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摘 要
教育是一个复杂系统，具有非线性、自组织性、整体性等特征。我们应在复杂科学的指导启发下，对初中数学的教育目标、教学内容、教学设计、教学方式以及教学评价等进行重新认识、合理改革。
关键词
复杂科学 初中数学教学
新课程实施以来，人们一直在探索数学课堂的有效教学问题，并进行了各种变革尝试，但初中数学教学现状依然存在重知识传授，轻思维培养，重结果考核，轻过程考查，重短期眼前成绩，轻学生长远发展等现象。这都是简单线性思维的产物，线性思维方式遮蔽了数学教育的本真面目，而强调“非线性”“整体性”“自组织性”的复杂科学为研究数学教育问题提供了更好的可能方式。
一、复杂科学视域中数学教学的基本特征
1.非线性特征。
线性是指量与量之间的正比关系，是直线型表征关系。一直以来，在线性科学的指导下，人们在数学教学中认为人的发展是线性的，可以看作一个连续的过程，这个过程可以被测定分解为一个个小的不连贯的步骤，强调教学行为的因果制约性，相信只要施加教育影响便会有相应的结果，如“教师讲得好——学生成绩优”，“题目做得多——学生成绩好”，“成绩好——优秀生”等认识，这就是基于对某一教育结果的出现作简单归因。复杂科学告诉我们，现实世界的大量问题却是非线性的，教育作为一个开放的特殊复杂的巨系统，具有不规则的跃度，带有明显的间断性和突变性;具有在系统的关节点上，参量的微小变化造成系统性质改变的特性，如蝴蝶效应，小输入而导致大的输出。因此，任何一个看似完美的方案，在实际操作中都将不可避免地产生许多意想不到的结果。人的发展具有差异性、多样性、可变性，而教育的对象是青少年，教育事件（活动）的发生与否还取决于具体的情境等随机出现的条件，不能对某一教育效果的出现作出简单的归因，也不能对即将出现的教育效果作断然的预测。
2.自组织性特征。
自组织是指一个系统的要素按彼此的相干性、协同性或某种默契形成特定结构与功能的过程。 首先，学生作为生命个体，具有自组织特征。学生能主动地从外界系统中获取阳光、空气、水分等营养物质，自主地生长。其次，从学生的精神生命看，也具有自组织特征。学生能主动地获取书本知识、社会经验，不断调整自己与外界的相处方式，不断自主成长。在自组织的启示下，教师首先要通过多种手段激活学生的自组织系统，唤醒他们内在的学习潜能，引导学生学会学习，乐于学习。其次，教师要优化教材系统，积极激活学生系统，在教学活动中经过系统内部，系统与系统的相互作用，逐步向合理、有序化方向发展，以呈现出教学的无限发展性。
3.整体性特征。
复杂科学认为，整体性是系统的一个基本属性。系统的整体行为绝不是所有局部行为的简单相加，一般情况下是整体大于各组成成分之和，即每个组成不能代替整体，每个层次的局部不能说明整体。因此数学教学不能分解为教师的教与学生的学，必须确认教学是师生精神生命共同成长的过程。数学教学内容不是一个个简单知识点的堆积，数学概念之间有内在的联系，是一个完整的体系，不可简单分割讲解，要从数学教学的整体上去把握教学特点及学生的发展趋势。在此过程中要把握好师生充分交流这一关键，比如，课堂上的语言交流、眼神交流、作业交流，课后谈话交流等，在充分尊重学生的基础上，从整体把握数学教学。数学教学的整体性就是关注学生生命的整体发展，确认生命发展的复杂性，通过教师引导，让学生体会数学知识内在的联系，感受数学整体性，以实现人的自然性、社会性和自主性的充分和谐发展。
二、复杂科学对数学教学的启示
复杂科学强调要研究、认识事物本来的复杂性，要用非线性的、开放的、整体的、全面的观念去认识和把握研究对象的本质，对数学教学的改革具有重要的指导价值。
1.进一步完善、落实教学目标。
教师要从复杂科学视域来落实数学教学目标，以便更好地提高数学教学效果。由于现实的考评仅仅以分数来衡量教学效果，所教师在教学中往往过分强调认知性目标，而忽视其他目标。实践中要摈弃急功近利的做法，落实全面、清晰、合理的教学目标。首先，教学目标应从多维度上整体把握，在落实认知性目标的同时，针对学生是活生生的人，要特别重视情感、态度、价值观的培养，这些要放在所有目标的首位，注重激发学生的学习愿望，帮助学生认识自我，建立信心，唤醒学生自身的学习潜能。其次，在培养学生数学学科素养、促进学生全面发展的过程中，教学目标更要关注四基，即基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。第三，要发挥数学在培养学生思维和创新能力方面的独特作用。
2.进一步拓展、丰富教学内容。
首先，要明确提出初中阶段的数学思想方法。数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想，只有充分掌握领会，才能有效地应用知识，形成能力。数学思想方法的教学，是把知识型教学转化为能力型教学的关键，是实现素质教育的重要组成部分。初中阶段应明确提出数形结合、整体、分类、类比、归纳推理、函数等思想方法，以实现教学的“低起点，高立意”。
其次，加强初中教学与高中教学的衔接。初中数学压缩了部分教学内容，目前高一的教学在教材的处理上是把这一部分内容插入到相应的教材中间，或放在部分内容后面。例如，“一元二次不等式”这一内容就放在“基本初等函数”后面;“余弦定理”“正弦定理” 这一内容就放在“三角恒等变换”后面。因此，适当拓展初中教学内容，有助于做好初、高中教学的衔接，对学有余力的学生综合能力的提高也很有帮助。初中阶段教师在日常的教学中，还应有意识地综合运用多种教学方法积极调动学生学习的主动性、积极性，让他们由被动地学变为主动地学，由学会变为会学，这也是初中教学与高中教学衔接的重要内容。 3.进一步从整体上把握教学设计。
现行教科书采用公理化体系，自下而上逐层展开，学生学习的是“点状”知识，不易理解所学知识点在单元章节中的地位作用，影响了学生学习的整体运用和迁移运用能力。2011版义务教育数学课程标准指出，“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。”数学教学要根据学生情况以及教学内容从整体上把握教学设计，使教学过程具有整体性，从而促进学生建构有意义的学习，增强学生分析解决问题的能力。
为做好整体设计，要注意以下问题。一是要通过激活原有认知系统为学习新的知识奠定基础。二是要注重数学问题的思想性（体现数学思想）和开放性，引领学生主动积极探讨探索数学问题。三是注重教学策略的设计应用，如“先行组织者”策略，“引导发现整体感悟”策略，“结构性”策略，“系统性”策略等。四是注重章首节教学，章首节往往蕴含本章学习的“方法性结构”和“过程性结构”。
4.进一步改善教与学的方式。
学生具有自组织这一潜质，教师要不断激活学生的自组织系统，用精湛的教吸引学生的学，教师的教要有利于促进学生的自组织学习。为此，要做以下改变：一是教学模式不能单一呆板。试想如果每堂课都是“先自学，再师生交流，最后当堂检测”，该多么枯燥无味，机械呆板啊！我们不能机械地采用“杜郎口”模式，或是“洋思”模式，或是“讲学稿”模式等单一的教学模式，而应该使自己的教学常变常新，要在吸纳众多优秀教学模式的基础上，创建适合自己学生和教师的教学程式，要根据不同内容采用不同的教学方式。二是教学方法不能单调。教师要灵活采取讲授法、谈话法、互动讨论法，进行启发式教学，以此创造丰富多彩、适宜自己、适合学生的课堂教学，从而达到引起学生好奇、兴趣，尊重、相信学生，解放、发展学生的目的。
5.进一步改善教学评价方式。
评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。评价应以课程目标和课程内容为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。
教师除注重对学生基础知识和基本技能、学生数学学习过程和情感态度价值观的评价之外，还要特别注意以下几点：一要注重核心内容的考核。在编制纸笔测验试题时，要重视考核核心的、具有良好结构的知识，而不是枝节的、零散的知识。二要引导学生自我评价。根据“自组织”特性，学生能够对学习过程与效果进行自我调节与评价，因此，教师要注重发挥学生自我评价的功能。三要“提倡延迟评价”。即在平时学习过程中，教师对尚未达到目标要求的学生，可以暂时不给明确的评价结果，给学生更多的机会，当学生取得较好的成绩时再给予评价，以保护学生学习的积极性，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心。四要恰当地呈现和利用评价结果。不能仅以分数论英雄，要评价学生有哪些进步，如，已经掌握了哪些知识，获得了什么提高，具备了何种能力，还有哪些潜能，当然也应恰当指出在哪些方面还有不足等。教师要不断关注学生的积极变化并及时反馈给学生，以不断增强学生学习的自信心。总之，教师要通过复杂细致的分析评价，使学生养成良好的学习习惯，促进学生的全面和谐发展。
（作者为江苏省泗洪县泗州学校副校长）
教育是一个复杂系统，具有非线性、自组织性、整体性等特征。我们应在复杂科学的指导启发下，对初中数学的教育目标、教学内容、教学设计、教学方式以及教学评价等进行重新认识、合理改革。
关键词
复杂科学 初中数学教学
新课程实施以来，人们一直在探索数学课堂的有效教学问题，并进行了各种变革尝试，但初中数学教学现状依然存在重知识传授，轻思维培养，重结果考核，轻过程考查，重短期眼前成绩，轻学生长远发展等现象。这都是简单线性思维的产物，线性思维方式遮蔽了数学教育的本真面目，而强调“非线性”“整体性”“自组织性”的复杂科学为研究数学教育问题提供了更好的可能方式。
一、复杂科学视域中数学教学的基本特征
1.非线性特征。
线性是指量与量之间的正比关系，是直线型表征关系。一直以来，在线性科学的指导下，人们在数学教学中认为人的发展是线性的，可以看作一个连续的过程，这个过程可以被测定分解为一个个小的不连贯的步骤，强调教学行为的因果制约性，相信只要施加教育影响便会有相应的结果，如“教师讲得好——学生成绩优”，“题目做得多——学生成绩好”，“成绩好——优秀生”等认识，这就是基于对某一教育结果的出现作简单归因。复杂科学告诉我们，现实世界的大量问题却是非线性的，教育作为一个开放的特殊复杂的巨系统，具有不规则的跃度，带有明显的间断性和突变性;具有在系统的关节点上，参量的微小变化造成系统性质改变的特性，如蝴蝶效应，小输入而导致大的输出。因此，任何一个看似完美的方案，在实际操作中都将不可避免地产生许多意想不到的结果。人的发展具有差异性、多样性、可变性，而教育的对象是青少年，教育事件（活动）的发生与否还取决于具体的情境等随机出现的条件，不能对某一教育效果的出现作出简单的归因，也不能对即将出现的教育效果作断然的预测。
2.自组织性特征。
自组织是指一个系统的要素按彼此的相干性、协同性或某种默契形成特定结构与功能的过程。 首先，学生作为生命个体，具有自组织特征。学生能主动地从外界系统中获取阳光、空气、水分等营养物质，自主地生长。其次，从学生的精神生命看，也具有自组织特征。学生能主动地获取书本知识、社会经验，不断调整自己与外界的相处方式，不断自主成长。在自组织的启示下，教师首先要通过多种手段激活学生的自组织系统，唤醒他们内在的学习潜能，引导学生学会学习，乐于学习。其次，教师要优化教材系统，积极激活学生系统，在教学活动中经过系统内部，系统与系统的相互作用，逐步向合理、有序化方向发展，以呈现出教学的无限发展性。
3.整体性特征。
复杂科学认为，整体性是系统的一个基本属性。系统的整体行为绝不是所有局部行为的简单相加，一般情况下是整体大于各组成成分之和，即每个组成不能代替整体，每个层次的局部不能说明整体。因此数学教学不能分解为教师的教与学生的学，必须确认教学是师生精神生命共同成长的过程。数学教学内容不是一个个简单知识点的堆积，数学概念之间有内在的联系，是一个完整的体系，不可简单分割讲解，要从数学教学的整体上去把握教学特点及学生的发展趋势。在此过程中要把握好师生充分交流这一关键，比如，课堂上的语言交流、眼神交流、作业交流，课后谈话交流等，在充分尊重学生的基础上，从整体把握数学教学。数学教学的整体性就是关注学生生命的整体发展，确认生命发展的复杂性，通过教师引导，让学生体会数学知识内在的联系，感受数学整体性，以实现人的自然性、社会性和自主性的充分和谐发展。
二、复杂科学对数学教学的启示
复杂科学强调要研究、认识事物本来的复杂性，要用非线性的、开放的、整体的、全面的观念去认识和把握研究对象的本质，对数学教学的改革具有重要的指导价值。
1.进一步完善、落实教学目标。
教师要从复杂科学视域来落实数学教学目标，以便更好地提高数学教学效果。由于现实的考评仅仅以分数来衡量教学效果，所教师在教学中往往过分强调认知性目标，而忽视其他目标。实践中要摈弃急功近利的做法，落实全面、清晰、合理的教学目标。首先，教学目标应从多维度上整体把握，在落实认知性目标的同时，针对学生是活生生的人，要特别重视情感、态度、价值观的培养，这些要放在所有目标的首位，注重激发学生的学习愿望，帮助学生认识自我，建立信心，唤醒学生自身的学习潜能。其次，在培养学生数学学科素养、促进学生全面发展的过程中，教学目标更要关注四基，即基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。第三，要发挥数学在培养学生思维和创新能力方面的独特作用。
2.进一步拓展、丰富教学内容。
首先，要明确提出初中阶段的数学思想方法。数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想，只有充分掌握领会，才能有效地应用知识，形成能力。数学思想方法的教学，是把知识型教学转化为能力型教学的关键，是实现素质教育的重要组成部分。初中阶段应明确提出数形结合、整体、分类、类比、归纳推理、函数等思想方法，以实现教学的“低起点，高立意”。
其次，加强初中教学与高中教学的衔接。初中数学压缩了部分教学内容，目前高一的教学在教材的处理上是把这一部分内容插入到相应的教材中间，或放在部分内容后面。例如，“一元二次不等式”这一内容就放在“基本初等函数”后面;“余弦定理”“正弦定理” 这一内容就放在“三角恒等变换”后面。因此，适当拓展初中教学内容，有助于做好初、高中教学的衔接，对学有余力的学生综合能力的提高也很有帮助。初中阶段教师在日常的教学中，还应有意识地综合运用多种教学方法积极调动学生学习的主动性、积极性，让他们由被动地学变为主动地学，由学会变为会学，这也是初中教学与高中教学衔接的重要内容。 3.进一步从整体上把握教学设计。
现行教科书采用公理化体系，自下而上逐层展开，学生学习的是“点状”知识，不易理解所学知识点在单元章节中的地位作用，影响了学生学习的整体运用和迁移运用能力。2011版义务教育数学课程标准指出，“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。”数学教学要根据学生情况以及教学内容从整体上把握教学设计，使教学过程具有整体性，从而促进学生建构有意义的学习，增强学生分析解决问题的能力。
为做好整体设计，要注意以下问题。一是要通过激活原有认知系统为学习新的知识奠定基础。二是要注重数学问题的思想性（体现数学思想）和开放性，引领学生主动积极探讨探索数学问题。三是注重教学策略的设计应用，如“先行组织者”策略，“引导发现整体感悟”策略，“结构性”策略，“系统性”策略等。四是注重章首节教学，章首节往往蕴含本章学习的“方法性结构”和“过程性结构”。
4.进一步改善教与学的方式。
学生具有自组织这一潜质，教师要不断激活学生的自组织系统，用精湛的教吸引学生的学，教师的教要有利于促进学生的自组织学习。为此，要做以下改变：一是教学模式不能单一呆板。试想如果每堂课都是“先自学，再师生交流，最后当堂检测”，该多么枯燥无味，机械呆板啊！我们不能机械地采用“杜郎口”模式，或是“洋思”模式，或是“讲学稿”模式等单一的教学模式，而应该使自己的教学常变常新，要在吸纳众多优秀教学模式的基础上，创建适合自己学生和教师的教学程式，要根据不同内容采用不同的教学方式。二是教学方法不能单调。教师要灵活采取讲授法、谈话法、互动讨论法，进行启发式教学，以此创造丰富多彩、适宜自己、适合学生的课堂教学，从而达到引起学生好奇、兴趣，尊重、相信学生，解放、发展学生的目的。
5.进一步改善教学评价方式。
评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。评价应以课程目标和课程内容为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。
教师除注重对学生基础知识和基本技能、学生数学学习过程和情感态度价值观的评价之外，还要特别注意以下几点：一要注重核心内容的考核。在编制纸笔测验试题时，要重视考核核心的、具有良好结构的知识，而不是枝节的、零散的知识。二要引导学生自我评价。根据“自组织”特性，学生能够对学习过程与效果进行自我调节与评价，因此，教师要注重发挥学生自我评价的功能。三要“提倡延迟评价”。即在平时学习过程中，教师对尚未达到目标要求的学生，可以暂时不给明确的评价结果，给学生更多的机会，当学生取得较好的成绩时再给予评价，以保护学生学习的积极性，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心。四要恰当地呈现和利用评价结果。不能仅以分数论英雄，要评价学生有哪些进步，如，已经掌握了哪些知识，获得了什么提高，具备了何种能力，还有哪些潜能，当然也应恰当指出在哪些方面还有不足等。教师要不断关注学生的积极变化并及时反馈给学生，以不断增强学生学习的自信心。总之，教师要通过复杂细致的分析评价，使学生养成良好的学习习惯，促进学生的全面和谐发展。
（作者为江苏省泗洪县泗州学校副校长）