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摘要
在信用担保动态定价的理论研究中，Credit Metrics模型是较为常用的一种，模型的关键是信用等级矩阵的调整和预测。而国内的理论研究中所用的信用等级转移矩阵则来自于国外的标普、惠誉或者穆迪的数据，从而对国内的实际运用缺乏借鉴意义。该研究首次利用国内的大公国际信用等级转移矩阵作为Credit Metrics模型的研究对象，利用半马尔科夫过程对信用等级转移矩阵进行调整和预测，从而优化了Credit Metrics模型，令动态信用担保定价模型更加具有实用性，对该模型在国内的实际运用有一定的借鉴意义。
关键词 定价模型;Credit Metrics 模型;半马尔科夫过程
中图分类号 S-9 文献标识码 A 文章编号 0517-6611（2014）34-12360-06
Dynamic Pricing of SME Credit Guarantee
WANG Baosen1， WANG Lijie2， LV Tianxiao2
（1. Economic School of Beijing Wuzi University， Beijing 101149; 2. Graduate Department of Beijing Wuzi University， Beijing 101149）
Abstract In the theoretical study of the dynamic pricing of credit guarantees， Credit Metrics model is more commonly used. The key to the model is to adjust and predict the credit rating of the matrix. The credit rating transition matrix used in the country theory comes from abroad， S & P， Fitch or Moody′s data， thus lack of reference for the practical application of domestic. This paper first use of domestic Dagong Global Credit Rating Transition Matrix as the study object， use of semiMarkov process to adjust and predict credit rating transition matrix， thus optimizing the Credit Metrics model， so that dynamic pricing model of credit guarantee is more practical， while there are certain significance for the practical application of domestic.
Key words Pricing model; Credit Metrics model; SemiMarkov process
1 信用等級转移概率矩阵优化和预测的方法
1.1 半马尔科夫过程的提出
目前国内外关于Credit Metrics模型的研究基本都直接利用标准普尔或者穆迪的信用等级转移矩阵，但并没有探究Credit Metrics模型中的信用等级转移矩阵的求解方法是否合理。事实上，Credit Metrics模型在确定信用等级转移矩阵的时候，是基于该信用等级转移矩阵符合马尔科夫过程的前提下的。Credit Metrics模型除了具有稳定性假设的不足以外，还有一个问题就是它假定借贷企业的信用等级只与其上一期的信用等级有关，而忽略该借贷企业处于该信用等级上的时间长度，即信用等级存在时间依赖性[1]。从历史数据来看，相关研究曾总结出这样的结论：企业信用在短期内较稳定，随着时间的延长稳定性逐渐降低。同一时间内，等级越高，回到原等级概率越高;等级越低，回到原等级概率越低。
半马尔科夫过程实际上是对马尔科夫过程缺乏时间上的考虑欠缺方面进行了补充，其状态变化本身服从马尔科夫过程，但补充了前一状态停留时间这一新的变量，从而使原本的马尔科夫过程更加完整。半马尔科夫过程不假定信用转移矩阵遵循稳定的马尔科夫过程，直接预测未来的信用转移概率矩阵，从而估计信用担保风险。
1.2 半马尔科夫过程概念
由于半马尔科夫过程是在马尔科夫过程的基础上增加了时间留置参数，因此首先介绍马尔科夫过程[2]。
设X={Xn，n≥0}，Xn为随机变量。T={Tn，n≥0}，Tn是取值非负的随机变量，且0= T0≤T1≤T2≤…≤Tn-1≤Tn-2≤…，称{X， T}={（Xn ， Tn）， n≥0}为马尔科夫过程。
当n≥0时，j∈S，t≥0满足：
P{Xn+1=j ， Tn+1-Tn | X0， T0， X1， T1，…， Xn， Tn }=P{Xn+1=j， Tn+1-Tn≤t| Xn} （1）
式（1）即为半马尔科夫过程，随机变量Xn表示当前状态，变量Xn+1表示未来状态，Tn+1-Tn表示状态停留在Xn的时间长度，同时这些变量的联合分布与过去的状态X0， T0， X1， T1，…， Xn， Tn之间相互独立，这表明标的物的状态转移是随机的。设标的物从状态i变为状态j的概率是Q（i，j），从状态i转移到状态j过程中所经历的所有状态构成半马尔科夫链，标的物在每一状态的留置时间长度是随机，其概率分布只取决于从这一状态过渡到下一状态的时间。 半马尔科夫过程最重要的一个环节就是求解半马尔科夫核，对任意i，j∈S，t≥0来说：
Q=[ Qij（t）]=[P（Jn+1，Tn+1-Tn≤t|Jn=i]，i，j∈I，t∈N （2）
Q=[ Qij（s，t）]=[P（Jn+1=j ，Tn+1-Tn≤t|Jn=I，Tn=s]，i，j∈I，s，t∈N （3）
式中，Qij（t）和Qij（s，t）分别为齐次半马尔科夫核和非齐次半马尔科夫核，且都是关于t的单调不减函数且右连续。齐次半马尔科夫过程与非齐次半马尔科夫过程的区别是齐次半马尔科夫过程与n无关，而非齐次半马尔科夫过程与n有关。由于该研究利用半马尔科夫过程求解的是信用等级转移矩阵，其中信用等级一般是每年评定一次，因此该研究将重点介绍和利用齐次半马尔科夫过程。
为利用半马尔科夫过程求解信用等级转移矩阵，需要引入P、H、F等参数，其中P、H、F分别为嵌入马尔科夫链的转移矩阵，半马尔科夫过程在时间t或时间t之前离开状态i的概率，等待时间的离散条件概率分布。
在齐次半马尔科夫情况下，嵌入马尔科夫链的转移矩阵P表示为：
P=[pij]=[limn→∞Qij（s，t）]，i，j∈I，t∈N （4）
标的物在时间t或时间t之前离开状态i的概率H为：
H=[H1（t）]=[P（Tn+1-Tn≤t|Jn=i）] （5）
其中，Hi（t）為：
Hi（t）=∑mj=1Qij（t） （6）
根据马尔科夫的定义可以求出B：
B=[bij（t）]= [P（Jn+1=j，Tn+1- Tn ≤t|Jn=i）] （7）
其中，Bij（t）为：
Qij（0）=0，t=0
Qij（t）-Qij（t-1），t=1，2，… （8）
等待时间的离散条件概率分布F为：
F=[Fij（t）]=[P（Tn+1-Tn≤t|Jn=I， Jn+1=j）] （9）
其中，Fij（t）为：
Qij（t）/pij=0，Pij≠0
U1（t），Pij=0
（10）
上式中，
U1（t）=U1（s，t）=1s，t
离散时间Z可表示为Z=[Z（t），t∈N]，其中Z（t）=Jn（t），N（t）=max（n：Tn≤t），N（t）表示标的物在t时所处的状态。设Φij（t）为齐次半马尔科夫过程中的转移概率，可表示为：
Φij（t）=P（Zt=j|Z0=i）， i，j=1，…，m
1.3 构建信用等级转移概率矩阵
信用等级转移概率和信用等级转移矩阵分别是指特定时间内，目标企业信用等级发生变化的概率，以及所有信用等级向其他信用等级变化的概率分布情况。通常由于信用等级的评定是每年一次，因此一般特定时间就是一年，但也有以几年为时间段变量的信用等级转移矩阵。
信用等级转移概率矩阵是基于“强大数定律”构建的，这表明只要样本量足够大，那么目标企业的信用等级发生转移的概率将收敛于其实际发生概率。
假设信用等级分为m个，Ni表示初始状态信用等级为i的企业数量，Nij（Δt）表示原始信用等级为i，Δt时间后信用等级转变为j的企业数量。Pij（Δt）为Δt内由信用等级i转变为信用等级j的概率，即：
Pij（Δt）=Nij（Δt）Ni，I，J∈1，2，…K
（11）
比如原始信用等级为i的企业有Ni个，经过一年后，有Nij（1）个企业由信用等级i转变为信用等级j，其转移概率表示为：
Pij（1）=Nij（1）Ni （12） AAA10000000000
AA+01000000000
AA6.6713.3380000000
AA-08.721.7469.5600000
A+009.316.2872.092.33000
A000021.7478.26000
A-000010405000
BBB+00000001000
BBB及以下00000000100
注： 数据来源于大公国际资信评估有限公司。
2.2 对研究对象进行预处理
信用數据的缺乏已成为各国普遍存在的问题，它将造成转移矩阵的构成不尽合理。此外，经济周期也会对转移矩阵的构成产生影响。一般认为，经济低迷时期的转移矩阵与经济发展时期的有一定差别，行业与地区差异也会影响转移矩阵，因此在应用评级转移矩阵分析问题时，应当对其作必要的调整。
现实中，信用级别变化频率都普遍偏低，得到的历史转移概率的时间段一般均超过1年，为求得短期的转移矩阵，需要先求得转移矩阵的生成矩阵。在生成矩阵中，有可能会出现由于违约概率很小，生成矩阵的非对角线元素变为负的情况，因此，必须对生成矩阵进行调整。目前，常用的转移概率矩阵调整方法为JLT调整法。它主要通过使用风险溢价调整项将历史转移概率转变为风险中性测度的转移概率。
JIT调整法的具体步骤如下：
第一步：假设企业信用级别在一年中最多出现一次转移。信用评级公司通常都是一年评定一次，因此这个假设具有一定的合理性。通过以下公式可以得到一个近似的生成矩阵。
Kij=logqij，Kij=qijlogqijqij-1，i，j=1，2，…K-1 （21）
这样所得的生成矩阵的非对角线元素可以避免出现负数，而且各行元素之和仍旧为零。对大公原始信用转移矩阵进行第一步调整得到表2，很显然满足生成矩阵的基本要求。
安徽农业科学 2014年
表2 大公信用等级转移概率生成矩阵
%
级别AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+BBB及以下
AAA000000000
AA+000000000
AA7.4414.87-22.31000000
AA-010.3725.92-36.300000
A+0010.919.09-32.732.73000
A000024.51-24.51000
A-000013.8655.45-69.3100
BBB+000000000
BBB及以下000000000
第二步：由于exp（K）=P，其中K为生成矩阵，P为调整后的转移矩阵。因此调整后的转移矩阵可以通过以下方法确定。
P=exp（K）=I+K+K^2/2！+K^3/3！+…， （22）
式中，I为单位矩阵;K为上文求得的生成矩阵。
通过第二步的调整，得到了大公国际JIT调整后的矩阵（表3）。可以看到，调整后的矩阵与原转移矩阵相比差别并不大，但是通过调整，在一定程度上消除了经济波动等部分因素的影响，得到了风险中性测度的信用等级转移矩阵。该矩阵比原矩阵更具有代表性和研究意义。当前我国经济正处于稳定发展阶段，调整后的矩阵更能够反映我国企业当前以及未来的信用等级变化趋势。因此，该研究以调整后的矩阵作为后续问题的研究对象。
表3 平均一年期大公国际信用等级转移概率调整后矩阵
%
级别AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+BBB及以下
AAA10000000000
AA+01000000000
AA6.6713.3380000000
AA-0.810.2919.3569.5600000
A+0.391.5610.1213.5372.332.05000
A0.030.121.181.7118.4478.52000
A-0.020.080.771.1312.8635.155000
BBB+00000001000
BBB及以下00000000100
从概率分布的广度来看，大公国际评价对象的信用等级只有BBB级以上的状态。说明相比于国际信用评级巨头标普、穆迪和惠誉，大公国际信用评级公司所评级的企业样本量较少，但这只是2008年之前的信用等级转移矩阵，随着该公司的发展与国内企业对信用评级的重视，后来的信用等级转移矩阵所涵盖的样本点应该更加丰富。同时，随着我国中小企业债的推出，大公国际从2010年以后也逐步推出了中小企业集合票据评级，更加为笔者所研究的中小企业信用担保动态定价体系提供了更加实际的支持。
若将调整后的矩阵与调整前的矩阵进行对比，可以发现两点显著变化。第一，转移概率分布集中度有所降低，调整后的一年期大公信用等级转移矩阵中相比未调整前矩阵，转移概率分布范围变广了，几乎每一行都至少增加了一个转移概率，说明通过调整缓解了大公信用等级转移矩阵数据样本不足问题;第二，调整后的信用等级转移矩阵对角线转移概率变大。产生该情况很有可能是因为通过调整消除了部分经济周期对信用评级的影响。由此看来，调整后的信用等级转移矩阵相比未调整的原矩阵具有更高的研究价值。因此接下来的所有研究都是基于调整后的一年期大公信用等级转移矩阵展开。 2.3 构建半马尔科夫求解方程推算未来信用转移矩阵
通过构建半马尔科夫的求解方程，对一年期的大公信用等级转移矩阵进行调整，由Q（t）=F（t）×P关系求得齐次半马尔科夫核Q（t）。通过对调整后的一年期大公信用等级转移矩阵计算，得到大公信用等级转移的齐次半马尔科夫的核Q（t），最终根据半马尔科夫核，推算出未来n年期的信用等级转移概率矩阵。
2.4 求解信用等级转移矩阵的半马尔科夫核
根据Q（t）=F（t）×P的关系可以求出齐次半马尔科夫核Q（t），利用经过调整的大公信用等级转移矩阵进行计算，可以得到大公国际的信用等级转移矩阵的齐次半马尔科夫核Q（t）。以计算Q（3） 为例，大公国际信用等级转移的齐次半马尔科夫核Q（t）见表4。
表4 大公国际信用等级转移的齐次半马尔科夫核Q（t）
%
级别AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+BBB及以下
AAA24.1700000000
AA+028.130000000
AA2.214.2022.15000000
AA-0.213.416.1119.4000000
A+0.120.452.413.4820.670.70000
A0.010.030.360.474.2123.93000
A-00.020.190.343.9311.4115.0900
BBB+00000001000
BBB及以下00000000100
表4是根据大公国际一年期平均信用等级转移矩阵为基础，通过齐次半马尔科夫方程求解得出的第三年的半马尔科夫核矩阵，其中半马尔科夫核Q（t）=F（t）×P，表示的是t时间内信用等级从某一级转移到另一等级的概率。以Q（3）=6.11%，表示的是3年后，原信用等级为AA-的企业转移为AA信用等级的概率为6.11%。
根据经历的时间不同，齐次半马尔科夫核矩阵应再分别计算出Q（1），Q（2），…，Q（10），此处不再赘述。
2.5 基于半马尔科夫模型进行信用等级转移概率预测
根据Q（t）和B（t）的关系以及Q（t）和Hi（t）的关系，可以分别Q（t）和Hi（t），其中Hi（t）表示的是某一状态在t时间之前发生转移的概率。
确定Vij，Wij，Fij（t），Q（t），B（t），Hij（t）这些变量以后，可以构造齐次半马尔科夫的求解方程，进而推导出未来几年的信用等级转移矩阵。
针对调整后的一年期大公国际信用等级转移矩阵，求解半马尔科夫模型，得到未来n年期的信用等级转移概率矩阵。基于半马尔科夫过程的大公国际2013年信用等级转移矩阵见表5。该研究主要通过计算未来5年以内的信用等级转移矩阵，来推算信用担保机构对不同信用等级的客户应该收取的担保费率。
表5 基于半马尔科夫过程的大公国际2013年信用等级转移矩阵
%
级别AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+BBB及以下
AAA10000000000
AA+01000000000
AA3.627.0389.35000000
AA-0.616.1910.9482.2600000
A+0.311.115.166.7685.411.25000
A0.040.140.811.078.2289.72000
A-0.020.100.560.847.5519.1971.7500
BBB+00000001000
BBB及以下00000000100
3 改进的Credit Metrics模型下担保费率的计算
优化后的信用担保定价模型将利用根据半马尔科夫过程推算出的未来几年的信用等级转移概率矩阵，进行担保费率的定价研究。这改变了以往假定信用等级转移概率矩阵遵循稳定的马尔科夫过程的假设，加入了对企业信用等级停留在原等级的时间属性的考虑，从而形成了具有动态性的信用等级转移矩阵，研究信用担保的动态定价模式[3]。
假设2008年底有一信用等级为A的中小企業向银行借款200万元，贷款年利率是6%，期限是5年，每年年末支付一次利息，到期还本。同时，银行要求甲信用担保公司提供担保服务，因此甲担保公司需要考虑该借款企业的信用等级会不会发生变化，从而构造动态的信用担保定价模型，最终确定这笔贷款的担保费率。
3.1 确定贷款的现值
在上一部分计算出2013年及前4年的信用等级转移矩阵后，就可以根据不同等级不同年份的债务人所面临的贴现率水平（表6）计算出各个信用等级的债务人的贷款现值。
表6 不同等级不同年份的债务人所面临的贴现率
%
级别第1年第2年第3年第4年第5年
AAA3.604.174.735.125.5
AA+3.654.224.785.175.55
AA3.724.324.935.325.7
AA-4.104.675.255.636.01
A+5.556.026.787.277.65
A6.057.028.038.529.01
A-7.568.629.5810.0710.45
BBB+15.0515.0214.0313.5213.01
以借款企业原来的信用等级为A级为例，因此可以计算借款200万，年息6%，借款5年后的债务人处于不同信用等级时的现值： 5年后信用等级转移为AAA级时，借款的现值为：
Vi=∑Tj=1E·r（1+Rj+Sj）j+E（1+RT+ST）T=121+6.05%+12（1+7.02%）2+12（1+8.03%）3+12（1+8.52%）4+212（1+5.5%）5=202.171 8（万元）
由此可以得出2013年不同信用等级的债务人贷款的现值，如表7所示。
计算出各种信用等级状态的现值数据后，就可以利用公式计算出其加权平均值。例如，A级债务人的加权平均贷款现值为：
V=∑ni=1pi·Vi=178.869（万元）
同样就可以计算出其他几种信用等级下的加权平均贷款现值，如表8所示。
3.2 确定担保费率
按照风险度量的方法， 主要考虑贷款现值偏离均值的程度， 担保公司收取的担保费一定要能弥补这笔贷款的预期损失， 加权平均的贷款现值是银行期望收取的数目，当实际少于它时，担保公司对银行进行赔偿[4]。当j>k时，Vi>V;当 j≤k时，Vi≤V。担保公司收取的担保费计算如下：
依然以初始信用等级为A级的债务人为例，到2013年时其加权平均值为178.869万元，再根据公式计算该信用等级下预期的现值损失，就是其应该支付的担保费用，如A级债务人的担保费用是：
L=∑ni=1pi·（V-Vi）=1.338万元
表7 5年后不同信用等级的债务人贷款现值
贷款现值AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+
AAA205.124 204.740 203.595 201.259 189.560 180.638 171.891 157.930
AA+205.074 204.690 203.545 201.210 189.510 180.588 171.841 157.880
AA204.945 204.561 203.416 201.080 189.381 180.458 171.712 157.750
AA-204.620 204.236 203.092 200.756 189.056 180.134 171.387 157.426
A+203.173 202.789 201.644 199.308 187.609 178.686 169.940 155.978
A202.172 201.788 200.643 198.307 186.608 177.686 168.939 154.978
A-200.831 200.447 199.302 196.967 185.267 176.345 167.598 153.637
BBB+197.028 196.645 195.500 193.164 181.464 172.542 163.795 149.834
表8 不同信用等級的债务人的加权平均贷款现值
万元
级别贷款均值级别贷款均值
AAA205.124A+189.229
AA+204.690A178.869
AA203.552A-171.091
AA-201.250BBB+149.834
即A级别客户的担保费率是：
L%=L200=0.67%
用同样的方法可以计算其他各个信用等级的债务人的担保费和担保费率（表9）。
如果根据最初的大公国际1998～2008年平均一年期的主体信用等级转移概率矩阵进行研究，并求解不同信用等级债务人的担保费率，其结果列入表9最后一列。
表9 不同信用等级债务人的担保费和担保费率
级别担保费∥万元担保费率∥%担保费率（原转移矩阵）∥%
AAA00.000.00
AA+00.000.00
AA0.140.070.12
AA-0.490.240.36
A+1.640.821.37
A1.340.671.19
A-3.351.682.24
BBB+00.000.00
从表9最后得出担保费率的结果可以看出，利用经过优化的信用等级转移概率矩阵计算出的担保费率要比使用原始矩阵计算出来的担保费率低。
4 结语
大公国际的信用等级转移矩阵在很多等级上的转移概率都还是0，这说明在这些年中，这些等级所发生过的信用等级转移的次数是0，从大数定律的角度来看，我国所建立的信用等级体系还没能经历过企业在信用等级上面所有可能出现的情况，因此这对该研究的实证结果造成了一定的影响。但由于该研究摆脱了国外已经成熟的但并不符合我国实际情况的信用等级转移矩阵，利用我国本土的信用评级机构的信用等级转移矩阵进行研究，可以为以后研究国内信用转移矩阵提供借鉴。
由于研究提出的半马尔科夫过程相比于传统的马尔科夫过程，加入了对企业处于原信用等级的时间，可能会对其信用等级发生迁移的概率产生影响，因此利用半马尔科夫过程对信用等级转移矩阵进行处理并预估未来的信用转移矩阵这个方法更加能够考虑到时间上的动态性，而不是单纯地假设信用等级矩阵服从马尔科夫的稳定性假说。
从结果上看，经过处理的信用等级转移矩阵所推算出的在不同级别上的担保费率都低于未经过处理的信用等级转移矩阵所推算出的担保费率水平，因此明显可以看出，假定信用等级转移矩阵服从稳定性假说时，对企业所面临的担保风险评定过高，这样会造成较高的担保费率，从而相比于那些能够准确推算出担保费率的担保企业来说，虽然收费较高的信用担保企业能够更好地弥补可能面临的违约损失，但这会导致这些企业因为缺乏收费上的竞争力而失去很大的市场份额。因此，可以看出该研究所提出的利用半马尔科夫过程优化Credit Metrics模型的方法是行之有效的。
参考文献
[1]
徐永红.基于Credit Metrics模型的商业银行信用风险管理应用研究[J].现代金融，2009（4）：31-32.
[2] 陆大金.随机过程及其应用[M].北京：清华大学出版社，2012：176-238.
[3] 陈坚，王宗润，杨怀东.信用担保的动态定价模型[J].统计与决策，2007（3）：54-57.
[4] 贾芳琳.我国担保契约的保费费率定价问题[J].经济数学，2010（6）：62-63.
在信用担保动态定价的理论研究中，Credit Metrics模型是较为常用的一种，模型的关键是信用等级矩阵的调整和预测。而国内的理论研究中所用的信用等级转移矩阵则来自于国外的标普、惠誉或者穆迪的数据，从而对国内的实际运用缺乏借鉴意义。该研究首次利用国内的大公国际信用等级转移矩阵作为Credit Metrics模型的研究对象，利用半马尔科夫过程对信用等级转移矩阵进行调整和预测，从而优化了Credit Metrics模型，令动态信用担保定价模型更加具有实用性，对该模型在国内的实际运用有一定的借鉴意义。
关键词 定价模型;Credit Metrics 模型;半马尔科夫过程
中图分类号 S-9 文献标识码 A 文章编号 0517-6611（2014）34-12360-06
Dynamic Pricing of SME Credit Guarantee
WANG Baosen1， WANG Lijie2， LV Tianxiao2
（1. Economic School of Beijing Wuzi University， Beijing 101149; 2. Graduate Department of Beijing Wuzi University， Beijing 101149）
Abstract In the theoretical study of the dynamic pricing of credit guarantees， Credit Metrics model is more commonly used. The key to the model is to adjust and predict the credit rating of the matrix. The credit rating transition matrix used in the country theory comes from abroad， S & P， Fitch or Moody′s data， thus lack of reference for the practical application of domestic. This paper first use of domestic Dagong Global Credit Rating Transition Matrix as the study object， use of semiMarkov process to adjust and predict credit rating transition matrix， thus optimizing the Credit Metrics model， so that dynamic pricing model of credit guarantee is more practical， while there are certain significance for the practical application of domestic.
Key words Pricing model; Credit Metrics model; SemiMarkov process
1 信用等級转移概率矩阵优化和预测的方法
1.1 半马尔科夫过程的提出
目前国内外关于Credit Metrics模型的研究基本都直接利用标准普尔或者穆迪的信用等级转移矩阵，但并没有探究Credit Metrics模型中的信用等级转移矩阵的求解方法是否合理。事实上，Credit Metrics模型在确定信用等级转移矩阵的时候，是基于该信用等级转移矩阵符合马尔科夫过程的前提下的。Credit Metrics模型除了具有稳定性假设的不足以外，还有一个问题就是它假定借贷企业的信用等级只与其上一期的信用等级有关，而忽略该借贷企业处于该信用等级上的时间长度，即信用等级存在时间依赖性[1]。从历史数据来看，相关研究曾总结出这样的结论：企业信用在短期内较稳定，随着时间的延长稳定性逐渐降低。同一时间内，等级越高，回到原等级概率越高;等级越低，回到原等级概率越低。
半马尔科夫过程实际上是对马尔科夫过程缺乏时间上的考虑欠缺方面进行了补充，其状态变化本身服从马尔科夫过程，但补充了前一状态停留时间这一新的变量，从而使原本的马尔科夫过程更加完整。半马尔科夫过程不假定信用转移矩阵遵循稳定的马尔科夫过程，直接预测未来的信用转移概率矩阵，从而估计信用担保风险。
1.2 半马尔科夫过程概念
由于半马尔科夫过程是在马尔科夫过程的基础上增加了时间留置参数，因此首先介绍马尔科夫过程[2]。
设X={Xn，n≥0}，Xn为随机变量。T={Tn，n≥0}，Tn是取值非负的随机变量，且0= T0≤T1≤T2≤…≤Tn-1≤Tn-2≤…，称{X， T}={（Xn ， Tn）， n≥0}为马尔科夫过程。
当n≥0时，j∈S，t≥0满足：
P{Xn+1=j ， Tn+1-Tn | X0， T0， X1， T1，…， Xn， Tn }=P{Xn+1=j， Tn+1-Tn≤t| Xn} （1）
式（1）即为半马尔科夫过程，随机变量Xn表示当前状态，变量Xn+1表示未来状态，Tn+1-Tn表示状态停留在Xn的时间长度，同时这些变量的联合分布与过去的状态X0， T0， X1， T1，…， Xn， Tn之间相互独立，这表明标的物的状态转移是随机的。设标的物从状态i变为状态j的概率是Q（i，j），从状态i转移到状态j过程中所经历的所有状态构成半马尔科夫链，标的物在每一状态的留置时间长度是随机，其概率分布只取决于从这一状态过渡到下一状态的时间。 半马尔科夫过程最重要的一个环节就是求解半马尔科夫核，对任意i，j∈S，t≥0来说：
Q=[ Qij（t）]=[P（Jn+1，Tn+1-Tn≤t|Jn=i]，i，j∈I，t∈N （2）
Q=[ Qij（s，t）]=[P（Jn+1=j ，Tn+1-Tn≤t|Jn=I，Tn=s]，i，j∈I，s，t∈N （3）
式中，Qij（t）和Qij（s，t）分别为齐次半马尔科夫核和非齐次半马尔科夫核，且都是关于t的单调不减函数且右连续。齐次半马尔科夫过程与非齐次半马尔科夫过程的区别是齐次半马尔科夫过程与n无关，而非齐次半马尔科夫过程与n有关。由于该研究利用半马尔科夫过程求解的是信用等级转移矩阵，其中信用等级一般是每年评定一次，因此该研究将重点介绍和利用齐次半马尔科夫过程。
为利用半马尔科夫过程求解信用等级转移矩阵，需要引入P、H、F等参数，其中P、H、F分别为嵌入马尔科夫链的转移矩阵，半马尔科夫过程在时间t或时间t之前离开状态i的概率，等待时间的离散条件概率分布。
在齐次半马尔科夫情况下，嵌入马尔科夫链的转移矩阵P表示为：
P=[pij]=[limn→∞Qij（s，t）]，i，j∈I，t∈N （4）
标的物在时间t或时间t之前离开状态i的概率H为：
H=[H1（t）]=[P（Tn+1-Tn≤t|Jn=i）] （5）
其中，Hi（t）為：
Hi（t）=∑mj=1Qij（t） （6）
根据马尔科夫的定义可以求出B：
B=[bij（t）]= [P（Jn+1=j，Tn+1- Tn ≤t|Jn=i）] （7）
其中，Bij（t）为：
Qij（0）=0，t=0
Qij（t）-Qij（t-1），t=1，2，… （8）
等待时间的离散条件概率分布F为：
F=[Fij（t）]=[P（Tn+1-Tn≤t|Jn=I， Jn+1=j）] （9）
其中，Fij（t）为：
Qij（t）/pij=0，Pij≠0
U1（t），Pij=0
（10）
上式中，
U1（t）=U1（s，t）=1s，t
离散时间Z可表示为Z=[Z（t），t∈N]，其中Z（t）=Jn（t），N（t）=max（n：Tn≤t），N（t）表示标的物在t时所处的状态。设Φij（t）为齐次半马尔科夫过程中的转移概率，可表示为：
Φij（t）=P（Zt=j|Z0=i）， i，j=1，…，m
1.3 构建信用等级转移概率矩阵
信用等级转移概率和信用等级转移矩阵分别是指特定时间内，目标企业信用等级发生变化的概率，以及所有信用等级向其他信用等级变化的概率分布情况。通常由于信用等级的评定是每年一次，因此一般特定时间就是一年，但也有以几年为时间段变量的信用等级转移矩阵。
信用等级转移概率矩阵是基于“强大数定律”构建的，这表明只要样本量足够大，那么目标企业的信用等级发生转移的概率将收敛于其实际发生概率。
假设信用等级分为m个，Ni表示初始状态信用等级为i的企业数量，Nij（Δt）表示原始信用等级为i，Δt时间后信用等级转变为j的企业数量。Pij（Δt）为Δt内由信用等级i转变为信用等级j的概率，即：
Pij（Δt）=Nij（Δt）Ni，I，J∈1，2，…K
（11）
比如原始信用等级为i的企业有Ni个，经过一年后，有Nij（1）个企业由信用等级i转变为信用等级j，其转移概率表示为：
Pij（1）=Nij（1）Ni （12） AAA10000000000
AA+01000000000
AA6.6713.3380000000
AA-08.721.7469.5600000
A+009.316.2872.092.33000
A000021.7478.26000
A-000010405000
BBB+00000001000
BBB及以下00000000100
注： 数据来源于大公国际资信评估有限公司。
2.2 对研究对象进行预处理
信用數据的缺乏已成为各国普遍存在的问题，它将造成转移矩阵的构成不尽合理。此外，经济周期也会对转移矩阵的构成产生影响。一般认为，经济低迷时期的转移矩阵与经济发展时期的有一定差别，行业与地区差异也会影响转移矩阵，因此在应用评级转移矩阵分析问题时，应当对其作必要的调整。
现实中，信用级别变化频率都普遍偏低，得到的历史转移概率的时间段一般均超过1年，为求得短期的转移矩阵，需要先求得转移矩阵的生成矩阵。在生成矩阵中，有可能会出现由于违约概率很小，生成矩阵的非对角线元素变为负的情况，因此，必须对生成矩阵进行调整。目前，常用的转移概率矩阵调整方法为JLT调整法。它主要通过使用风险溢价调整项将历史转移概率转变为风险中性测度的转移概率。
JIT调整法的具体步骤如下：
第一步：假设企业信用级别在一年中最多出现一次转移。信用评级公司通常都是一年评定一次，因此这个假设具有一定的合理性。通过以下公式可以得到一个近似的生成矩阵。
Kij=logqij，Kij=qijlogqijqij-1，i，j=1，2，…K-1 （21）
这样所得的生成矩阵的非对角线元素可以避免出现负数，而且各行元素之和仍旧为零。对大公原始信用转移矩阵进行第一步调整得到表2，很显然满足生成矩阵的基本要求。
安徽农业科学 2014年
表2 大公信用等级转移概率生成矩阵
%
级别AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+BBB及以下
AAA000000000
AA+000000000
AA7.4414.87-22.31000000
AA-010.3725.92-36.300000
A+0010.919.09-32.732.73000
A000024.51-24.51000
A-000013.8655.45-69.3100
BBB+000000000
BBB及以下000000000
第二步：由于exp（K）=P，其中K为生成矩阵，P为调整后的转移矩阵。因此调整后的转移矩阵可以通过以下方法确定。
P=exp（K）=I+K+K^2/2！+K^3/3！+…， （22）
式中，I为单位矩阵;K为上文求得的生成矩阵。
通过第二步的调整，得到了大公国际JIT调整后的矩阵（表3）。可以看到，调整后的矩阵与原转移矩阵相比差别并不大，但是通过调整，在一定程度上消除了经济波动等部分因素的影响，得到了风险中性测度的信用等级转移矩阵。该矩阵比原矩阵更具有代表性和研究意义。当前我国经济正处于稳定发展阶段，调整后的矩阵更能够反映我国企业当前以及未来的信用等级变化趋势。因此，该研究以调整后的矩阵作为后续问题的研究对象。
表3 平均一年期大公国际信用等级转移概率调整后矩阵
%
级别AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+BBB及以下
AAA10000000000
AA+01000000000
AA6.6713.3380000000
AA-0.810.2919.3569.5600000
A+0.391.5610.1213.5372.332.05000
A0.030.121.181.7118.4478.52000
A-0.020.080.771.1312.8635.155000
BBB+00000001000
BBB及以下00000000100
从概率分布的广度来看，大公国际评价对象的信用等级只有BBB级以上的状态。说明相比于国际信用评级巨头标普、穆迪和惠誉，大公国际信用评级公司所评级的企业样本量较少，但这只是2008年之前的信用等级转移矩阵，随着该公司的发展与国内企业对信用评级的重视，后来的信用等级转移矩阵所涵盖的样本点应该更加丰富。同时，随着我国中小企业债的推出，大公国际从2010年以后也逐步推出了中小企业集合票据评级，更加为笔者所研究的中小企业信用担保动态定价体系提供了更加实际的支持。
若将调整后的矩阵与调整前的矩阵进行对比，可以发现两点显著变化。第一，转移概率分布集中度有所降低，调整后的一年期大公信用等级转移矩阵中相比未调整前矩阵，转移概率分布范围变广了，几乎每一行都至少增加了一个转移概率，说明通过调整缓解了大公信用等级转移矩阵数据样本不足问题;第二，调整后的信用等级转移矩阵对角线转移概率变大。产生该情况很有可能是因为通过调整消除了部分经济周期对信用评级的影响。由此看来，调整后的信用等级转移矩阵相比未调整的原矩阵具有更高的研究价值。因此接下来的所有研究都是基于调整后的一年期大公信用等级转移矩阵展开。 2.3 构建半马尔科夫求解方程推算未来信用转移矩阵
通过构建半马尔科夫的求解方程，对一年期的大公信用等级转移矩阵进行调整，由Q（t）=F（t）×P关系求得齐次半马尔科夫核Q（t）。通过对调整后的一年期大公信用等级转移矩阵计算，得到大公信用等级转移的齐次半马尔科夫的核Q（t），最终根据半马尔科夫核，推算出未来n年期的信用等级转移概率矩阵。
2.4 求解信用等级转移矩阵的半马尔科夫核
根据Q（t）=F（t）×P的关系可以求出齐次半马尔科夫核Q（t），利用经过调整的大公信用等级转移矩阵进行计算，可以得到大公国际的信用等级转移矩阵的齐次半马尔科夫核Q（t）。以计算Q（3） 为例，大公国际信用等级转移的齐次半马尔科夫核Q（t）见表4。
表4 大公国际信用等级转移的齐次半马尔科夫核Q（t）
%
级别AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+BBB及以下
AAA24.1700000000
AA+028.130000000
AA2.214.2022.15000000
AA-0.213.416.1119.4000000
A+0.120.452.413.4820.670.70000
A0.010.030.360.474.2123.93000
A-00.020.190.343.9311.4115.0900
BBB+00000001000
BBB及以下00000000100
表4是根据大公国际一年期平均信用等级转移矩阵为基础，通过齐次半马尔科夫方程求解得出的第三年的半马尔科夫核矩阵，其中半马尔科夫核Q（t）=F（t）×P，表示的是t时间内信用等级从某一级转移到另一等级的概率。以Q（3）=6.11%，表示的是3年后，原信用等级为AA-的企业转移为AA信用等级的概率为6.11%。
根据经历的时间不同，齐次半马尔科夫核矩阵应再分别计算出Q（1），Q（2），…，Q（10），此处不再赘述。
2.5 基于半马尔科夫模型进行信用等级转移概率预测
根据Q（t）和B（t）的关系以及Q（t）和Hi（t）的关系，可以分别Q（t）和Hi（t），其中Hi（t）表示的是某一状态在t时间之前发生转移的概率。
确定Vij，Wij，Fij（t），Q（t），B（t），Hij（t）这些变量以后，可以构造齐次半马尔科夫的求解方程，进而推导出未来几年的信用等级转移矩阵。
针对调整后的一年期大公国际信用等级转移矩阵，求解半马尔科夫模型，得到未来n年期的信用等级转移概率矩阵。基于半马尔科夫过程的大公国际2013年信用等级转移矩阵见表5。该研究主要通过计算未来5年以内的信用等级转移矩阵，来推算信用担保机构对不同信用等级的客户应该收取的担保费率。
表5 基于半马尔科夫过程的大公国际2013年信用等级转移矩阵
%
级别AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+BBB及以下
AAA10000000000
AA+01000000000
AA3.627.0389.35000000
AA-0.616.1910.9482.2600000
A+0.311.115.166.7685.411.25000
A0.040.140.811.078.2289.72000
A-0.020.100.560.847.5519.1971.7500
BBB+00000001000
BBB及以下00000000100
3 改进的Credit Metrics模型下担保费率的计算
优化后的信用担保定价模型将利用根据半马尔科夫过程推算出的未来几年的信用等级转移概率矩阵，进行担保费率的定价研究。这改变了以往假定信用等级转移概率矩阵遵循稳定的马尔科夫过程的假设，加入了对企业信用等级停留在原等级的时间属性的考虑，从而形成了具有动态性的信用等级转移矩阵，研究信用担保的动态定价模式[3]。
假设2008年底有一信用等级为A的中小企業向银行借款200万元，贷款年利率是6%，期限是5年，每年年末支付一次利息，到期还本。同时，银行要求甲信用担保公司提供担保服务，因此甲担保公司需要考虑该借款企业的信用等级会不会发生变化，从而构造动态的信用担保定价模型，最终确定这笔贷款的担保费率。
3.1 确定贷款的现值
在上一部分计算出2013年及前4年的信用等级转移矩阵后，就可以根据不同等级不同年份的债务人所面临的贴现率水平（表6）计算出各个信用等级的债务人的贷款现值。
表6 不同等级不同年份的债务人所面临的贴现率
%
级别第1年第2年第3年第4年第5年
AAA3.604.174.735.125.5
AA+3.654.224.785.175.55
AA3.724.324.935.325.7
AA-4.104.675.255.636.01
A+5.556.026.787.277.65
A6.057.028.038.529.01
A-7.568.629.5810.0710.45
BBB+15.0515.0214.0313.5213.01
以借款企业原来的信用等级为A级为例，因此可以计算借款200万，年息6%，借款5年后的债务人处于不同信用等级时的现值： 5年后信用等级转移为AAA级时，借款的现值为：
Vi=∑Tj=1E·r（1+Rj+Sj）j+E（1+RT+ST）T=121+6.05%+12（1+7.02%）2+12（1+8.03%）3+12（1+8.52%）4+212（1+5.5%）5=202.171 8（万元）
由此可以得出2013年不同信用等级的债务人贷款的现值，如表7所示。
计算出各种信用等级状态的现值数据后，就可以利用公式计算出其加权平均值。例如，A级债务人的加权平均贷款现值为：
V=∑ni=1pi·Vi=178.869（万元）
同样就可以计算出其他几种信用等级下的加权平均贷款现值，如表8所示。
3.2 确定担保费率
按照风险度量的方法， 主要考虑贷款现值偏离均值的程度， 担保公司收取的担保费一定要能弥补这笔贷款的预期损失， 加权平均的贷款现值是银行期望收取的数目，当实际少于它时，担保公司对银行进行赔偿[4]。当j>k时，Vi>V;当 j≤k时，Vi≤V。担保公司收取的担保费计算如下：
依然以初始信用等级为A级的债务人为例，到2013年时其加权平均值为178.869万元，再根据公式计算该信用等级下预期的现值损失，就是其应该支付的担保费用，如A级债务人的担保费用是：
L=∑ni=1pi·（V-Vi）=1.338万元
表7 5年后不同信用等级的债务人贷款现值
贷款现值AAAAA+AAAA-A+AA-BBB+
AAA205.124 204.740 203.595 201.259 189.560 180.638 171.891 157.930
AA+205.074 204.690 203.545 201.210 189.510 180.588 171.841 157.880
AA204.945 204.561 203.416 201.080 189.381 180.458 171.712 157.750
AA-204.620 204.236 203.092 200.756 189.056 180.134 171.387 157.426
A+203.173 202.789 201.644 199.308 187.609 178.686 169.940 155.978
A202.172 201.788 200.643 198.307 186.608 177.686 168.939 154.978
A-200.831 200.447 199.302 196.967 185.267 176.345 167.598 153.637
BBB+197.028 196.645 195.500 193.164 181.464 172.542 163.795 149.834
表8 不同信用等級的债务人的加权平均贷款现值
万元
级别贷款均值级别贷款均值
AAA205.124A+189.229
AA+204.690A178.869
AA203.552A-171.091
AA-201.250BBB+149.834
即A级别客户的担保费率是：
L%=L200=0.67%
用同样的方法可以计算其他各个信用等级的债务人的担保费和担保费率（表9）。
如果根据最初的大公国际1998～2008年平均一年期的主体信用等级转移概率矩阵进行研究，并求解不同信用等级债务人的担保费率，其结果列入表9最后一列。
表9 不同信用等级债务人的担保费和担保费率
级别担保费∥万元担保费率∥%担保费率（原转移矩阵）∥%
AAA00.000.00
AA+00.000.00
AA0.140.070.12
AA-0.490.240.36
A+1.640.821.37
A1.340.671.19
A-3.351.682.24
BBB+00.000.00
从表9最后得出担保费率的结果可以看出，利用经过优化的信用等级转移概率矩阵计算出的担保费率要比使用原始矩阵计算出来的担保费率低。
4 结语
大公国际的信用等级转移矩阵在很多等级上的转移概率都还是0，这说明在这些年中，这些等级所发生过的信用等级转移的次数是0，从大数定律的角度来看，我国所建立的信用等级体系还没能经历过企业在信用等级上面所有可能出现的情况，因此这对该研究的实证结果造成了一定的影响。但由于该研究摆脱了国外已经成熟的但并不符合我国实际情况的信用等级转移矩阵，利用我国本土的信用评级机构的信用等级转移矩阵进行研究，可以为以后研究国内信用转移矩阵提供借鉴。
由于研究提出的半马尔科夫过程相比于传统的马尔科夫过程，加入了对企业处于原信用等级的时间，可能会对其信用等级发生迁移的概率产生影响，因此利用半马尔科夫过程对信用等级转移矩阵进行处理并预估未来的信用转移矩阵这个方法更加能够考虑到时间上的动态性，而不是单纯地假设信用等级矩阵服从马尔科夫的稳定性假说。
从结果上看，经过处理的信用等级转移矩阵所推算出的在不同级别上的担保费率都低于未经过处理的信用等级转移矩阵所推算出的担保费率水平，因此明显可以看出，假定信用等级转移矩阵服从稳定性假说时，对企业所面临的担保风险评定过高，这样会造成较高的担保费率，从而相比于那些能够准确推算出担保费率的担保企业来说，虽然收费较高的信用担保企业能够更好地弥补可能面临的违约损失，但这会导致这些企业因为缺乏收费上的竞争力而失去很大的市场份额。因此，可以看出该研究所提出的利用半马尔科夫过程优化Credit Metrics模型的方法是行之有效的。
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