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摘 要：指出多元复合函数链式法则可以通过树形图来记忆。
关键词：多元复合函数 链式法则 树形图
中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（a）-0046-01
在理工类数学分析或高等数学教材中，一般都有关于多元复合函数链式法则的介绍。众所周知，多元复合函数链式法则是数学分析和高等数学中的难点之一。由于其涉及的基础理论知识较多，中间变量或自变量的个数不止一个，使求导公式复杂化，增加了记忆的困难，很多初学者在学习这一部分内容时感到繁琐困难，不仅没有任何几何直觉感，而且记忆理解不深刻，经过较短时间之后就会忘记定理内容和公式。
基于这种情况，本文介绍了多元复合函数链式法则的树形记忆法[1]。这一法则在我国主要來自教学经验丰富的数学老师。并且在最近几年国外出版的经典高等数学教科书（例如Calculus，James Stewart著）中[1]，已经将树形记忆法当做教材内容的一部分。可见这一学习记忆技巧的重要性与实用性。但是在我国，多元复合函数链式法则的树形记忆法还是主要靠口口相传，例如国内很多高校的高等数学教材[2]，甚至数学分析[3]教材，在介绍这一部分内容时，只给出了定理和公式，并没有介绍这一记忆法则。这就很容易使初学者感到边际未及，其底难触，大大增加了学习的难度。所以我们希望通过本论文，能将多元复合函数链式法则的树形记忆法在我国推广，使更多的数学爱好者受益。
定理[3]：设和都在点可导，而在对应的点可微，则复合函数在点可导，且有公式：
（1）
另外，我们还可以得出如下结论：设和在点对于的偏导数，都存在，而在对应的点可微，则复合函数在点对于的偏导数存在，且
（2）
一般地，我们有结论：设在点对于≤≤的偏导数都存在，在对应的可微，则复合函数 在点对于的偏导数必存在，且
（3）
我们看到，在这个定理中，由于变量间的关系复杂，求导公式抽象冗长，记忆起来很困难。
为了记住上述公式，免去死记硬背之苦，我们以公式（2）为例来画一个树形图（如图1所示）。在公式（2）中，和是自变量，和是中间变量，因变量是关于中间变量和的函数，中间变量和分别是关于自变量和的函数。
我们从因变量z 起，画出两个分支和，这表示z是关于和的函数。接着我们分别从中间变量和画出自变量和两个分支，这表示中间变量和分别是关于自变量和的函数。然后在每个分支上，我们写下相应的偏导数。这样就直观地表示出了变量之间的关系，使复杂的变量关系变得一目了然。
例如，为了找到的表达式，我们需要先找到从z 到的每条路，然后将每条路上的偏导数相乘，然后将这些乘积相加，我们就得到的表达式：；同样地，可以通过从到的路找到：（见图1）。
对于多元复合函数的高阶偏导数，只要明确多元复合函数的一阶偏导数，一般来说还是多元复合函数，利用上述的办法，列出变量关系之间的树形图，也不难求出所要的结果来。
利用变量关系树形图写出多元复合函数的求导公式的做法，从多年的高等数学从教经验来看，达到了化难为易的目的，学生们普遍反映这个办法好，容易接受，便于理解。但是我们也必须认识到，要想真正掌握多元复合函数的链式法则，必须要做适当的练习，才能真正巩固。
参考文献
[1] James Stewart.Calculus[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2] 费祥历，亓健，马铭福.高等数学[M].山东：中国石油大学出版社，2009.
[3] 郭大钧，陈玉妹，裘卓明.数学分析（下册）[M].山东：山东科学技术出版社，2000.
关键词：多元复合函数 链式法则 树形图
中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（a）-0046-01
在理工类数学分析或高等数学教材中，一般都有关于多元复合函数链式法则的介绍。众所周知，多元复合函数链式法则是数学分析和高等数学中的难点之一。由于其涉及的基础理论知识较多，中间变量或自变量的个数不止一个，使求导公式复杂化，增加了记忆的困难，很多初学者在学习这一部分内容时感到繁琐困难，不仅没有任何几何直觉感，而且记忆理解不深刻，经过较短时间之后就会忘记定理内容和公式。
基于这种情况，本文介绍了多元复合函数链式法则的树形记忆法[1]。这一法则在我国主要來自教学经验丰富的数学老师。并且在最近几年国外出版的经典高等数学教科书（例如Calculus，James Stewart著）中[1]，已经将树形记忆法当做教材内容的一部分。可见这一学习记忆技巧的重要性与实用性。但是在我国，多元复合函数链式法则的树形记忆法还是主要靠口口相传，例如国内很多高校的高等数学教材[2]，甚至数学分析[3]教材，在介绍这一部分内容时，只给出了定理和公式，并没有介绍这一记忆法则。这就很容易使初学者感到边际未及，其底难触，大大增加了学习的难度。所以我们希望通过本论文，能将多元复合函数链式法则的树形记忆法在我国推广，使更多的数学爱好者受益。
定理[3]：设和都在点可导，而在对应的点可微，则复合函数在点可导，且有公式：
（1）
另外，我们还可以得出如下结论：设和在点对于的偏导数，都存在，而在对应的点可微，则复合函数在点对于的偏导数存在，且
（2）
一般地，我们有结论：设在点对于≤≤的偏导数都存在，在对应的可微，则复合函数 在点对于的偏导数必存在，且
（3）
我们看到，在这个定理中，由于变量间的关系复杂，求导公式抽象冗长，记忆起来很困难。
为了记住上述公式，免去死记硬背之苦，我们以公式（2）为例来画一个树形图（如图1所示）。在公式（2）中，和是自变量，和是中间变量，因变量是关于中间变量和的函数，中间变量和分别是关于自变量和的函数。
我们从因变量z 起，画出两个分支和，这表示z是关于和的函数。接着我们分别从中间变量和画出自变量和两个分支，这表示中间变量和分别是关于自变量和的函数。然后在每个分支上，我们写下相应的偏导数。这样就直观地表示出了变量之间的关系，使复杂的变量关系变得一目了然。
例如，为了找到的表达式，我们需要先找到从z 到的每条路，然后将每条路上的偏导数相乘，然后将这些乘积相加，我们就得到的表达式：；同样地，可以通过从到的路找到：（见图1）。
对于多元复合函数的高阶偏导数，只要明确多元复合函数的一阶偏导数，一般来说还是多元复合函数，利用上述的办法，列出变量关系之间的树形图，也不难求出所要的结果来。
利用变量关系树形图写出多元复合函数的求导公式的做法，从多年的高等数学从教经验来看，达到了化难为易的目的，学生们普遍反映这个办法好，容易接受，便于理解。但是我们也必须认识到，要想真正掌握多元复合函数的链式法则，必须要做适当的练习，才能真正巩固。
参考文献
[1] James Stewart.Calculus[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2] 费祥历，亓健，马铭福.高等数学[M].山东：中国石油大学出版社，2009.
[3] 郭大钧，陈玉妹，裘卓明.数学分析（下册）[M].山东：山东科学技术出版社，2000.