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在初中数学中，常用的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生思维能力，是进行数学素质教育的一个切入点。
一、数形结合的思想
数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
例：正比例函数y1=2x的图像与反比例函数y2=■的图像有一个交点的横坐标是，求：（1）k的值。（2）根据图像回答，当-3■；当x为什么值时，2x<■．
■
解：（1）因为函数y=2x与反比例函数y=■有一个交点的横坐标是2，所以y=4，交点为（2，4），所以k=2×4=8.
(2)观察图像得，-8＜y2＜-8/3.
(3)观察图像得，当x=2或x=-2时，2x=■；当-2＜x＜0或x＞2时，2x＞■；当x＜-2或0＜x＜2时,2x＜■．
由以上的例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得形象直观。
二、方程与函数的思想
方程与函数的思想解决数学问题的一个有力工具。用函数和方程的思想来解决问题，往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。
例：某公司到果园基地购买某种优质水果，果园基地对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案。方案一：每千克9元，由基地送货上门；方案二：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(㎏)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。
分析：由题意易得方案一与方案二对应的函数关系式为y1=9x与y2=8x+5000，再根据y1与y2的大小关系选择付款最少的购买方案。
解：（1）方案一，y1=9x；方案二，y2=8x+5000，x≥3000㎏．
(2)9x=8x+5000，x=5000；当x=5000㎏时，y1=y2。两种方案付款一样；当x﹥5000㎏时，y1﹥y2，选择方案二付款最少；当 3000≤x﹤5000，y1﹤y2，选择方案一付款最少。
三、分类讨论的思想
分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。此方法可以训练学生思维的全面性，克服思维的片面性，防止漏解。运用分类讨论思想时，分类要准确、全面、不重、不漏。
例：在⊿ABC中，∠A=30°。BD是AC边上的高，若BD是AD,CD比例中项，求∠ABC.
■
分析：在本题中，应分两种情况：(1)高BD在三角形ABC内；（2）高BD在三角形ABC外。这两种情况都得到三角形相似，由三角形相似得到对应角相等，求出角的度数。
解：（1）高BD在三角形ABC内.
∵BD是AD与CD的比例中项
∴BD/AD=CD/BD
又∵∠ADB=∠BDC=90°
∴⊿ADB∽⊿BDC.
∴∠DBC=∠A=30°
∴∠ABD=60°，∠ABC=90°.
(2)高BD在三角形ABC外.
∵BD是AD与CD的比例中项
∴BD/AD=CD/BD（下转第164页）
（上接第146页）
又∵∠ADB=∠BDC=90°
∴⊿ADB∽⊿BDC
∴∠DBC=∠A=30°
∴∠ABD=60，∠ABC=30°.
四、化归与转化的思想
“化归”就是未知到已知的转化，一般到特殊的转化，局部与整体的转化。
例：已知直线a及同侧两点A、B，在直线a上求一点P，使得PA+PB的值最小。
■
解：作点A关于直线a的对应点A＇，连结AA＇与直线a交于点P，点P即为所求。
变题一在陈李公路的同侧有张庄﹑王村，现准备在陈李公路上修建一个车站，为了节约经费，到张庄﹑王村的距离之和最小。请你为车站选址。
变题可以转化为例题，作出一点关于对称轴的对称点，连结对称点与另一点的直线与对称轴的交点，这个交点到这两点距离之和最小。
一、数形结合的思想
数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
例：正比例函数y1=2x的图像与反比例函数y2=■的图像有一个交点的横坐标是，求：（1）k的值。（2）根据图像回答，当-3
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解：（1）因为函数y=2x与反比例函数y=■有一个交点的横坐标是2，所以y=4，交点为（2，4），所以k=2×4=8.
(2)观察图像得，-8＜y2＜-8/3.
(3)观察图像得，当x=2或x=-2时，2x=■；当-2＜x＜0或x＞2时，2x＞■；当x＜-2或0＜x＜2时,2x＜■．
由以上的例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得形象直观。
二、方程与函数的思想
方程与函数的思想解决数学问题的一个有力工具。用函数和方程的思想来解决问题，往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。
例：某公司到果园基地购买某种优质水果，果园基地对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案。方案一：每千克9元，由基地送货上门；方案二：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(㎏)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。
分析：由题意易得方案一与方案二对应的函数关系式为y1=9x与y2=8x+5000，再根据y1与y2的大小关系选择付款最少的购买方案。
解：（1）方案一，y1=9x；方案二，y2=8x+5000，x≥3000㎏．
(2)9x=8x+5000，x=5000；当x=5000㎏时，y1=y2。两种方案付款一样；当x﹥5000㎏时，y1﹥y2，选择方案二付款最少；当 3000≤x﹤5000，y1﹤y2，选择方案一付款最少。
三、分类讨论的思想
分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。此方法可以训练学生思维的全面性，克服思维的片面性，防止漏解。运用分类讨论思想时，分类要准确、全面、不重、不漏。
例：在⊿ABC中，∠A=30°。BD是AC边上的高，若BD是AD,CD比例中项，求∠ABC.
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分析：在本题中，应分两种情况：(1)高BD在三角形ABC内；（2）高BD在三角形ABC外。这两种情况都得到三角形相似，由三角形相似得到对应角相等，求出角的度数。
解：（1）高BD在三角形ABC内.
∵BD是AD与CD的比例中项
∴BD/AD=CD/BD
又∵∠ADB=∠BDC=90°
∴⊿ADB∽⊿BDC.
∴∠DBC=∠A=30°
∴∠ABD=60°，∠ABC=90°.
(2)高BD在三角形ABC外.
∵BD是AD与CD的比例中项
∴BD/AD=CD/BD（下转第164页）
（上接第146页）
又∵∠ADB=∠BDC=90°
∴⊿ADB∽⊿BDC
∴∠DBC=∠A=30°
∴∠ABD=60，∠ABC=30°.
四、化归与转化的思想
“化归”就是未知到已知的转化，一般到特殊的转化，局部与整体的转化。
例：已知直线a及同侧两点A、B，在直线a上求一点P，使得PA+PB的值最小。
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解：作点A关于直线a的对应点A＇，连结AA＇与直线a交于点P，点P即为所求。
变题一在陈李公路的同侧有张庄﹑王村，现准备在陈李公路上修建一个车站，为了节约经费，到张庄﹑王村的距离之和最小。请你为车站选址。
变题可以转化为例题，作出一点关于对称轴的对称点，连结对称点与另一点的直线与对称轴的交点，这个交点到这两点距离之和最小。