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摘 要:指出多元复合函数链式法则可以通过树形图来记忆。
关键词:多元复合函数 链式法则 树形图
中图分类号:G421 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)06(a)-0046-01
在理工类数学分析或高等数学教材中,一般都有关于多元复合函数链式法则的介绍。众所周知,多元复合函数链式法则是数学分析和高等数学中的难点之一。由于其涉及的基础理论知识较多,中间变量或自变量的个数不止一个,使求导公式复杂化,增加了记忆的困难,很多初学者在学习这一部分内容时感到繁琐困难,不仅没有任何几何直觉感,而且记忆理解不深刻,经过较短时间之后就会忘记定理内容和公式。
基于这种情况,本文介绍了多元复合函数链式法则的树形记忆法[1]。这一法则在我国主要來自教学经验丰富的数学老师。并且在最近几年国外出版的经典高等数学教科书(例如Calculus,James Stewart著)中[1],已经将树形记忆法当做教材内容的一部分。可见这一学习记忆技巧的重要性与实用性。但是在我国,多元复合函数链式法则的树形记忆法还是主要靠口口相传,例如国内很多高校的高等数学教材[2],甚至数学分析[3]教材,在介绍这一部分内容时,只给出了定理和公式,并没有介绍这一记忆法则。这就很容易使初学者感到边际未及,其底难触,大大增加了学习的难度。所以我们希望通过本论文,能将多元复合函数链式法则的树形记忆法在我国推广,使更多的数学爱好者受益。
定理[3]:设和都在点可导,而在对应的点可微,则复合函数在点可导,且有公式:
(1)
另外,我们还可以得出如下结论:设和在点对于的偏导数,都存在,而在对应的点可微,则复合函数在点对于的偏导数存在,且
(2)
一般地,我们有结论:设在点对于≤≤的偏导数都存在,在对应的可微,则复合函数 在点对于的偏导数必存在,且
(3)
我们看到,在这个定理中,由于变量间的关系复杂,求导公式抽象冗长,记忆起来很困难。
为了记住上述公式,免去死记硬背之苦,我们以公式(2)为例来画一个树形图(如图1所示)。在公式(2)中,和是自变量,和是中间变量,因变量是关于中间变量和的函数,中间变量和分别是关于自变量和的函数。
我们从因变量z 起,画出两个分支和,这表示z是关于和的函数。接着我们分别从中间变量和画出自变量和两个分支,这表示中间变量和分别是关于自变量和的函数。然后在每个分支上,我们写下相应的偏导数。这样就直观地表示出了变量之间的关系,使复杂的变量关系变得一目了然。
例如,为了找到的表达式,我们需要先找到从z 到的每条路,然后将每条路上的偏导数相乘,然后将这些乘积相加,我们就得到的表达式:;同样地,可以通过从到的路找到:(见图1)。
对于多元复合函数的高阶偏导数,只要明确多元复合函数的一阶偏导数,一般来说还是多元复合函数,利用上述的办法,列出变量关系之间的树形图,也不难求出所要的结果来。
利用变量关系树形图写出多元复合函数的求导公式的做法,从多年的高等数学从教经验来看,达到了化难为易的目的,学生们普遍反映这个办法好,容易接受,便于理解。但是我们也必须认识到,要想真正掌握多元复合函数的链式法则,必须要做适当的练习,才能真正巩固。
参考文献
[1] James Stewart.Calculus[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2] 费祥历,亓健,马铭福.高等数学[M].山东:中国石油大学出版社,2009.
[3] 郭大钧,陈玉妹,裘卓明.数学分析(下册)[M].山东:山东科学技术出版社,2000.
关键词:多元复合函数 链式法则 树形图
中图分类号:G421 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)06(a)-0046-01
在理工类数学分析或高等数学教材中,一般都有关于多元复合函数链式法则的介绍。众所周知,多元复合函数链式法则是数学分析和高等数学中的难点之一。由于其涉及的基础理论知识较多,中间变量或自变量的个数不止一个,使求导公式复杂化,增加了记忆的困难,很多初学者在学习这一部分内容时感到繁琐困难,不仅没有任何几何直觉感,而且记忆理解不深刻,经过较短时间之后就会忘记定理内容和公式。
基于这种情况,本文介绍了多元复合函数链式法则的树形记忆法[1]。这一法则在我国主要來自教学经验丰富的数学老师。并且在最近几年国外出版的经典高等数学教科书(例如Calculus,James Stewart著)中[1],已经将树形记忆法当做教材内容的一部分。可见这一学习记忆技巧的重要性与实用性。但是在我国,多元复合函数链式法则的树形记忆法还是主要靠口口相传,例如国内很多高校的高等数学教材[2],甚至数学分析[3]教材,在介绍这一部分内容时,只给出了定理和公式,并没有介绍这一记忆法则。这就很容易使初学者感到边际未及,其底难触,大大增加了学习的难度。所以我们希望通过本论文,能将多元复合函数链式法则的树形记忆法在我国推广,使更多的数学爱好者受益。
定理[3]:设和都在点可导,而在对应的点可微,则复合函数在点可导,且有公式:
(1)
另外,我们还可以得出如下结论:设和在点对于的偏导数,都存在,而在对应的点可微,则复合函数在点对于的偏导数存在,且
(2)
一般地,我们有结论:设在点对于≤≤的偏导数都存在,在对应的可微,则复合函数 在点对于的偏导数必存在,且
(3)
我们看到,在这个定理中,由于变量间的关系复杂,求导公式抽象冗长,记忆起来很困难。
为了记住上述公式,免去死记硬背之苦,我们以公式(2)为例来画一个树形图(如图1所示)。在公式(2)中,和是自变量,和是中间变量,因变量是关于中间变量和的函数,中间变量和分别是关于自变量和的函数。
我们从因变量z 起,画出两个分支和,这表示z是关于和的函数。接着我们分别从中间变量和画出自变量和两个分支,这表示中间变量和分别是关于自变量和的函数。然后在每个分支上,我们写下相应的偏导数。这样就直观地表示出了变量之间的关系,使复杂的变量关系变得一目了然。
例如,为了找到的表达式,我们需要先找到从z 到的每条路,然后将每条路上的偏导数相乘,然后将这些乘积相加,我们就得到的表达式:;同样地,可以通过从到的路找到:(见图1)。
对于多元复合函数的高阶偏导数,只要明确多元复合函数的一阶偏导数,一般来说还是多元复合函数,利用上述的办法,列出变量关系之间的树形图,也不难求出所要的结果来。
利用变量关系树形图写出多元复合函数的求导公式的做法,从多年的高等数学从教经验来看,达到了化难为易的目的,学生们普遍反映这个办法好,容易接受,便于理解。但是我们也必须认识到,要想真正掌握多元复合函数的链式法则,必须要做适当的练习,才能真正巩固。
参考文献
[1] James Stewart.Calculus[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2] 费祥历,亓健,马铭福.高等数学[M].山东:中国石油大学出版社,2009.
[3] 郭大钧,陈玉妹,裘卓明.数学分析(下册)[M].山东:山东科学技术出版社,2000.