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摘要：有限元计算时采用板单元模拟钢筋混凝土结构的受力特性，国内规范没有给出钢筋混凝土板单元的配筋设计方法；通过对欧洲规范相关条文及论述的理解，探求可用于实际设计并能够完善设计规范的板单元配筋设计方法，为实际工程设计提供一定的技术支撑。
关键词：有限元；钢筋混凝土；板单元；配筋设计；欧洲规范
中图分类号： TU37 文献标识码： A 文章编号：
1 引言
有限元计算常用板单元来模拟钢筋混凝土结构的受力特性，但在利用有限元计算结果进行板单元的配筋计算时，工程设计人员会遇到一定的困难，这是因为国内的《桥涵设计规范》[1]只提供了钢筋混凝土杆系单元的配筋设计方法，而没有给出板单元的具体设计方法及计算公式。本文通过对《欧洲规范》[2]中有关钢筋混凝土板单元的相关论述以及规范条文的理解，得出了钢筋混凝土板单元的配筋设计方法，以供设计人员参考。
2 配筋设计思路
2.1 理论模型
在欧洲规范中，钢筋混凝土板单元的配筋设计采用的是类似于三明治的分析模型，如图1所示。模型共定义了三层，两个外层薄膜（厚度为2倍的混凝土保护层厚度[2]）抵抗以下六个内力分量：nEdx、nEdy、nEdxy= nEdyx和mEdx、mEdy、mEdxy=mEdyx；中间层抵抗两个剪力分量νEdx、νEdy，如图2所示。
图1钢筋混凝土板单元的三明治模型图
图2板单元内力图
在计算时，首先要判断钢筋混凝土板单元是否开裂。如果钢筋混凝土板单元没有开裂，则着重考虑其受压状态的应力；如果钢筋混凝土板单元开裂则适用于三明治模型来进行其配筋设计。
2.2 基本假定
在进行板单元配筋设计计算时，采用了以下一些基本假定：
(1) 混凝土单元体为二向应力状态（正应力代数值较大的应力方向选定为x轴，即σx>σy），如图3所示。
(2) 混凝土单元体的正应力为压应力时，则压压力全部由混凝土承担，不考虑钢筋的抗压作用；但是，混凝土的最大压应力不得大于混凝土轴心抗压强度设计值fcd。
(3) 混凝土单元体的主平面上正应力为压应力时，压力全部由混凝土承担，不考虑钢筋的抗压作用；但是，混凝土的最大压应力不得大于混凝土轴心抗压强度设计值fcd。
(4) 混凝土单元体的y轴受拉时，不考虑混凝土的抗拉作用，拉力全部由钢筋承担。
(5) 混凝土单元体的主平面上出现拉应力时，则需要配筋，且拉力全部由钢筋承担。
(6) 混凝土单元体的剪应力需要配筋，剪力全部由钢筋承担。
图3混凝土单元体上的应力图
2.3 设计方法
三明治模型的外层薄膜承受的板单元内力由《欧洲规范》[2]附录LL提供的式(1)~(8)确定：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
式(1)~(8)中：
zx、zy—分别是板单元的弯矩和轴力作用在三明治模型外层薄膜上的轴力力臂；
yxs、yxi、yys、yyi—分别是单元坐标系x轴和y轴方向的三明治模型外层薄膜上抵抗弯矩和轴力的钢筋重心到板单元厚度方向中心的距离，因此zx= yxs+yxi和zy= yys+yyi，如图4所示；
图4轴力和弯矩作用在三明治模型外层薄膜上的轴力图
zxy、zyx—分别是板单元的扭矩和剪力作用在三明治模型外层薄膜上的剪力力臂；
yyxs、yyxi、yxys、yxyi—分别是三明治模型外层薄膜上抵抗扭矩和剪力的钢筋重心到板单元厚度方向中心的距离，因此zxy= yyxs+yyxi和zyx=yxys+yxyi，如图5所示。
板单元的剪力分量νEdx和νEdy作用在三明治模型的中间层，设计主剪力值νEdo由《欧洲规范》[2]附录LL提供的式(9)确定：
(9)
图5剪力和扭矩作用在三明治模型外层薄膜上的剪力图
三明治模型外层薄膜的主压应力σc和钢筋上的拉应力fx、fy由《欧洲规范》[2]附录F提供的式(10)~(16)确定：
(1) 当且时，不需要配钢筋，其主压应力为：
(10)
(2) 当且时，需要配钢筋。
在x轴方向为压应力，不需要配钢筋，钢筋的应力为：
(11)
在y轴方向，钢筋的拉应力为：
(12)
主压应力为：
(13)
(3) 当且时，需要配钢筋。
在x轴方向，钢筋的拉应力为：
(14)
在y轴方向，钢筋的拉应力为：
(15)
主压应力为：
(16)
最后，钢筋混凝土板单元中抵抗板单元内力的钢筋面积通过式(17)和(18)确定：
(17)
(18)
式(17)、(18)中：
Fx— 三明治模型外层薄膜中与混凝土单元体x轴方向一致的钢筋承受的拉力；
Fy— 三明治模型外层薄膜中与混凝土单元体y轴方向一致的钢筋承受的拉力；
fx— 三明治模型外层薄膜中与混凝土单元体x轴方向一致的钢筋的拉应力；
fy— 三明治模型外层薄膜中与混凝土单元体y轴方向一致的钢筋的拉应力；
— 三明治模型外层薄膜的宽度；
— 三明治模型外层薄膜的厚度；
Asx— 三明治模型外层薄膜中与单元体x轴方向一致的钢筋面积；
Asy— 三明治模型外层薄膜中与单元体y轴方向一致的钢筋面积；
fsd— 普通钢筋的抗拉、抗压强度设计值。
3 算例
以纯弯、纯剪、纯拉和纯扭构件通过上式(1)~ (18)进行钢筋混凝土板单元配筋计算。
其中，纯弯、纯剪和纯拉构件采用板单元模拟计算，其厚度0.25m，宽度1.0m；纯扭构件采用宽1.0m，高1.5m，壁厚0.25m箱型断面，采用板单元进行模拟计算。混凝土强度等级采用C40，普通钢筋采用HRB335，钢筋的混凝土净保护层厚度采用40mm。
将计算结果带入《桥涵设计规范》[1]中相关公式进行钢筋混凝土构件的承载能力复核，具体数据如表1所列。
表1计算数据及结果
注：表1中，(1) 内力单位kN、kNm；(2) 纯弯、纯剪和纯拉构件的钢筋面积为每米宽度的数据；(3) 纯扭构件纵向的钢筋面积为全截面的数据。
4 结语
式(1)~(18)所示的钢筋混凝土板单元配筋设计方法可以实现板单元模拟的钢筋混凝土构件在复杂内力情况的下的配筋设计和裂缝宽度计算。
在承载能力极限状态下钢筋混凝土板单元的配筋计算：已知Fx、Fy和fsd求Asx和Asy；在正常使用极限状态下钢筋混凝土板单元的裂缝宽度计算：已知Fx、Fy、Asx和Asy求钢筋应力σsx和σsy，将钢筋应力带入相关公式得到裂缝宽度。
参考文献
[1] 中华人民共和国交通部. 公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范(JTG D62-2004) [S]．北京：人民交通出版社，2004
[2] BSEN Eurocode2—Design of concrete structures Part 2：Concrete bridges—Design and detailing rules[S]．BSI, 2005
[3] 刘鸿文．材料力学（第三版）[M]．中国：高等教育出版社，1991
[4] 馬彦飞．谈钢筋混凝土壳板单元的配筋设计[J] ．山西建筑，2012（12）：61-62
关键词：有限元；钢筋混凝土；板单元；配筋设计；欧洲规范
中图分类号： TU37 文献标识码： A 文章编号：
1 引言
有限元计算常用板单元来模拟钢筋混凝土结构的受力特性，但在利用有限元计算结果进行板单元的配筋计算时，工程设计人员会遇到一定的困难，这是因为国内的《桥涵设计规范》[1]只提供了钢筋混凝土杆系单元的配筋设计方法，而没有给出板单元的具体设计方法及计算公式。本文通过对《欧洲规范》[2]中有关钢筋混凝土板单元的相关论述以及规范条文的理解，得出了钢筋混凝土板单元的配筋设计方法，以供设计人员参考。
2 配筋设计思路
2.1 理论模型
在欧洲规范中，钢筋混凝土板单元的配筋设计采用的是类似于三明治的分析模型，如图1所示。模型共定义了三层，两个外层薄膜（厚度为2倍的混凝土保护层厚度[2]）抵抗以下六个内力分量：nEdx、nEdy、nEdxy= nEdyx和mEdx、mEdy、mEdxy=mEdyx；中间层抵抗两个剪力分量νEdx、νEdy，如图2所示。
图1钢筋混凝土板单元的三明治模型图
图2板单元内力图
在计算时，首先要判断钢筋混凝土板单元是否开裂。如果钢筋混凝土板单元没有开裂，则着重考虑其受压状态的应力；如果钢筋混凝土板单元开裂则适用于三明治模型来进行其配筋设计。
2.2 基本假定
在进行板单元配筋设计计算时，采用了以下一些基本假定：
(1) 混凝土单元体为二向应力状态（正应力代数值较大的应力方向选定为x轴，即σx>σy），如图3所示。
(2) 混凝土单元体的正应力为压应力时，则压压力全部由混凝土承担，不考虑钢筋的抗压作用；但是，混凝土的最大压应力不得大于混凝土轴心抗压强度设计值fcd。
(3) 混凝土单元体的主平面上正应力为压应力时，压力全部由混凝土承担，不考虑钢筋的抗压作用；但是，混凝土的最大压应力不得大于混凝土轴心抗压强度设计值fcd。
(4) 混凝土单元体的y轴受拉时，不考虑混凝土的抗拉作用，拉力全部由钢筋承担。
(5) 混凝土单元体的主平面上出现拉应力时，则需要配筋，且拉力全部由钢筋承担。
(6) 混凝土单元体的剪应力需要配筋，剪力全部由钢筋承担。
图3混凝土单元体上的应力图
2.3 设计方法
三明治模型的外层薄膜承受的板单元内力由《欧洲规范》[2]附录LL提供的式(1)~(8)确定：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
式(1)~(8)中：
zx、zy—分别是板单元的弯矩和轴力作用在三明治模型外层薄膜上的轴力力臂；
yxs、yxi、yys、yyi—分别是单元坐标系x轴和y轴方向的三明治模型外层薄膜上抵抗弯矩和轴力的钢筋重心到板单元厚度方向中心的距离，因此zx= yxs+yxi和zy= yys+yyi，如图4所示；
图4轴力和弯矩作用在三明治模型外层薄膜上的轴力图
zxy、zyx—分别是板单元的扭矩和剪力作用在三明治模型外层薄膜上的剪力力臂；
yyxs、yyxi、yxys、yxyi—分别是三明治模型外层薄膜上抵抗扭矩和剪力的钢筋重心到板单元厚度方向中心的距离，因此zxy= yyxs+yyxi和zyx=yxys+yxyi，如图5所示。
板单元的剪力分量νEdx和νEdy作用在三明治模型的中间层，设计主剪力值νEdo由《欧洲规范》[2]附录LL提供的式(9)确定：
(9)
图5剪力和扭矩作用在三明治模型外层薄膜上的剪力图
三明治模型外层薄膜的主压应力σc和钢筋上的拉应力fx、fy由《欧洲规范》[2]附录F提供的式(10)~(16)确定：
(1) 当且时，不需要配钢筋，其主压应力为：
(10)
(2) 当且时，需要配钢筋。
在x轴方向为压应力，不需要配钢筋，钢筋的应力为：
(11)
在y轴方向，钢筋的拉应力为：
(12)
主压应力为：
(13)
(3) 当且时，需要配钢筋。
在x轴方向，钢筋的拉应力为：
(14)
在y轴方向，钢筋的拉应力为：
(15)
主压应力为：
(16)
最后，钢筋混凝土板单元中抵抗板单元内力的钢筋面积通过式(17)和(18)确定：
(17)
(18)
式(17)、(18)中：
Fx— 三明治模型外层薄膜中与混凝土单元体x轴方向一致的钢筋承受的拉力；
Fy— 三明治模型外层薄膜中与混凝土单元体y轴方向一致的钢筋承受的拉力；
fx— 三明治模型外层薄膜中与混凝土单元体x轴方向一致的钢筋的拉应力；
fy— 三明治模型外层薄膜中与混凝土单元体y轴方向一致的钢筋的拉应力；
— 三明治模型外层薄膜的宽度；
— 三明治模型外层薄膜的厚度；
Asx— 三明治模型外层薄膜中与单元体x轴方向一致的钢筋面积；
Asy— 三明治模型外层薄膜中与单元体y轴方向一致的钢筋面积；
fsd— 普通钢筋的抗拉、抗压强度设计值。
3 算例
以纯弯、纯剪、纯拉和纯扭构件通过上式(1)~ (18)进行钢筋混凝土板单元配筋计算。
其中，纯弯、纯剪和纯拉构件采用板单元模拟计算，其厚度0.25m，宽度1.0m；纯扭构件采用宽1.0m，高1.5m，壁厚0.25m箱型断面，采用板单元进行模拟计算。混凝土强度等级采用C40，普通钢筋采用HRB335，钢筋的混凝土净保护层厚度采用40mm。
将计算结果带入《桥涵设计规范》[1]中相关公式进行钢筋混凝土构件的承载能力复核，具体数据如表1所列。
表1计算数据及结果
注：表1中，(1) 内力单位kN、kNm；(2) 纯弯、纯剪和纯拉构件的钢筋面积为每米宽度的数据；(3) 纯扭构件纵向的钢筋面积为全截面的数据。
4 结语
式(1)~(18)所示的钢筋混凝土板单元配筋设计方法可以实现板单元模拟的钢筋混凝土构件在复杂内力情况的下的配筋设计和裂缝宽度计算。
在承载能力极限状态下钢筋混凝土板单元的配筋计算：已知Fx、Fy和fsd求Asx和Asy；在正常使用极限状态下钢筋混凝土板单元的裂缝宽度计算：已知Fx、Fy、Asx和Asy求钢筋应力σsx和σsy，将钢筋应力带入相关公式得到裂缝宽度。
参考文献
[1] 中华人民共和国交通部. 公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范(JTG D62-2004) [S]．北京：人民交通出版社，2004
[2] BSEN Eurocode2—Design of concrete structures Part 2：Concrete bridges—Design and detailing rules[S]．BSI, 2005
[3] 刘鸿文．材料力学（第三版）[M]．中国：高等教育出版社，1991
[4] 馬彦飞．谈钢筋混凝土壳板单元的配筋设计[J] ．山西建筑，2012（12）：61-62