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代数知识是在算术知识的基础上发展起来的,其特点是用字母表示数,使数的概念及其运算法则抽象化和公式化,学生由小学步入初中,首先要经历的便是由算术到代数的过渡,这是学生认知过程的转折,是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段,作为小学老师,怎样在教学中,做到承小学知识之前,启初中知识之后,开宗明义,搞好中小学教学衔接就显得尤为重要。因此,我们应当引导学生学会用“代数的眼睛和耳朵”思考算术问题,充分挖掘小学数学中的代数知识,根据具体的教学内容进行适当的铺垫和渗透,使学生的代数思维得到有效的训练与提高。下面我们举例说明小学数学教学中代数思想的渗透。
一、计算知识中的代数思想渗透
计算是小学数学的重点之一,特别是四则混合运算,难度较大,为了教好计算,教师们往往让学生死记硬背计算法则,但一些难题,还是让学生望尘莫及,无从下手。例如第5届“希望杯”竞赛中出现的一道题:
(1+12002+12004+12006)×(12002+12004+12006+12008)-(12002+12004+12006+12008)×(12002+12004+12006)=_____
设12002+12004+12006=a
12002+12004+12006+12008=b
则原式=(1+a)×b-(1+b)×a=b+ab-a-ab=12008
这道例题初看是运用乘法分配律计算,特别麻烦,学生一看到这类题,就望而却步。如果教师在教学中,教给学生认真审题,见到题目不要急于去做,观察题目有没有规律可循,不难发现12002+12004+12006和12002+12004+12006+12008重复出现。如果把两个算式用字母表示出来,问题得到了简化,变成了运用乘法分配律计算的题目,经过计算消元,剩下的便是b-a得12008。这类问题在小学教学教材中也有出现,只要教师留意,教给学生一些代数思想,便可以使问题简单化。
二、简单知识中的代数思想渗透
我们在小学学过乘法分配律,在做简单题时经常用到乘法分配律的逆运算,这一算理便是初中教材中的提取公因式。
例:已知12=1×1,22=2×2,32=3×3……
如果:12+22+32+……+252=5525
那么:22+42+62+……+502=
22+42+62+……+502
=22×(12+22+32+……+252)
=4×5525
=22100
这道题目很难找到25个数公有的因数,在平时的简算中,只去找2个或3个数公有的因数,如果在第二步出现公有的因数,部分同学都忽略去提取。知识学得单一,如果能时时刻刻去观察题的变形,时刻找规律计算,渗透代数思想,复杂的问题也就得到了解决。正如著名数学家华罗庚所说:“难的不会想简单的。”
三、“等量代换”中的代数思想渗透
在小学数学教学中,使学生学会用“等量代换”的思路解题是可行的,且有利于中小学数学知识的衔接。
例:两数相除商3余4,如果把被除数,除数,商和余数相加,和是4,被除数是(),除数是()。
由于被除数=商×除数+余数,
所以:被除数=3×除数+4,
即被除数+除数+商+余数=43,
所以:3×除数+4+除数+3+4=43,这是运用了被除数=3×除数+4的等量代换,于是立即可求出除数,4×除数=43-11,
除数=(43-11)÷4=8,
被除数=3×8+4=28。
这样解答,思路清晰,运算简捷,学生易于掌握。教师要多引导渗透这些解题思路,不要只教给学生带余数除法,使学生的解题思路得不到扩展。
四、“设而不求”中的代数思想渗透
解题是应时刻明确解题的最终目的是什么?是否运用所掌握的知识和方法直接达到目的,如果能避免盲目的推演而造成无效的循环运算,“设而不求”是一种好策略。
例:甲班与乙班共83人,乙班和丙班共86人,丙班和丁班共88人,问:甲班和丁班共多少人?
解:设甲、乙、丙、丁班的各班人数分别为a、b、c、d则:
题意可得关系式:a+b=83①b+c=86②c+d=88③,
①-②+③得a+b=85,
即甲班和丁班共85人。
我们在这里不要分别去求a、b,而要直达终点求(a+b)的值,这种把“a+b”作“整体化”灵活处理的做法确实省时又省力。在小学六年级教材求圆的面积一章里,求复合图形的面积就经常出现这种问题。
例:如图∠AOB=45°,求空的部分的面积?
解:由公式S扇=πRn360
空白部分的面积=πn×(2+5+3)360-πn(3+5)360+πn×3360
=πn×(10-8+3)360
=3.14×45×45360
=17.6625
本题既运用了乘法分配律的递运算又运用了设而不求。
五、“鸡兔同笼”问题中的代数思想渗透
例:野鸡兔子49,100条腿地下走,求野鸡和兔子各多少只?
这所谓“鸡兔同笼”问题,教材中没有出现,学生对本题感到陌生,不知从何处着想,根据数量关系,“野鸡的只数+兔的只数=49”,只要设野鸡的只数为x只,就有兔(49-x)只。
又有:野鸡腿数+兔腿数=100,
即每只野鸡腿数(2)×野鸡只数(x)+每只兔腿数(4)×兔只数(49-x)=100,
由此列出方程:2x+4(49-x)=100,
同样设兔x只,可得方程4x+2(49-x)=100。
六、“巧添辅助线”的代数思想渗透
有些图形题从原图中很难找到解题途径,如果适当添加辅助线,则问题很容易解决。
例:如图,已知BC=CD=4厘米,三角形BCF的面积比DEF的面积多2平方米,则DE长多少厘米?
解:连接BD(如图2)则三角形BDC的面积是4×4÷2=8(平方厘米),
由于已知三角形BCF下的面积比三角形DEF的面积大2平方厘米,所以,三角形BDC的面积也比三角形BDE的面积大2平方厘米,
那么三角形BDE的面积为:8-2=6(平方厘米),
因此,DE的长为:6×2÷4=3(厘米)。
数学知识的内涵是非常丰富的,虽然每道题的结果只有一个标准答案,但解题方法却多种多样。我们只有坚持“以学生发展为本,捕捉代数雏形,深度挖掘,强化代数知识,巧妙渗透,发展代数思维,才能使课后留给学生积淀下来的东西,内化为学生的数学思考方法,解决问题的策略,也才能真正培养学生的数学思维,提高学生的素质。
一、计算知识中的代数思想渗透
计算是小学数学的重点之一,特别是四则混合运算,难度较大,为了教好计算,教师们往往让学生死记硬背计算法则,但一些难题,还是让学生望尘莫及,无从下手。例如第5届“希望杯”竞赛中出现的一道题:
(1+12002+12004+12006)×(12002+12004+12006+12008)-(12002+12004+12006+12008)×(12002+12004+12006)=_____
设12002+12004+12006=a
12002+12004+12006+12008=b
则原式=(1+a)×b-(1+b)×a=b+ab-a-ab=12008
这道例题初看是运用乘法分配律计算,特别麻烦,学生一看到这类题,就望而却步。如果教师在教学中,教给学生认真审题,见到题目不要急于去做,观察题目有没有规律可循,不难发现12002+12004+12006和12002+12004+12006+12008重复出现。如果把两个算式用字母表示出来,问题得到了简化,变成了运用乘法分配律计算的题目,经过计算消元,剩下的便是b-a得12008。这类问题在小学教学教材中也有出现,只要教师留意,教给学生一些代数思想,便可以使问题简单化。
二、简单知识中的代数思想渗透
我们在小学学过乘法分配律,在做简单题时经常用到乘法分配律的逆运算,这一算理便是初中教材中的提取公因式。
例:已知12=1×1,22=2×2,32=3×3……
如果:12+22+32+……+252=5525
那么:22+42+62+……+502=
22+42+62+……+502
=22×(12+22+32+……+252)
=4×5525
=22100
这道题目很难找到25个数公有的因数,在平时的简算中,只去找2个或3个数公有的因数,如果在第二步出现公有的因数,部分同学都忽略去提取。知识学得单一,如果能时时刻刻去观察题的变形,时刻找规律计算,渗透代数思想,复杂的问题也就得到了解决。正如著名数学家华罗庚所说:“难的不会想简单的。”
三、“等量代换”中的代数思想渗透
在小学数学教学中,使学生学会用“等量代换”的思路解题是可行的,且有利于中小学数学知识的衔接。
例:两数相除商3余4,如果把被除数,除数,商和余数相加,和是4,被除数是(),除数是()。
由于被除数=商×除数+余数,
所以:被除数=3×除数+4,
即被除数+除数+商+余数=43,
所以:3×除数+4+除数+3+4=43,这是运用了被除数=3×除数+4的等量代换,于是立即可求出除数,4×除数=43-11,
除数=(43-11)÷4=8,
被除数=3×8+4=28。
这样解答,思路清晰,运算简捷,学生易于掌握。教师要多引导渗透这些解题思路,不要只教给学生带余数除法,使学生的解题思路得不到扩展。
四、“设而不求”中的代数思想渗透
解题是应时刻明确解题的最终目的是什么?是否运用所掌握的知识和方法直接达到目的,如果能避免盲目的推演而造成无效的循环运算,“设而不求”是一种好策略。
例:甲班与乙班共83人,乙班和丙班共86人,丙班和丁班共88人,问:甲班和丁班共多少人?
解:设甲、乙、丙、丁班的各班人数分别为a、b、c、d则:
题意可得关系式:a+b=83①b+c=86②c+d=88③,
①-②+③得a+b=85,
即甲班和丁班共85人。
我们在这里不要分别去求a、b,而要直达终点求(a+b)的值,这种把“a+b”作“整体化”灵活处理的做法确实省时又省力。在小学六年级教材求圆的面积一章里,求复合图形的面积就经常出现这种问题。
例:如图∠AOB=45°,求空的部分的面积?
解:由公式S扇=πRn360
空白部分的面积=πn×(2+5+3)360-πn(3+5)360+πn×3360
=πn×(10-8+3)360
=3.14×45×45360
=17.6625
本题既运用了乘法分配律的递运算又运用了设而不求。
五、“鸡兔同笼”问题中的代数思想渗透
例:野鸡兔子49,100条腿地下走,求野鸡和兔子各多少只?
这所谓“鸡兔同笼”问题,教材中没有出现,学生对本题感到陌生,不知从何处着想,根据数量关系,“野鸡的只数+兔的只数=49”,只要设野鸡的只数为x只,就有兔(49-x)只。
又有:野鸡腿数+兔腿数=100,
即每只野鸡腿数(2)×野鸡只数(x)+每只兔腿数(4)×兔只数(49-x)=100,
由此列出方程:2x+4(49-x)=100,
同样设兔x只,可得方程4x+2(49-x)=100。
六、“巧添辅助线”的代数思想渗透
有些图形题从原图中很难找到解题途径,如果适当添加辅助线,则问题很容易解决。
例:如图,已知BC=CD=4厘米,三角形BCF的面积比DEF的面积多2平方米,则DE长多少厘米?
解:连接BD(如图2)则三角形BDC的面积是4×4÷2=8(平方厘米),
由于已知三角形BCF下的面积比三角形DEF的面积大2平方厘米,所以,三角形BDC的面积也比三角形BDE的面积大2平方厘米,
那么三角形BDE的面积为:8-2=6(平方厘米),
因此,DE的长为:6×2÷4=3(厘米)。
数学知识的内涵是非常丰富的,虽然每道题的结果只有一个标准答案,但解题方法却多种多样。我们只有坚持“以学生发展为本,捕捉代数雏形,深度挖掘,强化代数知识,巧妙渗透,发展代数思维,才能使课后留给学生积淀下来的东西,内化为学生的数学思考方法,解决问题的策略,也才能真正培养学生的数学思维,提高学生的素质。