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摘要：初中的平面几何教学，不但要训练学生的逻辑思维能力，规范学生的表达过程，还要教会学生如何去分析几何问题等，可谓困难重重. 本文在初二年级学生几何证明启蒙阶段，借助于样例学习理论，采用学生说题的方式，引导学生分析几何问题，以图形为纽带，综合条件与结论，有效地帮助了学生的几何学习.
关键词：样例学习理论；初二几何；说题
问题提出
李士錡的研究指出，初中学生的几何学习主要存在以下问题：（1）学生对概念和定理的理解常常停留在表面；（2）学生害怕几何证明题，对证明经常感到无从下手，不知道要做什么，不知道做到哪一步就算证明出来了；（3）学生已有的几何知识之间缺乏必要的联系，导致概念、公式、定理记不住，学过之后就遗忘了；（4）学生对图形语言与文字语言、符号语言之间的转换仍存在困难；（5）在进行根据前提推导结论的演绎推理时，学生经常使用非逻辑方式代替演绎推理. 总之，学生在学习几何时，在几何概念理解上不深入，在证明和推理方面存在认知困难. 在初中学生开始学习平面几何时，会遇到 “证明思维中的新形式”问题. 平面几何证明尽管有几何图形做直观辅助，但仍使学生难以捉摸思路，一个重要的原因在于思维形式.寻找证明方法既要顾及图形，又要顾及条件，每一步推理都需要定理的支撑，在作业书写形式上还有遵从教师提出的书写规范. 总的说来是细节要求过多.
在教学实践中，我们也是感同身受. 初二学生在学习几何证明时，特别是在拿到题目后不会对题目中的条件、结论进行整合，缺乏对文字语言、符号语言和图形语言之间的关系的整合能力.
造成学生学习困难的原因，是学生对证明接触少了，是学生学习几何证明的时间短了，没有与已有的学习内容进行“同化”与“顺应” ，没有形成几何证明的经验，没有形成相应的几何证明的图式. 同时，教材中例子过少，减少了学生的学习机会，另外，学生也存在着不会学习的问题. 学生没有几何学习的特殊方法，或者说没有根据学习内容调整学习方法.
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，“义务教育阶段要注重学生思考的条理性”，并且“‘证明’的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证明过程的体验. 证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理. 此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性.”
对照课程标准的要求，结合初中学生几何学习实际情况，我们认为在初二几何教学中，教师的教学必须以学生的认知实际情况为立足点，在有限的教学时间内，在不加重学生学习负担的前提下，提高学生的学习效率，保证学生的学习效果，我们认为样例学习理论为我们初二学生几何证明的启蒙学习提供了理论指导.
样例学习理论
所谓“样例”，也就是指具有详细解答步骤的事例或例题. 样例不仅仅是一个供模仿的“样板”，它还能起到对概念、原理、公式等进行解释的作用，能够帮助理解概念、强化记忆，能让学生知道怎样运用原理或公式来解题. 在某种意义上，样例为学习者提供了学习和仿效问题解决的模型. 学习者通过研究样例，归纳出其中隐含的抽象知识来解决问题，这样的一个学习过程即称之为“样例学习”. 样例学习具有以下几个突出的优点：有效地减轻学生的认知负荷，易化了认知技能的获得；提高了解题效率；有利于学生对原理和规则正确归纳和分类；极大地调动学生学习积极性等.
而几何证明的启蒙阶段学习需要学生借助样例来体会样例中“隐含的抽象知识”——逻辑思维顺序，逻辑规范表达，这是教师在教学中难以“言传”的，只可以在“样例”中让学生“意会”. 因此，借助经典样例帮助学生进行几何证明的启蒙学习，是一种有效的学习方式.
教学案例
无论是几何证明这样的高级思维形式的学习，还是几何证明的逻辑规范表达，我们认为都需要学生在学习的过程中领悟，需要学生在学习的过程中意会. 针对学生的学习状况，结合样例学习理论，我们在八年级下学期第20章《平行四边形》（《新时代数学》编写组，2011）一章的教学时，进行了以下教学尝试.
教师：画图帮助理解条件与结论，将条件与结论在图形表示出来，从而起到了整合条件与结论的作用，也是形成证明思路的基础. 在证明问题时，要学会从结论去寻找使结论成立的条件（定向思考），同时，看到条件，特别是隐含条件，要会联想延伸，找到条件与结论的交汇点（交集），再逻辑地表达出来，望同学们课后再品味品味.
教学小结：学生的思维水平很接近，但思考的速度有快有慢，让先思考成熟的学生说出他们的思路，给其他学生提供一个范例. 几位学生的思考正好形成一个整体. 同时，引导学生在看到结论时要先朝哪儿想，在结论的引导下，梳理条件，借助图形整合条件，从而形成一个完整的解题思路.我们认为上述教学过程可以帮助学生掌握整个证明过程的宏观思路.
我们想通过此例教学，学生从中体会到在面对一道几何问题时如何思考，联想什么，怎么整合：条件与结论的整合；数学符号与图形的整合；解题过程的整合，从而逻辑地规范地表达.
（二）样例二
在习题讲评课上，我们以课本P82《习题20.2》的第16题为例，进行了以下教学：
（三）样例三
笔者在简单地介绍后，给学生发放了《四边形复习题（一）》.
教学小结：学生在做过本复习卷后，要思考改变我们的学习方法，在题海中挣分数是多么的辛苦，我们要向学习的质量要分数. 这些题目，变的是形式，没有变的是本质. 我们在初次学习时，就要挖掘题目中的本质要素，学会归纳，提炼本质，把握本质要素，提高学习效果.如果我们理解了课本上的例题，从本质上理解了它，我们有必要去做那么多的变式练习吗？我们就可以省下更多的宝贵时间去思考其他问题，从本质上把握它们，去享受学习的快乐，从题海中解放出来.
其实，不仅在几何学习中，在整过数学学习中，每个章节，每个部分都存在类似的现象，运用或保留一种方法的本质，从形式上对题目进行变式. 如果我们在学习中注意把握题目的本质，就没有必要将这些变式题一一做一遍，从而减轻我们的学习负担，也能提高学习质量. 如果我们只是做题目，当作一个任务，做完之后不反思，不总结，即使做了很多的题目，当它们再出现新的形式时，也还有可能不会做.
4. 需要关注学生的学习方法，关注质量效果，而不能在数量上下工夫，否则将会得不偿失.
5. 帮助学生积累图式.在定理应用时形成定理应用图式；帮助学生形成几何证明分析图式；证明逻辑规范图式. 学生在逐步接受与训练后，再慢慢地消化、默会和理解.
6. 让学生说，延缓教学速度，给了学生更多的思考时间，让学生有更多的参与时间.
7. 通过样例学习方式，在定理定理教学时，给出定理的推理形式；在定理应用时的突出表达步骤，让学生有了更多模仿的机会，在问题分析、规范书写、学习方法等方面给学生提供了借鉴.
关键词：样例学习理论；初二几何；说题
问题提出
李士錡的研究指出，初中学生的几何学习主要存在以下问题：（1）学生对概念和定理的理解常常停留在表面；（2）学生害怕几何证明题，对证明经常感到无从下手，不知道要做什么，不知道做到哪一步就算证明出来了；（3）学生已有的几何知识之间缺乏必要的联系，导致概念、公式、定理记不住，学过之后就遗忘了；（4）学生对图形语言与文字语言、符号语言之间的转换仍存在困难；（5）在进行根据前提推导结论的演绎推理时，学生经常使用非逻辑方式代替演绎推理. 总之，学生在学习几何时，在几何概念理解上不深入，在证明和推理方面存在认知困难. 在初中学生开始学习平面几何时，会遇到 “证明思维中的新形式”问题. 平面几何证明尽管有几何图形做直观辅助，但仍使学生难以捉摸思路，一个重要的原因在于思维形式.寻找证明方法既要顾及图形，又要顾及条件，每一步推理都需要定理的支撑，在作业书写形式上还有遵从教师提出的书写规范. 总的说来是细节要求过多.
在教学实践中，我们也是感同身受. 初二学生在学习几何证明时，特别是在拿到题目后不会对题目中的条件、结论进行整合，缺乏对文字语言、符号语言和图形语言之间的关系的整合能力.
造成学生学习困难的原因，是学生对证明接触少了，是学生学习几何证明的时间短了，没有与已有的学习内容进行“同化”与“顺应” ，没有形成几何证明的经验，没有形成相应的几何证明的图式. 同时，教材中例子过少，减少了学生的学习机会，另外，学生也存在着不会学习的问题. 学生没有几何学习的特殊方法，或者说没有根据学习内容调整学习方法.
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，“义务教育阶段要注重学生思考的条理性”，并且“‘证明’的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证明过程的体验. 证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理. 此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性.”
对照课程标准的要求，结合初中学生几何学习实际情况，我们认为在初二几何教学中，教师的教学必须以学生的认知实际情况为立足点，在有限的教学时间内，在不加重学生学习负担的前提下，提高学生的学习效率，保证学生的学习效果，我们认为样例学习理论为我们初二学生几何证明的启蒙学习提供了理论指导.
样例学习理论
所谓“样例”，也就是指具有详细解答步骤的事例或例题. 样例不仅仅是一个供模仿的“样板”，它还能起到对概念、原理、公式等进行解释的作用，能够帮助理解概念、强化记忆，能让学生知道怎样运用原理或公式来解题. 在某种意义上，样例为学习者提供了学习和仿效问题解决的模型. 学习者通过研究样例，归纳出其中隐含的抽象知识来解决问题，这样的一个学习过程即称之为“样例学习”. 样例学习具有以下几个突出的优点：有效地减轻学生的认知负荷，易化了认知技能的获得；提高了解题效率；有利于学生对原理和规则正确归纳和分类；极大地调动学生学习积极性等.
而几何证明的启蒙阶段学习需要学生借助样例来体会样例中“隐含的抽象知识”——逻辑思维顺序，逻辑规范表达，这是教师在教学中难以“言传”的，只可以在“样例”中让学生“意会”. 因此，借助经典样例帮助学生进行几何证明的启蒙学习，是一种有效的学习方式.
教学案例
无论是几何证明这样的高级思维形式的学习，还是几何证明的逻辑规范表达，我们认为都需要学生在学习的过程中领悟，需要学生在学习的过程中意会. 针对学生的学习状况，结合样例学习理论，我们在八年级下学期第20章《平行四边形》（《新时代数学》编写组，2011）一章的教学时，进行了以下教学尝试.
教师：画图帮助理解条件与结论，将条件与结论在图形表示出来，从而起到了整合条件与结论的作用，也是形成证明思路的基础. 在证明问题时，要学会从结论去寻找使结论成立的条件（定向思考），同时，看到条件，特别是隐含条件，要会联想延伸，找到条件与结论的交汇点（交集），再逻辑地表达出来，望同学们课后再品味品味.
教学小结：学生的思维水平很接近，但思考的速度有快有慢，让先思考成熟的学生说出他们的思路，给其他学生提供一个范例. 几位学生的思考正好形成一个整体. 同时，引导学生在看到结论时要先朝哪儿想，在结论的引导下，梳理条件，借助图形整合条件，从而形成一个完整的解题思路.我们认为上述教学过程可以帮助学生掌握整个证明过程的宏观思路.
我们想通过此例教学，学生从中体会到在面对一道几何问题时如何思考，联想什么，怎么整合：条件与结论的整合；数学符号与图形的整合；解题过程的整合，从而逻辑地规范地表达.
（二）样例二
在习题讲评课上，我们以课本P82《习题20.2》的第16题为例，进行了以下教学：
（三）样例三
笔者在简单地介绍后，给学生发放了《四边形复习题（一）》.
教学小结：学生在做过本复习卷后，要思考改变我们的学习方法，在题海中挣分数是多么的辛苦，我们要向学习的质量要分数. 这些题目，变的是形式，没有变的是本质. 我们在初次学习时，就要挖掘题目中的本质要素，学会归纳，提炼本质，把握本质要素，提高学习效果.如果我们理解了课本上的例题，从本质上理解了它，我们有必要去做那么多的变式练习吗？我们就可以省下更多的宝贵时间去思考其他问题，从本质上把握它们，去享受学习的快乐，从题海中解放出来.
其实，不仅在几何学习中，在整过数学学习中，每个章节，每个部分都存在类似的现象，运用或保留一种方法的本质，从形式上对题目进行变式. 如果我们在学习中注意把握题目的本质，就没有必要将这些变式题一一做一遍，从而减轻我们的学习负担，也能提高学习质量. 如果我们只是做题目，当作一个任务，做完之后不反思，不总结，即使做了很多的题目，当它们再出现新的形式时，也还有可能不会做.
4. 需要关注学生的学习方法，关注质量效果，而不能在数量上下工夫，否则将会得不偿失.
5. 帮助学生积累图式.在定理应用时形成定理应用图式；帮助学生形成几何证明分析图式；证明逻辑规范图式. 学生在逐步接受与训练后，再慢慢地消化、默会和理解.
6. 让学生说，延缓教学速度，给了学生更多的思考时间，让学生有更多的参与时间.
7. 通过样例学习方式，在定理定理教学时，给出定理的推理形式；在定理应用时的突出表达步骤，让学生有了更多模仿的机会，在问题分析、规范书写、学习方法等方面给学生提供了借鉴.