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普通高中数学课程标准(实验）指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．因此，我们在数学教学中应充分挖掘教学中的问题背景，为学生们提供自主学习、探索创新的时间与空间，从而有效地培养学生的数学思维能力和创新意识．
下文是笔者以新定义型数列为背景的一堂探究性教学案例实录，意在尝试如何引导学生进行自主性学习与探究性活动．(注：所花时间为两个课时)
1 给出问题
问题：课本上的等差数列与等比数列均是先给出定义，然后再对其通项公式与前n项和公式等性质进行研究和运用．我们能不能根据这种方法，类比给出一种或几种特殊数列，先确定其定义，再对其通项公式与前n项和公式等性质进行研究?
(问题呈现后，给出20分钟先让学生独立思考，再进行分组讨论，最后请学生回答或分析讲解，学生的讲解辅以实物投影仪加以展示．)
2 展示成果
学生1：我们给出一种新数列，定义如下：在数列{an}中，若对任意n≥2都有an+an-1=d
(n∈N+,d为常数),则仿照上面两种数列的取名方法，不妨称数列{an}为等和数列，常数d称为数列的公和．
教师：你们是如何想到的呢?
学生1：我们是通过与等差数列进行类比而想到的
教师：那么它具有什么性质呢?
学生1：我们认为它具有以下特点：
设等和数列{an}的首项为a1，公和为d，前n项和为Sn，则
（然后由此学生所在小组给出以上性质的证明过程，在实物投影仪展示，教师和同学们一起加以分析，最后给予充分肯定．）
教师：很好，那么它还有其他特殊的性质吗？
学生2：我们刚才讨论认为，此数列中有an+2k=an (k∈N+)，即等和数列是一个周期为2的数列；也就是说，由数列的奇数项或偶数项组成的新数列均为常数数列．
教师：以上通项公式已充分展示了这一点，不过该小组从周期性和分组数列的角度上进行了诠释，可进一步加深对等和数列中所蕴含知识的认识．
学生3：经过类比想像，我们也给出一种新数列——等积数列，定义如下：在数列{an}中，若对任意正整数n≥2都有an·an-1=q (q为非零常数），则可称{an}为等积数列，常数q称为数列的公积．
类比等和数列的性质，等积数列具有以下特点：
(3)由数列的奇数项或偶数项组成的新数列也均为常数数列．
教师：(在充分展示，讨论并加以肯定之后)我们同学发现并展示了两种特殊的数列，即等和数列与等积数列，大家比较一下两者的性质，会有什么感触呢?
(在稍加讨论后，有同学示意要发言．)
学生4：我们发现等积数列的后两条性质与等和数列完全一致，经过讨论我们认为等积数列是等和数列的一种特殊情况．上面等积数列的性质3已说明这一点．
教师：若反向思考的话，那么等和数列是不是等积数列的一种特殊情况呢?
学生5：不是，因为an=0的常数列是等和数列，但不是等积数列!
(该同学的回答得到了一片掌声，但仍有一同学不以为然，在下面咕噜道：“只要把等积数列中的条件“q为非零常数”去掉不就行了吗?)
教师：好的!同学们考虑问题比较细致、全面，分歧主要在于考虑问题时的着眼点不同而已.为了方便我们进行分析，不妨仍采取学生3所在小组的定义．下面我们对此两种数列进行举例巩固．
(多媒体展示，并与学生一起讨论并加以解决．)
(通过练习的巩固，学生在认知结构中已有的观念基础上，对上述新概念及其性质进行同化，顺应，从而顺利融合新知识于自己的认知结构中去．)
教师：上面我们提出并研究了两种特殊的数列，那么还有没有另外的小组找到其他的特殊数列呢?
学生6：受到等差数列和等比数列的类比启发，我们想把它们结合在一起，尝试给出下面这种较复杂的新数列，其定义是：数列{an}中，从第二项起，每一项与前一项的差成等比数列．不妨称该数列{an}为差等比数列．
并且它具有以下这个特点：当q=1时，该数列即为等差数列.
但我们觉得这种新数列，当q≠1时，其通项公式与前n项和公式比前两种来得复杂，急切之间还难以求出来．
教师：其他同学或小组能施以援手吗?
(过了几分钟，有一小组要求发言．)
学生8：我们小组受到等差数列的启发，想在此基础上再加以“升华”，于是发现了一种新数列，可定义如下：一个数列，若从第二项开始，每一项减去前一项依次周期性的得到两个常数d1，d2；则这个数列可叫做双等差数列．其中d1，d2为它的两个公差．
并且它具有以下特点：
但它的通项公式与前n项和公式更为复杂，还要老师和同学们加以帮助．
(其他小组思考了一段时间，还是没有一个小组能完整地解决这个问题，于是在教师的指导下学生逐步得到以下结论：)
教师：我们这堂课探究了几种新定义型数列，如果大家感兴趣的话，我们还可以类似的定义其他的特殊数列：如比等差数列，等差等比数列、等比等差数列和一些特殊的分组数列等等．当然也可进一步探究它们的通项公式与前n项和公式,这个探究的过程不仅有利于培养同学们利用学过的基础知识分析、解决新的复杂问题的能力，而且有利于开拓我们的视野，深化我们对数列的理解，从更广的角度上重新认识数列、等差数列与等比数列．以等差、等比数列为基础或以其为类比对象的新定义型数列，作为能力型试题，成为近年来数列教学甚至数学高考的热点之一．这些问题综合性强、思维力度大、能力要求高，同学们普遍感到困难．但若从一般情况探究，进行分析、类比、迁移，形成基本模型与一般结论，可以帮助同学们充分认识这类试题的本质，熟练掌握解决问题的方法，从而顺利突破难关、建构知识，进一步培养同学们的知识迁移能力．
3 几点感想
首先，这堂课虽然授课并不完整，甚至于对后两种形式的新定义型数列来不及加以熟悉与巩固，但是通过这堂课的探究性学习，使学生从具体问题出发，并在教师的指导下，结合已有的知识与经验，通过自主学习和积极类比，进行大胆的猜想与判断，并设法寻找合理的方法或充足的依据进行创造性的活动与尝试，从而使自己在不断地改进和增强能力的同时，不断地取得“新成果”．丰富了自身探究知识的历程与经验．
其次，通过这堂课的探究性教学，使学生初步认识并浅尝到数学知识之间的相互联系与数学知识的产生、发展脉络，感受到数学并不神秘，从而增强了学生学习数学与学好数学的信心，为进一步的数学学习奠定了情感基础．
最后，本堂课改变了传统的学习模式，以学生为主体，通过合理引导，使教学内容问题化，教学过程探索化，让学生真实地感受到了提出问题—分析问题—解决问题—发散问题的探究过程，达到了预期的探究性学习的目的．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
下文是笔者以新定义型数列为背景的一堂探究性教学案例实录，意在尝试如何引导学生进行自主性学习与探究性活动．(注：所花时间为两个课时)
1 给出问题
问题：课本上的等差数列与等比数列均是先给出定义，然后再对其通项公式与前n项和公式等性质进行研究和运用．我们能不能根据这种方法，类比给出一种或几种特殊数列，先确定其定义，再对其通项公式与前n项和公式等性质进行研究?
(问题呈现后，给出20分钟先让学生独立思考，再进行分组讨论，最后请学生回答或分析讲解，学生的讲解辅以实物投影仪加以展示．)
2 展示成果
学生1：我们给出一种新数列，定义如下：在数列{an}中，若对任意n≥2都有an+an-1=d
(n∈N+,d为常数),则仿照上面两种数列的取名方法，不妨称数列{an}为等和数列，常数d称为数列的公和．
教师：你们是如何想到的呢?
学生1：我们是通过与等差数列进行类比而想到的
教师：那么它具有什么性质呢?
学生1：我们认为它具有以下特点：
设等和数列{an}的首项为a1，公和为d，前n项和为Sn，则
（然后由此学生所在小组给出以上性质的证明过程，在实物投影仪展示，教师和同学们一起加以分析，最后给予充分肯定．）
教师：很好，那么它还有其他特殊的性质吗？
学生2：我们刚才讨论认为，此数列中有an+2k=an (k∈N+)，即等和数列是一个周期为2的数列；也就是说，由数列的奇数项或偶数项组成的新数列均为常数数列．
教师：以上通项公式已充分展示了这一点，不过该小组从周期性和分组数列的角度上进行了诠释，可进一步加深对等和数列中所蕴含知识的认识．
学生3：经过类比想像，我们也给出一种新数列——等积数列，定义如下：在数列{an}中，若对任意正整数n≥2都有an·an-1=q (q为非零常数），则可称{an}为等积数列，常数q称为数列的公积．
类比等和数列的性质，等积数列具有以下特点：
(3)由数列的奇数项或偶数项组成的新数列也均为常数数列．
教师：(在充分展示，讨论并加以肯定之后)我们同学发现并展示了两种特殊的数列，即等和数列与等积数列，大家比较一下两者的性质，会有什么感触呢?
(在稍加讨论后，有同学示意要发言．)
学生4：我们发现等积数列的后两条性质与等和数列完全一致，经过讨论我们认为等积数列是等和数列的一种特殊情况．上面等积数列的性质3已说明这一点．
教师：若反向思考的话，那么等和数列是不是等积数列的一种特殊情况呢?
学生5：不是，因为an=0的常数列是等和数列，但不是等积数列!
(该同学的回答得到了一片掌声，但仍有一同学不以为然，在下面咕噜道：“只要把等积数列中的条件“q为非零常数”去掉不就行了吗?)
教师：好的!同学们考虑问题比较细致、全面，分歧主要在于考虑问题时的着眼点不同而已.为了方便我们进行分析，不妨仍采取学生3所在小组的定义．下面我们对此两种数列进行举例巩固．
(多媒体展示，并与学生一起讨论并加以解决．)
(通过练习的巩固，学生在认知结构中已有的观念基础上，对上述新概念及其性质进行同化，顺应，从而顺利融合新知识于自己的认知结构中去．)
教师：上面我们提出并研究了两种特殊的数列，那么还有没有另外的小组找到其他的特殊数列呢?
学生6：受到等差数列和等比数列的类比启发，我们想把它们结合在一起，尝试给出下面这种较复杂的新数列，其定义是：数列{an}中，从第二项起，每一项与前一项的差成等比数列．不妨称该数列{an}为差等比数列．
并且它具有以下这个特点：当q=1时，该数列即为等差数列.
但我们觉得这种新数列，当q≠1时，其通项公式与前n项和公式比前两种来得复杂，急切之间还难以求出来．
教师：其他同学或小组能施以援手吗?
(过了几分钟，有一小组要求发言．)
学生8：我们小组受到等差数列的启发，想在此基础上再加以“升华”，于是发现了一种新数列，可定义如下：一个数列，若从第二项开始，每一项减去前一项依次周期性的得到两个常数d1，d2；则这个数列可叫做双等差数列．其中d1，d2为它的两个公差．
并且它具有以下特点：
但它的通项公式与前n项和公式更为复杂，还要老师和同学们加以帮助．
(其他小组思考了一段时间，还是没有一个小组能完整地解决这个问题，于是在教师的指导下学生逐步得到以下结论：)
教师：我们这堂课探究了几种新定义型数列，如果大家感兴趣的话，我们还可以类似的定义其他的特殊数列：如比等差数列，等差等比数列、等比等差数列和一些特殊的分组数列等等．当然也可进一步探究它们的通项公式与前n项和公式,这个探究的过程不仅有利于培养同学们利用学过的基础知识分析、解决新的复杂问题的能力，而且有利于开拓我们的视野，深化我们对数列的理解，从更广的角度上重新认识数列、等差数列与等比数列．以等差、等比数列为基础或以其为类比对象的新定义型数列，作为能力型试题，成为近年来数列教学甚至数学高考的热点之一．这些问题综合性强、思维力度大、能力要求高，同学们普遍感到困难．但若从一般情况探究，进行分析、类比、迁移，形成基本模型与一般结论，可以帮助同学们充分认识这类试题的本质，熟练掌握解决问题的方法，从而顺利突破难关、建构知识，进一步培养同学们的知识迁移能力．
3 几点感想
首先，这堂课虽然授课并不完整，甚至于对后两种形式的新定义型数列来不及加以熟悉与巩固，但是通过这堂课的探究性学习，使学生从具体问题出发，并在教师的指导下，结合已有的知识与经验，通过自主学习和积极类比，进行大胆的猜想与判断，并设法寻找合理的方法或充足的依据进行创造性的活动与尝试，从而使自己在不断地改进和增强能力的同时，不断地取得“新成果”．丰富了自身探究知识的历程与经验．
其次，通过这堂课的探究性教学，使学生初步认识并浅尝到数学知识之间的相互联系与数学知识的产生、发展脉络，感受到数学并不神秘，从而增强了学生学习数学与学好数学的信心，为进一步的数学学习奠定了情感基础．
最后，本堂课改变了传统的学习模式，以学生为主体，通过合理引导，使教学内容问题化，教学过程探索化，让学生真实地感受到了提出问题—分析问题—解决问题—发散问题的探究过程，达到了预期的探究性学习的目的．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”