论文部分内容阅读
摘要：数列求和在高考中占有很重要的地位，其中，出现频率较高的是运用错位相减的方法来解题。本文介绍的运用错位相减求和的解决方法，是从总体出发，缕清思路，明确步骤，减少步骤，降低出错率，从而使问题得以快速准确地解决。
关键词：数列；错位相减；方法总结
数列求和是数列的重要内容之一，在现行高中教材中，只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导，而数列种类繁多，形式复杂，绝大多数既非等差数列又非等比数列，也就不能直接用公式来求解。很多同学遇到数列求和问题总是感到力不从心，甚至有的同学把它看作是自己的死穴，觉得即使思考也做不出来，何必耽误时间，因此遇到这类问题就直接跳过。在这中间，错位相减是一个比较重要的内容，也是一个及其有效的解决数列求和的简便方法，但是由于它的计算量比较大，同时要反复列出几个式子并且不断求解，有的题目一眼看上去不容易找出公比，更加导致一些同学放弃或者只计算其中的一部分。实际上，通过分层次练习，总结经验，并找到规律，这类问题的求解会变得相当的简单。
一、错位相减理论分析
错位相减是高中数学教材中推导等比数列前n项和的一种思想方法，它在解决由一个等差数列和一个等比数列对应项之积所构成的数列求和，具有非常重要的意义。由于它的独特性与实用性，并且与课本知识紧密结合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵从的思想是一种转化的思想，经过转化可以把它转化成为等比问题求解。乘以相同的公比得到新式子，再同旧式子错位相减，就得到了一个含有等比数列的等式，细心计算，便不难求解。
二、错位相减题目举例
首先，我们先看一道最简单的例题，从简单题中得到启发。
例1.已知数列an=n·λnλ，求数列的和。
解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1）λn-1+nλn，JY①
两边同时乘以λ，得
λTn=λ2+2λ3+…+n-1）λn+nλn+1，JY②
①-②，得
JZ1-λ）Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，
JZ∴1-λ）Tn=SXλ1-λn）1-λSX）-nλn+1，
JZ∴Tn=SXλ1-λn）1-λ）2SX）-SXnλn+11-λSX）.
这是一个最简单的错位相减，同时也是解决错位相减问题的一个基础题目。
下面，我们来看一道有些麻烦的题目。
例二.an=1-2n）·2n，求Sn.
解：由题意知，JZan=（1-2n）·2n，
JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，
即
DKSn=（1-2）·2+（1-4）·22+（1-6）·23+…+（1-2n）·2nDK）JY①
①×2得
DK2Sn=（1-2）·22+（1-4）·23+…+（3-2n）·2n+（1-2n）·2n+1DK）JY②
②-①得
JZSn=2+2·22+23+…+2·2n-（2n-1）·2n+1
JZ=2+2·SX4（1-2n-1）1-2SX）-（2n-1）2n+1
JZ=（1-n）2n+2+2n+1-6
例二是一个具体化的错位相减问题，对于这些直接列出的题目，大多数的学生都可以做出来，出错率也比较的低，但是，在如今这样一个考验学生综合素质=的社会中，我们遇到的大多都是多个知识点结合的题目。下面我们通过一道高考题来进一步认识一下错位相减。
例三.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4.
（1）求数列的通项公式.
（2）设bn=（4-an）qn-1q≠0，n∈求数列的前n项和.
解：（1）设{an}的公差为d，则由已知得
JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB）即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB）
解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1）=4-n.
（2）由（1）知，bn=n·qn-1，
于是JZSn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn-1，
若q≠1，上式两边同时乘以q.
JZqSn=1·q1+2·q2+3·q3+…+n·qn-1，
两式相减得：
JZ（1-q）Sn=1+q1+q2+…+qn-1-n·qn=SX1-qn1-qSX）-n·qn.
JZ∴Sn=SX1-qn（1-q）2SX）-SXn·qn1-qSX）=SXn·qn+1-（n+1）qn+1（1-q）2SX）.
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1）2SX），
JZ∴Sn=JB{HL2SXn（n+1）2SX）（q=1）
SXnqn+1-（n+1）qn+1（1-q）2SX）q≠1）HL）JB）
针对这个问题，许多同学容易忽视对于q的讨论致使题目出错。这个问题的关键是对于等比数列的定义的认识，若是忽视了等比数列定义中对于公比的界定，则很容易导致问题出错。我们回顾例一可以发现，在例一中我们对公比进行了限定，因此，在下面的解题中就不需要进行讨论。
三.方法总结
A.分析题型，确定类型。错位相减问题具有很强的规律性，当然也适应特定的题目，所以，在做题之前首先需要明确题目的类型，错位相减法是否使用。首先，确定是否为数列类型的题目；其次再确定是否为求和问题；最后，通过观察通项的类型，确定是否可以使用错位相减法解决问题。错位相减法是等差数列和等比数列的有效结合，即
JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn
其中an为等差数列，bn为等比数列。
B.错位相减的做题方法
以例1为例，即
Tn=λ+2λ2+…+（n-1）λn-1+nλnJY①
λTn=λ2+2λ3+…+（n-1）λn+nλn+1JY②
（1-λ）Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③
1.①×公比λ得②式（或乘以公比的倒数，解题方法类似）；
2.①-②得③（③式为：留①头，减②尾，中间对应次数相减的同系数）；
3.③里面含有n+1项；
4.按照等比数列求和方法求③式的前n项的和，减去第n-1项；
5.③式两边同时除以SX1λ-1SX）得最后的结果。
在使用错位相减求和时，一定要善于识别这类题目，准确的识别是正确解题的关键。同时要十分注意等比数列的公比为负数的情形，此外，一定要注意在书写的时候注意将①②两式的“错项对齐”，即将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子（即式①）前面空出一项，另外一个式子（即式②）后面就会多出一项，①②两式相减得到③式，在式③中除了第一项和最后一项，剩下的n-1项是一个等比数列。当然认真细致，悉心体会，记住规律，耐住性子也是相当重要的。
“知行统一”的重要性大家应该都知道，当我们记住了理论的知识，勤加练习，反复运用才会使我们事倍功半，恰巧，错位相减正需要我们的大量练习，在不断的练习，反复的刺激我们的记忆细胞下才有可能使我们在做题的时理论练习实际，减少出错率。（作者单位：1.河南师范大学数学与信息科学学院；2.河南師范大学商学院；3.河南师范大学政治与公共管理学院）
关键词：数列；错位相减；方法总结
数列求和是数列的重要内容之一，在现行高中教材中，只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导，而数列种类繁多，形式复杂，绝大多数既非等差数列又非等比数列，也就不能直接用公式来求解。很多同学遇到数列求和问题总是感到力不从心，甚至有的同学把它看作是自己的死穴，觉得即使思考也做不出来，何必耽误时间，因此遇到这类问题就直接跳过。在这中间，错位相减是一个比较重要的内容，也是一个及其有效的解决数列求和的简便方法，但是由于它的计算量比较大，同时要反复列出几个式子并且不断求解，有的题目一眼看上去不容易找出公比，更加导致一些同学放弃或者只计算其中的一部分。实际上，通过分层次练习，总结经验，并找到规律，这类问题的求解会变得相当的简单。
一、错位相减理论分析
错位相减是高中数学教材中推导等比数列前n项和的一种思想方法，它在解决由一个等差数列和一个等比数列对应项之积所构成的数列求和，具有非常重要的意义。由于它的独特性与实用性，并且与课本知识紧密结合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵从的思想是一种转化的思想，经过转化可以把它转化成为等比问题求解。乘以相同的公比得到新式子，再同旧式子错位相减，就得到了一个含有等比数列的等式，细心计算，便不难求解。
二、错位相减题目举例
首先，我们先看一道最简单的例题，从简单题中得到启发。
例1.已知数列an=n·λnλ，求数列的和。
解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1）λn-1+nλn，JY①
两边同时乘以λ，得
λTn=λ2+2λ3+…+n-1）λn+nλn+1，JY②
①-②，得
JZ1-λ）Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，
JZ∴1-λ）Tn=SXλ1-λn）1-λSX）-nλn+1，
JZ∴Tn=SXλ1-λn）1-λ）2SX）-SXnλn+11-λSX）.
这是一个最简单的错位相减，同时也是解决错位相减问题的一个基础题目。
下面，我们来看一道有些麻烦的题目。
例二.an=1-2n）·2n，求Sn.
解：由题意知，JZan=（1-2n）·2n，
JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，
即
DKSn=（1-2）·2+（1-4）·22+（1-6）·23+…+（1-2n）·2nDK）JY①
①×2得
DK2Sn=（1-2）·22+（1-4）·23+…+（3-2n）·2n+（1-2n）·2n+1DK）JY②
②-①得
JZSn=2+2·22+23+…+2·2n-（2n-1）·2n+1
JZ=2+2·SX4（1-2n-1）1-2SX）-（2n-1）2n+1
JZ=（1-n）2n+2+2n+1-6
例二是一个具体化的错位相减问题，对于这些直接列出的题目，大多数的学生都可以做出来，出错率也比较的低，但是，在如今这样一个考验学生综合素质=的社会中，我们遇到的大多都是多个知识点结合的题目。下面我们通过一道高考题来进一步认识一下错位相减。
例三.已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4.
（1）求数列的通项公式.
（2）设bn=（4-an）qn-1q≠0，n∈求数列的前n项和.
解：（1）设{an}的公差为d，则由已知得
JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB）即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB）
解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1）=4-n.
（2）由（1）知，bn=n·qn-1，
于是JZSn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn-1，
若q≠1，上式两边同时乘以q.
JZqSn=1·q1+2·q2+3·q3+…+n·qn-1，
两式相减得：
JZ（1-q）Sn=1+q1+q2+…+qn-1-n·qn=SX1-qn1-qSX）-n·qn.
JZ∴Sn=SX1-qn（1-q）2SX）-SXn·qn1-qSX）=SXn·qn+1-（n+1）qn+1（1-q）2SX）.
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1）2SX），
JZ∴Sn=JB{HL2SXn（n+1）2SX）（q=1）
SXnqn+1-（n+1）qn+1（1-q）2SX）q≠1）HL）JB）
针对这个问题，许多同学容易忽视对于q的讨论致使题目出错。这个问题的关键是对于等比数列的定义的认识，若是忽视了等比数列定义中对于公比的界定，则很容易导致问题出错。我们回顾例一可以发现，在例一中我们对公比进行了限定，因此，在下面的解题中就不需要进行讨论。
三.方法总结
A.分析题型，确定类型。错位相减问题具有很强的规律性，当然也适应特定的题目，所以，在做题之前首先需要明确题目的类型，错位相减法是否使用。首先，确定是否为数列类型的题目；其次再确定是否为求和问题；最后，通过观察通项的类型，确定是否可以使用错位相减法解决问题。错位相减法是等差数列和等比数列的有效结合，即
JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn
其中an为等差数列，bn为等比数列。
B.错位相减的做题方法
以例1为例，即
Tn=λ+2λ2+…+（n-1）λn-1+nλnJY①
λTn=λ2+2λ3+…+（n-1）λn+nλn+1JY②
（1-λ）Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③
1.①×公比λ得②式（或乘以公比的倒数，解题方法类似）；
2.①-②得③（③式为：留①头，减②尾，中间对应次数相减的同系数）；
3.③里面含有n+1项；
4.按照等比数列求和方法求③式的前n项的和，减去第n-1项；
5.③式两边同时除以SX1λ-1SX）得最后的结果。
在使用错位相减求和时，一定要善于识别这类题目，准确的识别是正确解题的关键。同时要十分注意等比数列的公比为负数的情形，此外，一定要注意在书写的时候注意将①②两式的“错项对齐”，即将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子（即式①）前面空出一项，另外一个式子（即式②）后面就会多出一项，①②两式相减得到③式，在式③中除了第一项和最后一项，剩下的n-1项是一个等比数列。当然认真细致，悉心体会，记住规律，耐住性子也是相当重要的。
“知行统一”的重要性大家应该都知道，当我们记住了理论的知识，勤加练习，反复运用才会使我们事倍功半，恰巧，错位相减正需要我们的大量练习，在不断的练习，反复的刺激我们的记忆细胞下才有可能使我们在做题的时理论练习实际，减少出错率。（作者单位：1.河南师范大学数学与信息科学学院；2.河南師范大学商学院；3.河南师范大学政治与公共管理学院）