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摘 要：高中数学教学必须高度重视数学建模. 数学建模需要弄清两个关键概念：一是数学模型；二是数学建模.数学建模要防止经验化、肤浅化，要防止在不理解何为数学建模的情况下空泛地谈数学建模. 从数学模型的概念理解，到数学建模的一般过程，是理解数学建模的必要步骤. 需要强调的是，要充分认识到数学建模的复杂性与挑战性，依靠学生原有的认知基础去实施数学建模，并通过一定的专题训练，这是培养学生数学建模能力的重要途径.
关键词：高中数学；数学模型；数学建模
数学建模是高中数学教学的核心要素之一，关于这一点，基本上没有什么不同的观点. 然而这并不等于高中数学教学的实际中数学建模就进行得很好，课程改革十多年来形成的一个重要认识就是，当一个重要的数学概念被人们不断地重复的时候，可能这个概念的本质含义已经被人们忽视了. 数学建模也是如此，在多个不同层次的教研活动当中，笔者不断听同行们提到数学建模，但有趣的是不同的人在不同的情境下所说的数学建模似乎有着不同的含义.说得严重一点，数学建模也像个框了，什么都可以往里装.基于这样的实际，笔者以为在高中数学教学中需要坚持数学建模的本来含义，然后去加强培养学生数学建模的能力，才能真正丰富高中数学教学的内涵，才能真正推动高中数学的有效教学. 笔者此文尝试对数学建模做出自己的理解与判断.
[?] 从数学模型到数学建模
有人说，有数学应用的地方就有数学建模！这一论断可以给高中数学教学尤其是数学建模能力的培养有着很大的启发.说实话，笔者理解数学建模时常常想到的就是这样的一句话. 由这一论断可知，数学建模主要是指向数学应用的，也就是说在数学应用的过程中数学建模才体现出了它强大的作用. 这里有两个核心概念需要界定：一是数学模型；二是数学建模. 显然，建模是一个动态的过程，而模型是一个相对静态的概念.
先来看数学模型.什么是数学模型呢？一般认为，当人们需要从数、量的角度解决某个实际问题时，往往需要通过调查、分析的手段了解研究对象的数学信息，然后进行数学抽象与简化，并寻找其中内在的数学规律，然后用数学语言来描述这个规律，以形成一个数学模型. 其实，对于教师来说，这一描述更多的是一种概念性叙述，而数学教师对于数学模型的默会知识一般是比较丰富的，只是需要强调的是，数学模型是有着严格的定义的，其必须面向数学应用，其必须经过数学抽象的过程，其最终体现为用数学信息去描述实际问题. 数学模型还有一种更为简洁的描述：用数学语言（包括数学公式）描述或模仿实际问题中的数量关系、空间形式的数学架构.
那什么是数学建模呢？显而易见，建立数学模型的过程，就称之为数学建模.数学建模是一个充满着数学智慧的过程，从建模的顺序角度来看，其过程一般是这样的：实际情境——提出问题——数学模型——数学结果——结果检验——结果运用. 其中在结果检验之后如果发现存在问题，这个时候就不能走向结果运用，而应当回到实际情境，重新去提出问题并重新建立数学模型（这相当于一个循环语句）. 从这一流程来看，数学建模可以简述为“用数学知识模拟现实的过程”.
总结以上阐述可以发现，数学建模是数学应用领域的. 这意味着数学新知建立过程中是需要慎谈数学建模的（当然也可能存在数学建模的过程，即在新知识建立过程中借助于已有的知识来为新知提供基础的过程）；也意味着数学建模的核心是将实际问题数学化，涉及数学抽象以辅助模型建立等. 下面将详细论述.
[?] 数学建模的过程与例析
严格来说，数学建模需要经历一个严密的过程. 这个过程往往分为多个步骤，下面结合具体实例来说明.
实例：某物体做简谐振动，点O为其平衡位置，取向右为正方向. 已知振幅为5厘米，周期为4秒，从右边距离平衡位置最大距离处开始计时. （1）求物体相对于平衡位置的位移与时间的函数关系；（2）求经过12秒后物体所在的位置及运动方向. （三角函数知识的应用问题）
第一步：模型准备. 这一步的关键在于了解数学问题（应用）的背景，寻找其实际意义及其中的有用信息. 该实例中的问题背景是一个简谐振动，这是学生在物理学习中熟悉的内容（本问题属于跨学科的数学应用问题）. 其中有用的信息可以根据学习经验去猜想与判断，像平衡位置、正方向、振幅、周期等、计时位置等，一般都会成为有用信息.
第二步：模型假设与建立. 根据模型准备经过假设的过程并建立模型，这一步需要用到一些重要的数学工具（公式定理等），最终目标是建立一个合理的数学结构，即数学模型. 根据实例中的信息可以发现，简谐振动可以让学生生成一个基本的函数关系即简谐振动方程：x=Acos（ωt φ），其中除了x和t之外，A表示振幅，ω是振动频率，φ是初相位. 而这些信息的提取需要学生在物理数学知识的学习中形成良好的记忆，同时又需要将该方程与原来的实例信息进行对应，如振动频率与实例中的周期对应，初相位与计时位置对应等. 这一步是数学建模的核心步骤，在本实例中应当说模型的建立一般不会出现太大的问题，因此在后面的模型检验中就不需要花费太多的精力，如果遇到更为复杂的应用问题，不像本实例这样一目了然，比如说本实例中可以将一些具体的数据省略，或者让简谐振动变得更隐蔽一些，那在模型假设与建立时就需要更多的精力与智慧.
第三步：模型求解与分析. 这一步的关键是将实例中的信息（参数）代入模型当中去. 关于这一点，上述步骤中已经有所描述，此处不再赘述.
第四步：模型检验. 即将模型的分析结果与实际情形进行比较，以此判断模型建立的合理性. 检验的重要途径是看根据目前建立的模型所得到的结果是否具有实例角度的实际意义，如果吻合度好，则说明模型建立成功，否则失败，一旦模型建立失败，就进入循环的阶段. 如本实例中，由于学生有一定的物理与数学知识基础，因此在模型假设与建立阶段就有较大的信心，毕竟实例说明了是“简谐振动”，因此基本可以判断模型是正确的. 事实上如果题目不说明是简谐振动，而说是一个振动且不计能量损耗，那学生的判断就需要多走几个步骤了. 第五步：模型应用. 这是一个与具体实例相关的步骤，一般没有固定的描述.在本实例中，模型应用主要体现在对第二问的回答上，事实上第二问可以无限延伸，任何一个时刻时物体的位置都可以由建立的数学模型计算出来.
以上是数学模型及其建立的一般过程. 需要强调的是，数学建模不只是一个利用数学知识生成数学模型的过程，严格来说它还是一种数学思想方法，是学生将学得的数学知识学以致用的一个重要的工具. 尽管实际数学应用的过程中并不刻意追求以上步骤的完整性，但基于这样的思路去培养学生的建模能力却是必要的.
另外，需要注意的是，数学模型的建立往往不是一个纯粹的数学问题，其与实际生活的关系，与其他学科的关系，都是需要数学教师高度关注的，而关注的具体方式就是充分地了解学生的原有认知基础. 也就是说，数学建模实际上是一个综合性的过程，不是仅凭数学知识的建立就能完成的，生活应用性、跨学科性是其本质特征.
[?] 数学建模的教学与反思
在多年的高中数学教学中，笔者发现数学建模的教学有着重要的作用.如上所说，数学建模具有综合性，因此其能够促进学生对数学知识的综合运用能力. 但实际教学中的挑战也是非常明显的，当下学生的数学学习有一个明显的不足，那就是学生对知识之间的联系认识不足，往往满足于利用刚刚所学的知识解决眼前的问题，这对于数学建模来说提出了很大的挑战. 如何从学生的记忆系统中提取出有效的信息以完成数学模型的建立，是一个很大的问题；此外，强大的应试压力让学生更多地满足于一般的数学习题的解答，对数学建模的积极性有时不太高（当然，其中数学建模的复杂性也影响了学生的兴趣）.
反思这些现象，笔者以为高中数学教学中的建模工作更加具有重要性与必要性. 无论是从应试的角度来看，还是从学生的数学素养提高的角度来看，数学建模本身就是数学综合能力的体现，也是衡量数学教师教学水平的重要指标. 我们认为，只有当自己所教的学生能够用所学的数学知识有效地解决实际问题时，数学教学才是成功的. 因此，无论是数学新知建立的过程，还是数学应用的过程，都需要在原有知识基础上让学生生成建模的意识，并在数学知识应用的过程中生成能力.
值得一提的是，在数学应用问题的解决过程中，通过一些专题训练来提高学生的建模能力是值得尝试的策略. 笔者的教学经验表明，学生在专题训练的过程中，建模的意识会比较强，建模的目标也比较明确，在紧张的复习时间中抽出时间进行专题训练，可能是一件事半功倍的事情.
关键词：高中数学；数学模型；数学建模
数学建模是高中数学教学的核心要素之一，关于这一点，基本上没有什么不同的观点. 然而这并不等于高中数学教学的实际中数学建模就进行得很好，课程改革十多年来形成的一个重要认识就是，当一个重要的数学概念被人们不断地重复的时候，可能这个概念的本质含义已经被人们忽视了. 数学建模也是如此，在多个不同层次的教研活动当中，笔者不断听同行们提到数学建模，但有趣的是不同的人在不同的情境下所说的数学建模似乎有着不同的含义.说得严重一点，数学建模也像个框了，什么都可以往里装.基于这样的实际，笔者以为在高中数学教学中需要坚持数学建模的本来含义，然后去加强培养学生数学建模的能力，才能真正丰富高中数学教学的内涵，才能真正推动高中数学的有效教学. 笔者此文尝试对数学建模做出自己的理解与判断.
[?] 从数学模型到数学建模
有人说，有数学应用的地方就有数学建模！这一论断可以给高中数学教学尤其是数学建模能力的培养有着很大的启发.说实话，笔者理解数学建模时常常想到的就是这样的一句话. 由这一论断可知，数学建模主要是指向数学应用的，也就是说在数学应用的过程中数学建模才体现出了它强大的作用. 这里有两个核心概念需要界定：一是数学模型；二是数学建模. 显然，建模是一个动态的过程，而模型是一个相对静态的概念.
先来看数学模型.什么是数学模型呢？一般认为，当人们需要从数、量的角度解决某个实际问题时，往往需要通过调查、分析的手段了解研究对象的数学信息，然后进行数学抽象与简化，并寻找其中内在的数学规律，然后用数学语言来描述这个规律，以形成一个数学模型. 其实，对于教师来说，这一描述更多的是一种概念性叙述，而数学教师对于数学模型的默会知识一般是比较丰富的，只是需要强调的是，数学模型是有着严格的定义的，其必须面向数学应用，其必须经过数学抽象的过程，其最终体现为用数学信息去描述实际问题. 数学模型还有一种更为简洁的描述：用数学语言（包括数学公式）描述或模仿实际问题中的数量关系、空间形式的数学架构.
那什么是数学建模呢？显而易见，建立数学模型的过程，就称之为数学建模.数学建模是一个充满着数学智慧的过程，从建模的顺序角度来看，其过程一般是这样的：实际情境——提出问题——数学模型——数学结果——结果检验——结果运用. 其中在结果检验之后如果发现存在问题，这个时候就不能走向结果运用，而应当回到实际情境，重新去提出问题并重新建立数学模型（这相当于一个循环语句）. 从这一流程来看，数学建模可以简述为“用数学知识模拟现实的过程”.
总结以上阐述可以发现，数学建模是数学应用领域的. 这意味着数学新知建立过程中是需要慎谈数学建模的（当然也可能存在数学建模的过程，即在新知识建立过程中借助于已有的知识来为新知提供基础的过程）；也意味着数学建模的核心是将实际问题数学化，涉及数学抽象以辅助模型建立等. 下面将详细论述.
[?] 数学建模的过程与例析
严格来说，数学建模需要经历一个严密的过程. 这个过程往往分为多个步骤，下面结合具体实例来说明.
实例：某物体做简谐振动，点O为其平衡位置，取向右为正方向. 已知振幅为5厘米，周期为4秒，从右边距离平衡位置最大距离处开始计时. （1）求物体相对于平衡位置的位移与时间的函数关系；（2）求经过12秒后物体所在的位置及运动方向. （三角函数知识的应用问题）
第一步：模型准备. 这一步的关键在于了解数学问题（应用）的背景，寻找其实际意义及其中的有用信息. 该实例中的问题背景是一个简谐振动，这是学生在物理学习中熟悉的内容（本问题属于跨学科的数学应用问题）. 其中有用的信息可以根据学习经验去猜想与判断，像平衡位置、正方向、振幅、周期等、计时位置等，一般都会成为有用信息.
第二步：模型假设与建立. 根据模型准备经过假设的过程并建立模型，这一步需要用到一些重要的数学工具（公式定理等），最终目标是建立一个合理的数学结构，即数学模型. 根据实例中的信息可以发现，简谐振动可以让学生生成一个基本的函数关系即简谐振动方程：x=Acos（ωt φ），其中除了x和t之外，A表示振幅，ω是振动频率，φ是初相位. 而这些信息的提取需要学生在物理数学知识的学习中形成良好的记忆，同时又需要将该方程与原来的实例信息进行对应，如振动频率与实例中的周期对应，初相位与计时位置对应等. 这一步是数学建模的核心步骤，在本实例中应当说模型的建立一般不会出现太大的问题，因此在后面的模型检验中就不需要花费太多的精力，如果遇到更为复杂的应用问题，不像本实例这样一目了然，比如说本实例中可以将一些具体的数据省略，或者让简谐振动变得更隐蔽一些，那在模型假设与建立时就需要更多的精力与智慧.
第三步：模型求解与分析. 这一步的关键是将实例中的信息（参数）代入模型当中去. 关于这一点，上述步骤中已经有所描述，此处不再赘述.
第四步：模型检验. 即将模型的分析结果与实际情形进行比较，以此判断模型建立的合理性. 检验的重要途径是看根据目前建立的模型所得到的结果是否具有实例角度的实际意义，如果吻合度好，则说明模型建立成功，否则失败，一旦模型建立失败，就进入循环的阶段. 如本实例中，由于学生有一定的物理与数学知识基础，因此在模型假设与建立阶段就有较大的信心，毕竟实例说明了是“简谐振动”，因此基本可以判断模型是正确的. 事实上如果题目不说明是简谐振动，而说是一个振动且不计能量损耗，那学生的判断就需要多走几个步骤了. 第五步：模型应用. 这是一个与具体实例相关的步骤，一般没有固定的描述.在本实例中，模型应用主要体现在对第二问的回答上，事实上第二问可以无限延伸，任何一个时刻时物体的位置都可以由建立的数学模型计算出来.
以上是数学模型及其建立的一般过程. 需要强调的是，数学建模不只是一个利用数学知识生成数学模型的过程，严格来说它还是一种数学思想方法，是学生将学得的数学知识学以致用的一个重要的工具. 尽管实际数学应用的过程中并不刻意追求以上步骤的完整性，但基于这样的思路去培养学生的建模能力却是必要的.
另外，需要注意的是，数学模型的建立往往不是一个纯粹的数学问题，其与实际生活的关系，与其他学科的关系，都是需要数学教师高度关注的，而关注的具体方式就是充分地了解学生的原有认知基础. 也就是说，数学建模实际上是一个综合性的过程，不是仅凭数学知识的建立就能完成的，生活应用性、跨学科性是其本质特征.
[?] 数学建模的教学与反思
在多年的高中数学教学中，笔者发现数学建模的教学有着重要的作用.如上所说，数学建模具有综合性，因此其能够促进学生对数学知识的综合运用能力. 但实际教学中的挑战也是非常明显的，当下学生的数学学习有一个明显的不足，那就是学生对知识之间的联系认识不足，往往满足于利用刚刚所学的知识解决眼前的问题，这对于数学建模来说提出了很大的挑战. 如何从学生的记忆系统中提取出有效的信息以完成数学模型的建立，是一个很大的问题；此外，强大的应试压力让学生更多地满足于一般的数学习题的解答，对数学建模的积极性有时不太高（当然，其中数学建模的复杂性也影响了学生的兴趣）.
反思这些现象，笔者以为高中数学教学中的建模工作更加具有重要性与必要性. 无论是从应试的角度来看，还是从学生的数学素养提高的角度来看，数学建模本身就是数学综合能力的体现，也是衡量数学教师教学水平的重要指标. 我们认为，只有当自己所教的学生能够用所学的数学知识有效地解决实际问题时，数学教学才是成功的. 因此，无论是数学新知建立的过程，还是数学应用的过程，都需要在原有知识基础上让学生生成建模的意识，并在数学知识应用的过程中生成能力.
值得一提的是，在数学应用问题的解决过程中，通过一些专题训练来提高学生的建模能力是值得尝试的策略. 笔者的教学经验表明，学生在专题训练的过程中，建模的意识会比较强，建模的目标也比较明确，在紧张的复习时间中抽出时间进行专题训练，可能是一件事半功倍的事情.