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张修霞，山东省日照市莒县第一实验小学教师，市级数学骨干教师，县级数学学科带头人。在《现代教育通讯》、《日照教研》等教育刊物上发表论文10余篇。指导并参与省级数学实验课题“小学生数学小课题实验研究”活动，该项实验荣获省、市级优秀成果奖。多次参与《教师教学用书》及教辅《小学数学伴你学》的编写。
教学感言：作为一名小学教师，把一生从教的满腔热情化为热爱学生的一团火，将自己最真挚的爱奉献给学生，用行动谱写人生绚丽的篇章。
在数学教学中，教师不能被某些“偶然巧合”的现象所迷惑，而应透过表象看到问题的本质，抓住问题的核心，科学引导学生进行合理有效的猜想、判断及推理，进而发现蕴含于其中的必然的数学规律和思想，实现培养有开拓意识和创新能力的学生之目的。
教学“3的倍数的特征”，其方法特别，意义重要。本文拟对其两种方法进行评述，并加以对比分析。
教学内容，参见《数学》(人教版 课标教材)五年级下册第19页。教学方法评述如下：
方法(一)
教材第19页主题情境图中，教师提出：“我们知道了2和5的倍数的特征，那么3的倍数有什么特征呢?”
图中，右边的男同学在想：“3的倍数的个位上的数是不是3的倍数呢?”结果他发现：“3，6，9是3的倍数，但12，15，18个位上的数就不是3的倍数。”
图中间的女同学提出：“先把3的倍数找出来：3、6、9、12、15、18、21……”
图中，左边的男同学发现：“12个位上的数不是3的倍数，但1 2=3，3是3的倍数。”
图中，右下方的“小精灵”提示：“把3的倍数的各位上的数相加，看看你有什么发现。”
最后，教材直接给出结论：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
方法(一)的研究过程，主要是通过情境图中几个人物对话的形式进行的，最后给出正确的结论。尽管其过程非常简洁、明了，但在实际教学中，我们还是遇到过一些实际而现实的问题。
首先，学生受到研究2、5倍数的特征，只看个位的迁移作用，只看其个位上的数字，不过学生马上就会发现，这种思路再也行不通了，因为像30、21、12、33、24、15、36、27、18、39，这些数都是3的倍数，它们的个位上从0~9这十种情况都存在。那么到底该如何研究“3的倍数的特征”呢?如果不是图中“小精灵”的提示：“把3的倍数的各位上的数相加，看看你有什么发现”，学生很难想到用这种办法。有的学生问，为什么要这样加起来?道理是什么?教材中未说明，难怪学生不明白为什么要这样做。
其次，凭“3的倍数，它的各位上的数字之和，恰好又是3的倍数”这种“巧合”现象得出的结论中，“一个数的各位上的数的和是3的倍数”与“这个数就是3的倍数”之间没有必然的联系，缺乏严密的数学推理和论证，学生对“结论”正确性的可信度产生了怀疑，这一点，是方法(一)最大的不足之处。学生曾举例如下：
10×7=70 7 0=7
11×7=77 7 7=14
19×7=133 1 3 3=7
20×7=140 1 4 0=5
70、77、133都是7的倍数，它们每个数各位上的数字之和，正好也是7的倍数。据此推断，“结论”也适用于“7的倍数的特征”。然而，20×7=140，140的各位上的数字之和是5，不是7的倍数，显然，前三个是“巧合”罢了。学生们举此例，说明方法(一)的研究过程，给学生造成了一种“巧合”的假象。鉴于此，我们在教学中，又补充了方法(二)，以弥补方法(一)的不足之处，很受学生欢迎。
方法(二)
这是我们多次尝试过的方法，主要借助简单、直观的“抽”小棒的游戏，让学生明白一个很深刻的道理。【注：方法(二)中创设的情境，其现实意义不大，但它可以帮助学生进行合理、严密的数学推理。我们所用的教具，只是两捆小棒而已】
师：这样抽出1根，结果怎么样?
生：1捆10根，抽出1根，还有9根。9÷3=3，正好够做三张圆桌的腿，不会有剩余了。
师：现在有2捆，怎么抽呢?生：2捆就抽出2根，如下图所示。
师：请把这个过程用数学式子记录下来。[学生尝试记录]
10 10=9 9 1 1
即20=9×2 2
师：看着20=9×2 2，说一说，这样“抽”，达到了一个什么目的?
生：从20根中抽出2根，还有(9×2)根，正好是9的倍数，也一定是3的倍数。这样制作三条腿的桌子，桌腿不会有剩余了。
师：假如一捆是100根，怎么“抽”呢?
生：100根抽1根。
师：假如200根、500根呢?
生：200根就抽2根，500根就抽5根。
师：这样抽的过程记录为：
100=99×1 1
200=99×2 2
500=99×5 5
它们的结果中99×1，99×2，99×5都是9的倍数，当然也一定是3的倍数。这个抽小棒的游戏，能帮助我们理解一个很深刻的数学道理。
【简评：以上“抽”小棒的游戏，简单有趣。抽棒的原则是，几十根就抽几根；几百根也抽几根；几千根也抽几根……有了这样的基础，下面的论证分析就变得游刃有余了】
师：假若一车运来528根木棒，用来做三条腿的圆桌腿，要使木棒不剩余，请你仔细想一想，应该怎么“抽”呢?
生：528由5个百、2个十和8个一组成，即528=500 20 8。500根抽5根，20根抽2根，个位上的8根全抽掉。
师：这样“抽”的结果是怎样的?达到了什么样的目的?
生：528=500 20 8=99×5 5 9×2 2 8
即528=(99×5 9×2) 5 2 8
至此，道理已明。“528”分成了两部分，第一部分(99×5 9×2)是9的倍数，也一定是3的倍数。那么“528”是不是3的倍数，就决定于第二部分 5 2 8，它的和15，是3的倍数，这个一眼就可以看出，所以，“528”一定是3的倍数。
通过以上过程的教学，让学生领悟和发现，“528”是3的倍数，与5 2 8的和15，是3的倍数，具有必然性和充分性的关系，这样对“结论”的正确性就有了进一步的认识和深刻理解。
对比分析
1.所得结论相同。两种方法的研究，最终所得出的“结论”是一致的，这是它们的相同之处。
2.研究思路不同。研究思路的不同，是两种方法最根本的区别。方法(一)从“数”的外部特征入手，得出结论，从这种意义上讲，可以称之为“外求法”；方法(二)从“数”的内在规律入手，得到结论，从这种意义上讲，可以称之为“内求法”。
3.教学效果不同。《数学课标》要求，让学生“体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。”在体现《数学课标》这一思想、达到《数学课标》这一要求方面，方法(二)要比方法(一)优越得多!方法(二)更能取得较好的教学效果，这是不言而喻的。
教学感言：作为一名小学教师，把一生从教的满腔热情化为热爱学生的一团火，将自己最真挚的爱奉献给学生，用行动谱写人生绚丽的篇章。
在数学教学中，教师不能被某些“偶然巧合”的现象所迷惑，而应透过表象看到问题的本质，抓住问题的核心，科学引导学生进行合理有效的猜想、判断及推理，进而发现蕴含于其中的必然的数学规律和思想，实现培养有开拓意识和创新能力的学生之目的。
教学“3的倍数的特征”，其方法特别，意义重要。本文拟对其两种方法进行评述，并加以对比分析。
教学内容，参见《数学》(人教版 课标教材)五年级下册第19页。教学方法评述如下：
方法(一)
教材第19页主题情境图中，教师提出：“我们知道了2和5的倍数的特征，那么3的倍数有什么特征呢?”
图中，右边的男同学在想：“3的倍数的个位上的数是不是3的倍数呢?”结果他发现：“3，6，9是3的倍数，但12，15，18个位上的数就不是3的倍数。”
图中间的女同学提出：“先把3的倍数找出来：3、6、9、12、15、18、21……”
图中，左边的男同学发现：“12个位上的数不是3的倍数，但1 2=3，3是3的倍数。”
图中，右下方的“小精灵”提示：“把3的倍数的各位上的数相加，看看你有什么发现。”
最后，教材直接给出结论：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
方法(一)的研究过程，主要是通过情境图中几个人物对话的形式进行的，最后给出正确的结论。尽管其过程非常简洁、明了，但在实际教学中，我们还是遇到过一些实际而现实的问题。
首先，学生受到研究2、5倍数的特征，只看个位的迁移作用，只看其个位上的数字，不过学生马上就会发现，这种思路再也行不通了，因为像30、21、12、33、24、15、36、27、18、39，这些数都是3的倍数，它们的个位上从0~9这十种情况都存在。那么到底该如何研究“3的倍数的特征”呢?如果不是图中“小精灵”的提示：“把3的倍数的各位上的数相加，看看你有什么发现”，学生很难想到用这种办法。有的学生问，为什么要这样加起来?道理是什么?教材中未说明，难怪学生不明白为什么要这样做。
其次，凭“3的倍数，它的各位上的数字之和，恰好又是3的倍数”这种“巧合”现象得出的结论中，“一个数的各位上的数的和是3的倍数”与“这个数就是3的倍数”之间没有必然的联系，缺乏严密的数学推理和论证，学生对“结论”正确性的可信度产生了怀疑，这一点，是方法(一)最大的不足之处。学生曾举例如下：
10×7=70 7 0=7
11×7=77 7 7=14
19×7=133 1 3 3=7
20×7=140 1 4 0=5
70、77、133都是7的倍数，它们每个数各位上的数字之和，正好也是7的倍数。据此推断，“结论”也适用于“7的倍数的特征”。然而，20×7=140，140的各位上的数字之和是5，不是7的倍数，显然，前三个是“巧合”罢了。学生们举此例，说明方法(一)的研究过程，给学生造成了一种“巧合”的假象。鉴于此，我们在教学中，又补充了方法(二)，以弥补方法(一)的不足之处，很受学生欢迎。
方法(二)
这是我们多次尝试过的方法，主要借助简单、直观的“抽”小棒的游戏，让学生明白一个很深刻的道理。【注：方法(二)中创设的情境，其现实意义不大，但它可以帮助学生进行合理、严密的数学推理。我们所用的教具，只是两捆小棒而已】
师：这样抽出1根，结果怎么样?
生：1捆10根，抽出1根，还有9根。9÷3=3，正好够做三张圆桌的腿，不会有剩余了。
师：现在有2捆，怎么抽呢?生：2捆就抽出2根，如下图所示。
师：请把这个过程用数学式子记录下来。[学生尝试记录]
10 10=9 9 1 1
即20=9×2 2
师：看着20=9×2 2，说一说，这样“抽”，达到了一个什么目的?
生：从20根中抽出2根，还有(9×2)根，正好是9的倍数，也一定是3的倍数。这样制作三条腿的桌子，桌腿不会有剩余了。
师：假如一捆是100根，怎么“抽”呢?
生：100根抽1根。
师：假如200根、500根呢?
生：200根就抽2根，500根就抽5根。
师：这样抽的过程记录为：
100=99×1 1
200=99×2 2
500=99×5 5
它们的结果中99×1，99×2，99×5都是9的倍数，当然也一定是3的倍数。这个抽小棒的游戏，能帮助我们理解一个很深刻的数学道理。
【简评：以上“抽”小棒的游戏，简单有趣。抽棒的原则是，几十根就抽几根；几百根也抽几根；几千根也抽几根……有了这样的基础，下面的论证分析就变得游刃有余了】
师：假若一车运来528根木棒，用来做三条腿的圆桌腿，要使木棒不剩余，请你仔细想一想，应该怎么“抽”呢?
生：528由5个百、2个十和8个一组成，即528=500 20 8。500根抽5根，20根抽2根，个位上的8根全抽掉。
师：这样“抽”的结果是怎样的?达到了什么样的目的?
生：528=500 20 8=99×5 5 9×2 2 8
即528=(99×5 9×2) 5 2 8
至此，道理已明。“528”分成了两部分，第一部分(99×5 9×2)是9的倍数，也一定是3的倍数。那么“528”是不是3的倍数，就决定于第二部分 5 2 8，它的和15，是3的倍数，这个一眼就可以看出，所以，“528”一定是3的倍数。
通过以上过程的教学，让学生领悟和发现，“528”是3的倍数，与5 2 8的和15，是3的倍数，具有必然性和充分性的关系，这样对“结论”的正确性就有了进一步的认识和深刻理解。
对比分析
1.所得结论相同。两种方法的研究，最终所得出的“结论”是一致的，这是它们的相同之处。
2.研究思路不同。研究思路的不同，是两种方法最根本的区别。方法(一)从“数”的外部特征入手，得出结论，从这种意义上讲，可以称之为“外求法”；方法(二)从“数”的内在规律入手，得到结论，从这种意义上讲，可以称之为“内求法”。
3.教学效果不同。《数学课标》要求，让学生“体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。”在体现《数学课标》这一思想、达到《数学课标》这一要求方面，方法(二)要比方法(一)优越得多!方法(二)更能取得较好的教学效果，这是不言而喻的。