得到厂商1认为厂商2的最优反应函数为q2=r2（q1）=a1-q1-c2。在这种情况下，厂商1认为自己的利润为π1（q1，q2）=［a1-（q1+r2（q1））-c］q1，由一阶条件，得到厂商1认为自己的最优产量q1=a1-c2。
再回到第2阶段，由于厂商1选择产量，厂商2认为自己的最优反应函数为
q2=R2（q1）=q2-q1-c2，由此得到的厂商2认为自己的最优产量q2=a2-q1-c2=2q2-a1-c2。
由于真实的市场需求函数为p=a-（q1+q2），市场价格为
p=a-（q1+q2）=a-q1-c2+2a2-a1-c4=4a-a1-2a2+3c4，
由此可计算出两个厂商分别的利润为
π1=（p-c）q1=（q1-c）（4a-a1-2a2-c）8
π2=（p-c）q2=（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）16
2 求解结果的比较分析
从本文的第2部分我们可以得到如下结果，若两个厂商都确切知道市场需求函数p=a-（q1+q2），在第2部分的假设条件下，两个厂商进行两阶段博弈后产量分别为qS1=a-c2和qS2=q-c4，利润分别为πS1=（a-c）28和πS2=（a-c）216。若两个厂商并不确切知道市场需求函数，只能对其进行估计，并且不同的厂商估计不相同且认为对方也和自己估计一样的情况下，在第2部分的假设条件下，两个厂商进行两阶段博弈后产量分别为q1=q1-c2和q2=2q2-q1-c4，利润分别为π1=（a1-c）（4a-a1-2a2-c）8和π2＝2（a2-a1-c）（4a-a1-2a2）-c16。
在这里首先假设a1>a>a2，这时有q1=a1-c2>qS1=a-c2，q2=2a2-a1-c4a>a2，说明厂商1对市场需求估计比真实的市场需求高，说明厂商1是一个比较乐观的厂商，在现实中往往是那些规模较大，实力较强的厂商比较乐观，因而他们对市场的前景看好，对市场需求的预测往往比实际的市场需求要高。在这种情况下，这个厂商往往生产的产量水平要比确切地知道实际市场需求时生产的产量水平高。而有本文第2部分所建立的模型的出的结果q1=a1-c2>qS1=a-c2恰好是对上述所提问题的一个说明。而从假设a1>a>a2，说明厂商2对市场需求估计比真实的市场需求低，说明厂商2是一个比较保守，相对谨慎的厂商，在现实中往往是那些规模较小，实力不强的厂商，其考虑问题比较谨慎，做事比较保守，因而他们对市场的前景不太看好，对市场需求的预测往往比实际的市场需求要低。在这种情况下，这个厂商往往生产的产量水平要比确切地知道实际市场需求时生产的产量水平低。而有本文第2部分所建立的模型得出的结果q2=2a2-a……1-c4 下面对本文第2部分所建立两个模型中两个厂商所得的利润进行比较。为了更清楚对两个模型中两个厂商各自的利润进行比较，本文作进一步的假设32a>a1>54a>a>34a>a2>12a>c，作这样的假设是说明对市场前景看好的厂商对市场需求的估计比真实的市场高一点但不会估计太高，对市场前景不太看好的厂商对市场需求的估计比真实的市场低一点但不会估计太低。这个假设比较符合实际，因为两个厂商在进行实际的博弈过程中，每个厂商都想使自己的利润更大，为了使自己在竞争中处于有利的地位，每个厂商都需要尽量清楚地了解市场需求，虽然他们很难确切知道市场需求函数只能对其估计，为了尽可能估计准确一些，他们在对市场进行调查研究时都会作尽可能的充分准备，虽然由于主客观条件的限制，他们很难准确地估计出市场需求函数，但他们估计的偏差也不至于太大，上面的假设正是对这种情况的一个界定。
这时对厂商1来说确切知道市场需求时的利润为πS1=（a-c）28，当他对市场需求进行估计时的利润为π1=（a1-c）（4a-a1-2a2-c）8。由假设32a>a1>54a>a>34a>a2>12a>c得到a1-c>a-c，4a-a1-2a2-c>4a-32a-2×34a-c=a-c由此得π1=（a1-c）（4a-a1-2a2-c）8>πS1=（a-c）28。这表明在所在的假设下，厂商1在不确切了解市场需求只能对其进行估计时的利润要比确切知道市场需求时利润高。这比较符合实际。因为本文假设厂商1是一个比较乐观的厂商，对市场前景看好，因而生产的产量水平比他确切知道市场需求时生产的产量水平高，在加上他的对手厂商2是一个比较保守的厂商，生产的产量相对较低，因而厂商1就占据了比他了解真实市场需求时更大的市场范围，这时他享有更多的利润也就是顺理成章的事情了。
对厂商2来说确切知道市场需求时的利润为πS2=（a-c）216，当他对市场需求进行估计时的利润为π2=（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）16。
由假设32a>a1>54a>a>34a>a2>12a>c得到
（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）=8aa2-4aa1-4a22+a21-4ac+2a1c+c2<4a2-5a2-a2+94a2-4ac+2a1c+c2 由此得π2=（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）16<πS2=（a-c）216。这表明在所在的假设下，厂商2在不确切了解市场需求只能对其进行估计时的利润要比确切知道市场需求时的利润低。这比较符合实际。因为本文假设厂商2是一个比较保守的厂商，对市场前景不太看好，因而生产的产量水平比他确切知道市场需求时生产的产量水平低，在加上他的对手厂商1是一个比较乐观的厂商，生产的产量相对较高，因而厂商2所占据的市场范围比他了解真实市场需求所占据的市场范围要小，这时他所能够获得的利润也就自然很小。
以上的分析在某种程度上解释了实际经济活动中的一个现象。在实际经济活动中，市场并不总是完全竞争状态，而常常是在一个市场中仅有少数厂商之间进行竞争，经常发现在某个较长时期，只有极少数厂商较长时间占据市场，而有很多其他厂商像走马观灯一样在市场中不断进进出出。那些长期占据市场的厂商往往是一些规模较大，实力较强的厂商，而那些在市场中很难站住脚不断进出的厂商往往是一些规模较小，实力较差的厂商。之所以出现这样的情况，不仅仅因为规模较大的厂商利用自己的规模经济挤走了那些规模较小的厂商，而且如本文上面的分析，那些规模较大，实力较强的厂商往往比较乐观，对市场前景看好，因而对市场需求估计较高，这时他们生产的产量更高，利润也更大，由此他们在市场中就处于更有利的地位，因而就能在较长时期内在市场中站稳脚跟。那些规模小，实力弱的厂商往往比较悲观，对市场前景不太看好，因而对市场需求估计较低，他们生产的的产量就比正常情况下的生产的产量更低。这样他们就很难在市场中立脚，只能不断地在市场中进进出出。
接着假设a2>a>a1。由此假设我们知道厂商2对市场需求估计过高，是一个对市场前景比较看好的一个厂商。而厂商1对市场需求估计过低，是一个对市场前景比较悲观的一个厂商。这时有q2=2a2-a1-c4>qS2=a-c4，q1=a1-c2 在进一步假设32a>a2>54a>a>34a>a1>12a>c下，和本文前面类似的讨论有，π1=（a1-c）（4a-a1-2a2-c）8<πS1=（a-c）28
和π2=（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）16>πS2=（a-c）216。
这也说明了乐观的厂商2获得的利润更多，悲观的厂商1获得的利润更少。
最后假设a1>a，a2>a，这说明两个厂商对市场前景都看好，都是比较乐观的厂商。这时q1=a1-c2>qS1=a-c2，但qS2=a-c4与q2=2a2-a1-c4到底哪个大这要取决于a1和a2具体取什么值而定。这说明这样一个问题，对厂商1来说，由于他是一个领导者，不管其对手对市场需求估计过高还是过低，当他对市场需求比较乐观时他生产的产量总是更多。对厂商2来说，虽然他对市场需求也比较乐观，但由于他只是一个追随者，所以当领导者也是一个对市场需求看好的厂商，这时厂商2生产的产量就不一定比他确切知道市场需求时生产的产量要高。对利润来说，π1=（a1-c）（4a-a1-2a2-c）8与πS1=（a-c）28以及π2=（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）16与πS2=（a-c）216到底哪个大都不能确定，要根据a1和a2的具体取值而定。这也说明一个情况，当两个厂商都对市场情景看好，由此都对市场需求估计过高，这时他们生产的产量往往要比市场需求是共同知识时要多，因而市场价格就可能下降，他们的利润就可能减少。
另外在假设a1
3 总结
在经典的Stackelberg博弈模型中，假设市场需求函数对两个厂商是共同知识的情况下，研究了其中一个厂商是领导者另一个厂商是追随者的两阶段博弈模型。本文在假设两个厂商并不了解市场需求函数，只能对其估计的情况下研究Stackelberg博弈模型，并把求解的结果与Stackelberg博弈模型的求解结果进行比较，并分析了本文的结果对实际经济活动有那些解释意义。本文所建立的模型对市场中一些规模较大的厂商能够在长期站稳脚跟而那些规模较小的厂商却只能像走马观花似的在市场中进进出出作出了解释。对厂商以及政府政策部门指导经济活动有一定的启发意义。另外，本文所提出的方法不仅能够用于分析Stackelberg博弈模型，也可以用于分析Cournot模型， Bertrand模型以及 Hotelling模型以及产业组织理论中其他的一些博弈模型。对这些问题用本文所提出的方法进行研究所得到的一些结果可能比经典模型所得到的结果对现实的经济活动更有指导意义。
参考文献
［1］Carlsson， H.and E.van Damme.Global Games and Equilibrium Selection ［J］.Econmetrica61， 1993， 989-1018.
［2］Stephen Morris and Hyun song Shin.Global Games： Theory and Application ［J］.Cowles Foundation Discussion Paper No.1275R， 2001.
［3］Fudenberg D and J.Tirole.Game Theory ［M］.Cambridge mass： MIT Press， 1991.
［4］Colin F.Camerer.Behavioral Game Theory： Experiments in strategic interaction ［M］.Princeton University press， 2003.
关键词：Stackelberg博弈模型；市场需求；需求估计；行为博弈
中图分类号：F7文献标识码：A文章编号：1672-3198（2009）01-0064-02
1 对市场需求函数估计不同的情况下的Stackelberg模型
首先简单回顾经典的Stackelberg博弈模型。
假设有两个厂商进行先后确定产量水平的两阶段动态博弈，第一阶段，作为领导者的厂商1首先制定产量；第二阶段，在观察到厂商1的产量水平后，作为跟随者的厂商2按照利润最大化原则制定其产量。假设两个厂商的边际成本相等，c1=c2=c；市场的需求函数为p=a-（q1+q2），其中a>0为常数，q1为厂商i的产量，i=1,2。两个厂商都确切知道这个市场需求函数。
利用后退归纳法求解：
首先考虑第2阶段。给定厂商1的产量q1，厂商2的最优产量qS2为
qS2∈arggMaxq2｛π2（q1，q2）=［a-（q1+q2）-c］q2｝
由一阶条件，得到厂商2的最优反应函数q2=R2（q1）=a-q1-c2。
再考虑第1阶段，预见到厂商2的反应函数q2=R2（q1）=a-q1-c2，厂商1的最优产量qS1为
qS1∈arggMaxq1｛π1（q1，q2）=［a-（q1+R2（q1））-c］q1＝［a-q1+a-q1-c2-c］q1｝
由一阶条件，得到厂商1的最优产量qS1=a-c2。
所以qS2=R2（qS1）=a-qS1-c2=a-c4。
因此，Stackelberg博弈的结果为
qS=qS1+qS2=3（a-c）4；pS=a-qS=a+3c4。
进一步，两个厂商的利润分别为πS1=（pS-c）qS1=（a-c）28
πS2=（pS-c）qS2=（a-c）216。
但是，在现实经济活动中，厂商并不一定确切知道市场需求函数，只能对其进行估计，如本文引言所说的理由，不同的厂商对市场需求函数的估计并不一定相同，并且每个厂商认为对手对市场需求函数的估计和自己的估计一样。
假设厂商1估计的市场需求函数为p=a1-（q1+q2），并且认为厂商2估计的市场需求函数也和自己估计的一样。
厂商2估计的市场需求函数为p=a2-（q1+q2），并且认为厂商1估计的市场需求函数也和自己估计的一样。
这里ai，i=1，2是大于零的数。
现在这种情况下研究Stackelberg博弈模型，博弈分两个阶段且博弈的过程同经典的Stackelberg博弈过程一样。用后退归纳法求解。
首先考虑第2阶段，给定厂商1的产量q1，由于厂商2认为市场需求函数为p=a2-（q1+q2），若厂商2选择产量q2，厂商2认为自己的利润为π2（q1，q2）=［a2-（q1+q2）-c］q2，由一阶条件，得到厂商2的最优反应函数q2=R2（q1）=a2-q1-c2。
。
再回到第一阶段，由于厂商1估计的市场需求函数为p=a1-（q1+q2），并且认为厂商2估计的市场需求函数也和自己估计的一样。若厂商1选择产量q1，厂商1会认为在第2阶段厂商2若选择产量q2，则利润为π2（q1，q2）=［a1-（q1+q2）-c］q2，由一阶条件，得到厂商1认为厂商2的最优反应函数为q2=r2（q1）=a1-q1-c2。在这种情况下，厂商1认为自己的利润为π1（q1，q2）=［a1-（q1+r2（q1））-c］q1，由一阶条件，得到厂商1认为自己的最优产量q1=a1-c2。
再回到第2阶段，由于厂商1选择产量，厂商2认为自己的最优反应函数为
q2=R2（q1）=q2-q1-c2，由此得到的厂商2认为自己的最优产量q2=a2-q1-c2=2q2-a1-c2。
由于真实的市场需求函数为p=a-（q1+q2），市场价格为
p=a-（q1+q2）=a-q1-c2+2a2-a1-c4=4a-a1-2a2+3c4，
由此可计算出两个厂商分别的利润为
π1=（p-c）q1=（q1-c）（4a-a1-2a2-c）8
π2=（p-c）q2=（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）16
2 求解结果的比较分析
从本文的第2部分我们可以得到如下结果，若两个厂商都确切知道市场需求函数p=a-（q1+q2），在第2部分的假设条件下，两个厂商进行两阶段博弈后产量分别为qS1=a-c2和qS2=q-c4，利润分别为πS1=（a-c）28和πS2=（a-c）216。若两个厂商并不确切知道市场需求函数，只能对其进行估计，并且不同的厂商估计不相同且认为对方也和自己估计一样的情况下，在第2部分的假设条件下，两个厂商进行两阶段博弈后产量分别为q1=q1-c2和q2=2q2-q1-c4，利润分别为π1=（a1-c）（4a-a1-2a2-c）8和π2＝2（a2-a1-c）（4a-a1-2a2）-c16。
在这里首先假设a1>a>a2，这时有q1=a1-c2>qS1=a-c2，q2=2a2-a1-c4
这时对厂商1来说确切知道市场需求时的利润为πS1=（a-c）28，当他对市场需求进行估计时的利润为π1=（a1-c）（4a-a1-2a2-c）8。由假设32a>a1>54a>a>34a>a2>12a>c得到a1-c>a-c，4a-a1-2a2-c>4a-32a-2×34a-c=a-c由此得π1=（a1-c）（4a-a1-2a2-c）8>πS1=（a-c）28。这表明在所在的假设下，厂商1在不确切了解市场需求只能对其进行估计时的利润要比确切知道市场需求时利润高。这比较符合实际。因为本文假设厂商1是一个比较乐观的厂商，对市场前景看好，因而生产的产量水平比他确切知道市场需求时生产的产量水平高，在加上他的对手厂商2是一个比较保守的厂商，生产的产量相对较低，因而厂商1就占据了比他了解真实市场需求时更大的市场范围，这时他享有更多的利润也就是顺理成章的事情了。
对厂商2来说确切知道市场需求时的利润为πS2=（a-c）216，当他对市场需求进行估计时的利润为π2=（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）16。
由假设32a>a1>54a>a>34a>a2>12a>c得到
（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）=8aa2-4aa1-4a22+a21-4ac+2a1c+c2<4a2-5a2-a2+94a2-4ac+2a1c+c2
以上的分析在某种程度上解释了实际经济活动中的一个现象。在实际经济活动中，市场并不总是完全竞争状态，而常常是在一个市场中仅有少数厂商之间进行竞争，经常发现在某个较长时期，只有极少数厂商较长时间占据市场，而有很多其他厂商像走马观灯一样在市场中不断进进出出。那些长期占据市场的厂商往往是一些规模较大，实力较强的厂商，而那些在市场中很难站住脚不断进出的厂商往往是一些规模较小，实力较差的厂商。之所以出现这样的情况，不仅仅因为规模较大的厂商利用自己的规模经济挤走了那些规模较小的厂商，而且如本文上面的分析，那些规模较大，实力较强的厂商往往比较乐观，对市场前景看好，因而对市场需求估计较高，这时他们生产的产量更高，利润也更大，由此他们在市场中就处于更有利的地位，因而就能在较长时期内在市场中站稳脚跟。那些规模小，实力弱的厂商往往比较悲观，对市场前景不太看好，因而对市场需求估计较低，他们生产的的产量就比正常情况下的生产的产量更低。这样他们就很难在市场中立脚，只能不断地在市场中进进出出。
接着假设a2>a>a1。由此假设我们知道厂商2对市场需求估计过高，是一个对市场前景比较看好的一个厂商。而厂商1对市场需求估计过低，是一个对市场前景比较悲观的一个厂商。这时有q2=2a2-a1-c4>qS2=a-c4，q1=a1-c2
和π2=（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）16>πS2=（a-c）216。
这也说明了乐观的厂商2获得的利润更多，悲观的厂商1获得的利润更少。
最后假设a1>a，a2>a，这说明两个厂商对市场前景都看好，都是比较乐观的厂商。这时q1=a1-c2>qS1=a-c2，但qS2=a-c4与q2=2a2-a1-c4到底哪个大这要取决于a1和a2具体取什么值而定。这说明这样一个问题，对厂商1来说，由于他是一个领导者，不管其对手对市场需求估计过高还是过低，当他对市场需求比较乐观时他生产的产量总是更多。对厂商2来说，虽然他对市场需求也比较乐观，但由于他只是一个追随者，所以当领导者也是一个对市场需求看好的厂商，这时厂商2生产的产量就不一定比他确切知道市场需求时生产的产量要高。对利润来说，π1=（a1-c）（4a-a1-2a2-c）8与πS1=（a-c）28以及π2=（2a2-a1-c）（4a-a1-2a2-c）16与πS2=（a-c）216到底哪个大都不能确定，要根据a1和a2的具体取值而定。这也说明一个情况，当两个厂商都对市场情景看好，由此都对市场需求估计过高，这时他们生产的产量往往要比市场需求是共同知识时要多，因而市场价格就可能下降，他们的利润就可能减少。
另外在假设a1
3 总结
在经典的Stackelberg博弈模型中，假设市场需求函数对两个厂商是共同知识的情况下，研究了其中一个厂商是领导者另一个厂商是追随者的两阶段博弈模型。本文在假设两个厂商并不了解市场需求函数，只能对其估计的情况下研究Stackelberg博弈模型，并把求解的结果与Stackelberg博弈模型的求解结果进行比较，并分析了本文的结果对实际经济活动有那些解释意义。本文所建立的模型对市场中一些规模较大的厂商能够在长期站稳脚跟而那些规模较小的厂商却只能像走马观花似的在市场中进进出出作出了解释。对厂商以及政府政策部门指导经济活动有一定的启发意义。另外，本文所提出的方法不仅能够用于分析Stackelberg博弈模型，也可以用于分析Cournot模型， Bertrand模型以及 Hotelling模型以及产业组织理论中其他的一些博弈模型。对这些问题用本文所提出的方法进行研究所得到的一些结果可能比经典模型所得到的结果对现实的经济活动更有指导意义。
参考文献
［1］Carlsson， H.and E.van Damme.Global Games and Equilibrium Selection ［J］.Econmetrica61， 1993， 989-1018.
［2］Stephen Morris and Hyun song Shin.Global Games： Theory and Application ［J］.Cowles Foundation Discussion Paper No.1275R， 2001.
［3］Fudenberg D and J.Tirole.Game Theory ［M］.Cambridge mass： MIT Press， 1991.
［4］Colin F.Camerer.Behavioral Game Theory： Experiments in strategic interaction ［M］.Princeton University press， 2003.