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在中考数学命题中,为了便于高一级学校选拔人才,常常采用多题把关的方式来增加试题的区分度.有许多把关题难度并不大,但却埋藏了“陷阱”,部分同学的基础知识掌握不牢固,解题时审题不严,思考不周,便会误入这些“陷阱”.本文以中考试题为例介绍几种求解策略,供参考.
一、 理解概念,越过“陷阱”
命题者往往围绕数学概念设置“陷阱”,只要我们透彻理解了课本中的每个数学概念,并注意灵活运用,就能越过“陷阱”.
例1若■与■是同类二次根式,则a=,b=.
分析:本题的陷阱设在■不是最简二次根式.■=2■,所以由同类二次根式定义知a+b=2,b=3a+b.解得a=0,b=2.
二、 去伪存真,识别“陷阱”
命题者往往根据同学们不注意公式、法则、性质中的限制条件而盲目套用的不良习惯,有意设计“陷阱”,解题时有些同学稍不小心就会上当受骗.
例2已知a、b是方程x2+5x+2=0的两根,求■+■的值.
分析:解答本题首先要注意■=■成立的条件是a≥0,b>0,化简■+■时先要讨论a、b的符号,而有些同学却推出■+■=■
+■,造成失误.正确的解法是:由根与系数的关系得,a+b= -5, ab=2,可判断得a<0,b<0.故原式=■+■=-■■=■■.
三、 挖掘隐含条件,发现“陷阱”
命题者往往根据同学们不细心审题的习惯,将“陷阱”设置在题目的关键词句中,只有认真审题,挖出含而不露的隐含条件,方能察觉“陷阱”.
例3若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点,则a可取的值为.
分析:本题的陷阱设在“函数”和“坐标轴”两个关键词上.同学常将函数y
=(a-2)x2-(2a-1)x+a认为是二次函数,把坐标轴理解为x轴而误入陷阱.
正解:由于a-2的值不确定,故需要分类讨论.
(1) 当a-2=0即a=2时,函数为y=-3x+2,是一次函数,它与坐标轴有两个交点;
(2) 当a-2≠0,即a≠2时,已知函数的图象是抛物线,要使它与坐标轴有两个交点,又有两种情况:
① 当△﹥0时,它与x轴有两个交点,要使它与坐标轴只有两个交点,图象必须过原点,即有a=0.
② 当△=0时,图象与x轴有一个交点(顶点),与y轴有一个交点,由△=0有a=-■.因此,a的取值为2,0,-■.
四、排除干扰,发现“陷阱”
命题者常常根据部分同学抗干扰能力差的特点,设置一些干扰因素构成“陷阱”,同学们解题时一不小心就掉入“陷阱”.因而在解题时应迅速排除干扰因素.
例4小华中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:①洗锅盛水2分钟;②洗菜3分钟;③准备面条及佐料2分钟;④用锅把水烧开7分钟;⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟.小华要将面条煮好,最少用分钟.
分析:本题的陷阱设在操作过程中有诸多干扰因素,有些工序可穿插在其他工序中一起展开,如②洗菜3分钟,③准备面条及佐料2分钟,可在④用锅把水烧开7分钟内完成.本题考查了同学们统筹安排的能力,答案是12分钟.
五、分析过程,跳出“陷阱”
命题者常根据部分同学解题时不善于分析解题过程,仅凭直觉思维猜答案的特点来设置“陷阱”.
例5先化简代数式■+■÷■,然后选取一个你喜欢的a的值代入求值.
分析:本题的陷阱设在“当a=0时除式为零”,“当a=1时分母为零”这两个极易忽视的问题上.同学易受平时取特殊值方便计算的影响,忽视对过程的分析而掉入“陷阱”.
化简后原式=a, a可取除0和1以外的任意实数.
六、巧妙转化,避开“陷阱”
命题者往往根据同学们习惯于常规方法分析问题,缺乏应变能力的思维状况设置“陷阱”题.若同学们不能及时转换思维角度,就会步入命题者设计的“陷阱”中.
例6方程-x2+5x-2=■的正根有( ).
A.3个B.2个C.1个D.0个
分析:本题的困难在于化简后的高次方程无法求解.如果转换思维角度构造函数来处理,则十分简捷.设y1=-x2+5x-2,y2=■,作出草图如下.
两个图象在第一象限内有两个交点,即方程有两个正根,故选B.
七、克服思维定势,观察“陷阱”
命题者往往根据部分同学不仔细审视题目条件而按固有模式分析题目的解题习惯设置“陷阱”.若条件变化而同学们仍按原模式分析,就会掉入题目设置的“陷阱”中.
例7如图,直线l是一条河,P、Q两地相距4千米,P、Q两地到l的距离分别为2千米、3千米,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是().
分析:同学们在求最短距离时已经形成了思维定势,有些同学会联想到教材上利用轴对称求两点到直线上一点的距离之和最短的问题,而错误地选B.事实上C、D两种方案可以排除,对于A,QP+PM=4+2=6(千米).对于B,过点Q作l的垂线并延长,过P′作l的平行线,相交于K.连接PQ,作PS⊥QK于S.QK=2+3=5,P′K=PS=■
=■=■.P′Q=■
=■=■.显然■>■,故本题的正确答案是A.
一、 理解概念,越过“陷阱”
命题者往往围绕数学概念设置“陷阱”,只要我们透彻理解了课本中的每个数学概念,并注意灵活运用,就能越过“陷阱”.
例1若■与■是同类二次根式,则a=,b=.
分析:本题的陷阱设在■不是最简二次根式.■=2■,所以由同类二次根式定义知a+b=2,b=3a+b.解得a=0,b=2.
二、 去伪存真,识别“陷阱”
命题者往往根据同学们不注意公式、法则、性质中的限制条件而盲目套用的不良习惯,有意设计“陷阱”,解题时有些同学稍不小心就会上当受骗.
例2已知a、b是方程x2+5x+2=0的两根,求■+■的值.
分析:解答本题首先要注意■=■成立的条件是a≥0,b>0,化简■+■时先要讨论a、b的符号,而有些同学却推出■+■=■
+■,造成失误.正确的解法是:由根与系数的关系得,a+b= -5, ab=2,可判断得a<0,b<0.故原式=■+■=-■■=■■.
三、 挖掘隐含条件,发现“陷阱”
命题者往往根据同学们不细心审题的习惯,将“陷阱”设置在题目的关键词句中,只有认真审题,挖出含而不露的隐含条件,方能察觉“陷阱”.
例3若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点,则a可取的值为.
分析:本题的陷阱设在“函数”和“坐标轴”两个关键词上.同学常将函数y
=(a-2)x2-(2a-1)x+a认为是二次函数,把坐标轴理解为x轴而误入陷阱.
正解:由于a-2的值不确定,故需要分类讨论.
(1) 当a-2=0即a=2时,函数为y=-3x+2,是一次函数,它与坐标轴有两个交点;
(2) 当a-2≠0,即a≠2时,已知函数的图象是抛物线,要使它与坐标轴有两个交点,又有两种情况:
① 当△﹥0时,它与x轴有两个交点,要使它与坐标轴只有两个交点,图象必须过原点,即有a=0.
② 当△=0时,图象与x轴有一个交点(顶点),与y轴有一个交点,由△=0有a=-■.因此,a的取值为2,0,-■.
四、排除干扰,发现“陷阱”
命题者常常根据部分同学抗干扰能力差的特点,设置一些干扰因素构成“陷阱”,同学们解题时一不小心就掉入“陷阱”.因而在解题时应迅速排除干扰因素.
例4小华中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:①洗锅盛水2分钟;②洗菜3分钟;③准备面条及佐料2分钟;④用锅把水烧开7分钟;⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟.小华要将面条煮好,最少用分钟.
分析:本题的陷阱设在操作过程中有诸多干扰因素,有些工序可穿插在其他工序中一起展开,如②洗菜3分钟,③准备面条及佐料2分钟,可在④用锅把水烧开7分钟内完成.本题考查了同学们统筹安排的能力,答案是12分钟.
五、分析过程,跳出“陷阱”
命题者常根据部分同学解题时不善于分析解题过程,仅凭直觉思维猜答案的特点来设置“陷阱”.
例5先化简代数式■+■÷■,然后选取一个你喜欢的a的值代入求值.
分析:本题的陷阱设在“当a=0时除式为零”,“当a=1时分母为零”这两个极易忽视的问题上.同学易受平时取特殊值方便计算的影响,忽视对过程的分析而掉入“陷阱”.
化简后原式=a, a可取除0和1以外的任意实数.
六、巧妙转化,避开“陷阱”
命题者往往根据同学们习惯于常规方法分析问题,缺乏应变能力的思维状况设置“陷阱”题.若同学们不能及时转换思维角度,就会步入命题者设计的“陷阱”中.
例6方程-x2+5x-2=■的正根有( ).
A.3个B.2个C.1个D.0个
分析:本题的困难在于化简后的高次方程无法求解.如果转换思维角度构造函数来处理,则十分简捷.设y1=-x2+5x-2,y2=■,作出草图如下.
两个图象在第一象限内有两个交点,即方程有两个正根,故选B.
七、克服思维定势,观察“陷阱”
命题者往往根据部分同学不仔细审视题目条件而按固有模式分析题目的解题习惯设置“陷阱”.若条件变化而同学们仍按原模式分析,就会掉入题目设置的“陷阱”中.
例7如图,直线l是一条河,P、Q两地相距4千米,P、Q两地到l的距离分别为2千米、3千米,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是().
分析:同学们在求最短距离时已经形成了思维定势,有些同学会联想到教材上利用轴对称求两点到直线上一点的距离之和最短的问题,而错误地选B.事实上C、D两种方案可以排除,对于A,QP+PM=4+2=6(千米).对于B,过点Q作l的垂线并延长,过P′作l的平行线,相交于K.连接PQ,作PS⊥QK于S.QK=2+3=5,P′K=PS=■
=■=■.P′Q=■
=■=■.显然■>■,故本题的正确答案是A.