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【摘 要】在圆锥曲线的学习中，许多学生发现有不少难点，很容易丢分，究其原因，主要是许多易错点学生没有弄清。具体而言，主要集中与对三种圆锥曲线的定义要求、焦点位置、方程条件和隐藏条件、图形范围以及直线与其交点问题中，极易产生误区。因此，本文作了一些必要的归纳和总结，以提醒大家注意，争取减少失误。
【关键词】易错点；限制条件；焦点位置；隐含条件；一个公共点的特殊情况
在学习新教材选修2-1中的圆锥曲线内容时，学生感觉还是比较困难，通过对学生的调查了解，主要有两个方面的问题，一是此部分涉及的计算量比较大；二是有许多易错的地方会使学生不小心掉入陷阱。对于第一个问题，大家的共识是只有做题时养成不“跳步”的习惯、计算时能注意掌握一些解题技巧，就可以解决；对于第二个问题，大家感觉还是比较头疼。为了更好的帮助大家解决这个问题，我们进行了如下的归纳和总结。
一、在对椭圆的学习中，要注意以下易错点：
1、注意椭圆定义的限制条件。
问题1.若方程表示椭圆，求实数k的取值范围。
错解：实数k的取值范围是（5，7）。
正解：且，实数k的取值范围是。
分析：此题要考察的是对椭圆的标准方程的理解，错解中忽略了椭圆的标准方程中的限制条件：a>b>0， 因为当a=b>0是方程表示圆，而不是椭圆。可见，准确的理解椭圆的定义，注意定义中的限制条件，对于避免和减少解题过程的失误，保证解题的正确性很重要。
2、注意椭圆焦点位置的讨论。
问题2.已知椭圆的标准方程为并且焦距为6，求实数m的值。
错解：由椭圆的标准方程知
，
。
正解：
1）当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知
，
；
2）当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，，，又；故或。
分析：当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论。可见，涉及圆锥曲线方程的问题，如果没有指明焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情况，不能顺着思维的定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解。
3、注意椭圆的范围的讨论。
问题3.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程。
错解：设椭圆方程为
，
则，，
即.设椭圆上的点到P点距离为d，
则
.
当时，有最大值，从而也有最大值，
，
所求椭圆的标准方程为.
正解：设椭圆方程为，
则，，
即.设椭圆上的点到P点距离为d，
则
.
若，则当时，有最大值，从而d有最大值，于是，从而解得与矛盾。
必有，此时当时，有最大值，从而d也有最大值，，所求椭圆的标准方程为.
分析：在错解中“当时，有最大值”这一步的推理有问题，没有考虑椭圆方程中的取值范围。仔细思考，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，要分类讨论。
二、在对双曲线的学习中，要注意以下易错点：
1.注意双曲线定义的限制条件。
问题1.已知，，动点P满足，当a为3和5时，P点的轨迹分别是（ ）
A.双曲线和一条直线；B. 双曲线和一条射线；C.双曲线的一支和一条直线；D.双曲线的一支和一条射线；
错解：10，当时，，故P点的轨迹为双曲线；当时，10，故P点的轨迹为一条射线。故选B.
正解：，而不是，当时，，故P点的轨迹为双曲线的一支；当时，10，故P点的轨迹为一条射线。故选D.
分析：错解中忽略了双曲线定义中的限制条件是“差的绝对值”，因此，当时，P点的轨迹为双曲线的右支。大家解题时要注意：当，即时，P点的轨迹是双曲线，其中，取正号时为双曲线的右（上）支，取负号时为双曲线的左（下）支；当时，P点的轨迹是分别以点或为端点的两条射线；当时，P点的轨迹不存在。
注意方程表示双曲线的条件问题。
问题2.若方程表示双曲线，求实数m的取值范围。
错解：。
正解：或
分析：错解中只考虑了双曲线焦点在x轴的情况，忽略了焦点在y轴的情况，与椭圆中类似，在不确定焦点位置时，需要分类讨论。
3、注意双曲线中的隐含条件问题。
问题3.已知P是双曲线上一点，，是双曲线的左右焦点，且，求的值。
错解：，
且，.
正解：10由双曲线的图形可得点P到右焦点的距离.又，且，（舍去）或.
分析：错解中忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于，从而两解中要舍去不满足要求的那个。这是许多学生解题中容易出错的地方。
4、注意双曲线的焦点位置的讨论。
问题4.已知双曲线的渐近线方程是，焦距为，求双曲线的标准方程。
错解：双曲线标准方程为：。
正解：1）当双曲线的焦点在x轴上时，
双曲线标准方程为：；
2）当双曲线的焦点在x轴上时，
双曲线标准方程为：；
故所求双曲线的标准方程为：或
分析：这里错解的原因还是没有弄清双曲线的焦点在哪个轴上，需要注意的是：当焦点在x轴上时，
渐近线方程为：；当焦点在y轴上时， 渐近线方程为：。
5、注意直线与双曲线有一个公共点的特殊情况。
问题5：已知过点P（1，1）的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率的取值。
错解：由题意，则：，
有：
。
正解：由题意，则：，
有：
若，此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
若，则
综上可知，直线的斜率为。
分析：错解的原因是忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，也是直线和双曲线只有一个公共点的情况；从方程解的情况来看，也没有注意当形如二次方程时若二次项系数不确定时，需要进一步的讨论。
在对抛物线的学习中，要注意以下易错点：
1、注意抛物线定义中的限制条件。
问题1.已知点P到的距离与到直线的距离相等，求点P的轨迹方程。
错解：由抛物线定义知，点P的轨迹为抛物线。焦点在x轴上，开口向右，焦点到准线的距离，抛物线的方程为.
正解：设点，
依题意有：，此为所求的轨迹方程。
分析：点P到的距离与到直线的距离相等，的确满足抛物线的定义，但是，故此时抛物线的方程不可能是标准方程。这里，要特别注意分析定点和定直线是否处于轴的对称的两侧，若是，则很可能是标准方程；否则，应该用求轨迹方程的定义法来求解。
2、注意弄清抛物线中的字母位置和意义。
问题2.若抛物线的准线方程是，求的值。
错解：准线方程为，.
正解：由.
分析：这里主要的错因是：没有正确的理解抛物线标准方程的形式，应该是等式左端为二次项且系数为1，等式的右端为一次项。大家解题时一定要注意。
注意直线与抛物线有一个公共点的特殊情况。
问题3.求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线的方程。
错解：1）当直线的斜率不存在时，不满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：
有，
依题意，，故所求直线的方程为：
或。
正解：1）当直线的斜率不存在时，不满足题意；
当直线的斜率存在时，
当时，则所求直线方程为：，此时直线与抛物线只有一个公共点；
当时，设直线的方程为：
有，
依题意，，故所求直线的方程为：
或或。
分析：在解题中，考虑直线与抛物线只有一个交点时，一般要注意三种情况：一是当直线的斜率不存在时；二是当直线与抛物线的对称轴平行时；三是当直线与抛物线相切的情况。
总之，在学习圆锥曲线时，要注意以上这些误区，少走弯路，突破易错点，减少失误！
参考文献：
[1]杜志建 《中学教材学习讲义数学》2012年7月.
【关键词】易错点；限制条件；焦点位置；隐含条件；一个公共点的特殊情况
在学习新教材选修2-1中的圆锥曲线内容时，学生感觉还是比较困难，通过对学生的调查了解，主要有两个方面的问题，一是此部分涉及的计算量比较大；二是有许多易错的地方会使学生不小心掉入陷阱。对于第一个问题，大家的共识是只有做题时养成不“跳步”的习惯、计算时能注意掌握一些解题技巧，就可以解决；对于第二个问题，大家感觉还是比较头疼。为了更好的帮助大家解决这个问题，我们进行了如下的归纳和总结。
一、在对椭圆的学习中，要注意以下易错点：
1、注意椭圆定义的限制条件。
问题1.若方程表示椭圆，求实数k的取值范围。
错解：实数k的取值范围是（5，7）。
正解：且，实数k的取值范围是。
分析：此题要考察的是对椭圆的标准方程的理解，错解中忽略了椭圆的标准方程中的限制条件：a>b>0， 因为当a=b>0是方程表示圆，而不是椭圆。可见，准确的理解椭圆的定义，注意定义中的限制条件，对于避免和减少解题过程的失误，保证解题的正确性很重要。
2、注意椭圆焦点位置的讨论。
问题2.已知椭圆的标准方程为并且焦距为6，求实数m的值。
错解：由椭圆的标准方程知
，
。
正解：
1）当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知
，
；
2）当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，，，又；故或。
分析：当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论。可见，涉及圆锥曲线方程的问题，如果没有指明焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情况，不能顺着思维的定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解。
3、注意椭圆的范围的讨论。
问题3.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程。
错解：设椭圆方程为
，
则，，
即.设椭圆上的点到P点距离为d，
则
.
当时，有最大值，从而也有最大值，
，
所求椭圆的标准方程为.
正解：设椭圆方程为，
则，，
即.设椭圆上的点到P点距离为d，
则
.
若，则当时，有最大值，从而d有最大值，于是，从而解得与矛盾。
必有，此时当时，有最大值，从而d也有最大值，，所求椭圆的标准方程为.
分析：在错解中“当时，有最大值”这一步的推理有问题，没有考虑椭圆方程中的取值范围。仔细思考，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，要分类讨论。
二、在对双曲线的学习中，要注意以下易错点：
1.注意双曲线定义的限制条件。
问题1.已知，，动点P满足，当a为3和5时，P点的轨迹分别是（ ）
A.双曲线和一条直线；B. 双曲线和一条射线；C.双曲线的一支和一条直线；D.双曲线的一支和一条射线；
错解：10，当时，，故P点的轨迹为双曲线；当时，10，故P点的轨迹为一条射线。故选B.
正解：，而不是，当时，，故P点的轨迹为双曲线的一支；当时，10，故P点的轨迹为一条射线。故选D.
分析：错解中忽略了双曲线定义中的限制条件是“差的绝对值”，因此，当时，P点的轨迹为双曲线的右支。大家解题时要注意：当，即时，P点的轨迹是双曲线，其中，取正号时为双曲线的右（上）支，取负号时为双曲线的左（下）支；当时，P点的轨迹是分别以点或为端点的两条射线；当时，P点的轨迹不存在。
注意方程表示双曲线的条件问题。
问题2.若方程表示双曲线，求实数m的取值范围。
错解：。
正解：或
分析：错解中只考虑了双曲线焦点在x轴的情况，忽略了焦点在y轴的情况，与椭圆中类似，在不确定焦点位置时，需要分类讨论。
3、注意双曲线中的隐含条件问题。
问题3.已知P是双曲线上一点，，是双曲线的左右焦点，且，求的值。
错解：，
且，.
正解：10由双曲线的图形可得点P到右焦点的距离.又，且，（舍去）或.
分析：错解中忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于，从而两解中要舍去不满足要求的那个。这是许多学生解题中容易出错的地方。
4、注意双曲线的焦点位置的讨论。
问题4.已知双曲线的渐近线方程是，焦距为，求双曲线的标准方程。
错解：双曲线标准方程为：。
正解：1）当双曲线的焦点在x轴上时，
双曲线标准方程为：；
2）当双曲线的焦点在x轴上时，
双曲线标准方程为：；
故所求双曲线的标准方程为：或
分析：这里错解的原因还是没有弄清双曲线的焦点在哪个轴上，需要注意的是：当焦点在x轴上时，
渐近线方程为：；当焦点在y轴上时， 渐近线方程为：。
5、注意直线与双曲线有一个公共点的特殊情况。
问题5：已知过点P（1，1）的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率的取值。
错解：由题意，则：，
有：
。
正解：由题意，则：，
有：
若，此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
若，则
综上可知，直线的斜率为。
分析：错解的原因是忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，也是直线和双曲线只有一个公共点的情况；从方程解的情况来看，也没有注意当形如二次方程时若二次项系数不确定时，需要进一步的讨论。
在对抛物线的学习中，要注意以下易错点：
1、注意抛物线定义中的限制条件。
问题1.已知点P到的距离与到直线的距离相等，求点P的轨迹方程。
错解：由抛物线定义知，点P的轨迹为抛物线。焦点在x轴上，开口向右，焦点到准线的距离，抛物线的方程为.
正解：设点，
依题意有：，此为所求的轨迹方程。
分析：点P到的距离与到直线的距离相等，的确满足抛物线的定义，但是，故此时抛物线的方程不可能是标准方程。这里，要特别注意分析定点和定直线是否处于轴的对称的两侧，若是，则很可能是标准方程；否则，应该用求轨迹方程的定义法来求解。
2、注意弄清抛物线中的字母位置和意义。
问题2.若抛物线的准线方程是，求的值。
错解：准线方程为，.
正解：由.
分析：这里主要的错因是：没有正确的理解抛物线标准方程的形式，应该是等式左端为二次项且系数为1，等式的右端为一次项。大家解题时一定要注意。
注意直线与抛物线有一个公共点的特殊情况。
问题3.求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线的方程。
错解：1）当直线的斜率不存在时，不满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：
有，
依题意，，故所求直线的方程为：
或。
正解：1）当直线的斜率不存在时，不满足题意；
当直线的斜率存在时，
当时，则所求直线方程为：，此时直线与抛物线只有一个公共点；
当时，设直线的方程为：
有，
依题意，，故所求直线的方程为：
或或。
分析：在解题中，考虑直线与抛物线只有一个交点时，一般要注意三种情况：一是当直线的斜率不存在时；二是当直线与抛物线的对称轴平行时；三是当直线与抛物线相切的情况。
总之，在学习圆锥曲线时，要注意以上这些误区，少走弯路，突破易错点，减少失误！
参考文献：
[1]杜志建 《中学教材学习讲义数学》2012年7月.