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摘 要：提出了一种改进的布洛依登算法，证明了新方法的收敛性，通过进行数值实验验证了改进布洛依登算法的收敛阶数及有效性，并通过与牛顿法以及拟牛顿法的比较体现了改进的布洛依登算法的优越性。
关键词：
非线性方程组；拟牛顿迭代法；改进拟牛顿迭代法
DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.024
中图分类号： O22
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）06-0127-04
Abstract：A Modified Broyden algorithm is presented to solve nonlinear equations in this paper. The convergence of the new algorithml is proved. The convergent order and effectiveness of improved Broyden method can be verified by numerical experiments. Through comparing with Newton′s method and quasinewton method， the advantages of the improvement Broyden method are showed.
Keywords：nonlinear equations； quasi Newton iteration method； improved quasi newton iteration method
0 引 言
求解非線性方程组的牛顿法是一个最基本而且十分重要的方法，目前很多有效的迭代法都是以牛顿法为基础改进的。求解非线性方程组的牛顿法是求解非线性方程的牛顿法的推广[1-7]。
拟牛顿算法与牛顿法相比，拟牛顿法降低了导数值的运算量，收敛速度比牛顿法快，但每一步迭代都要计算新的矩阵的逆矩阵，在一定程度上也会增加计算的难度，改进拟牛顿算法就是基于这个缺点改进的，通过改进布洛依登秩1校正公式，降低逆矩阵的计算量。
3 改进的布洛依登算法
利用Mathematica软件进行编程计算，分别用牛顿法、拟牛顿法和改进拟牛顿法对上面的六个方程组进行迭代求解，以真解X与最后一次迭代得到的X-之间的差（ε=X-X-）为指标进行比较。
由于计算机不能显示出过小的数，因此分别选取迭代次数为2、3、4。为了使表格简洁明了，在不影响结果真实性、准确性的前提下，表格中只记录了ε的指数。
计算例1可得比较结果如表1；例2的结果比较见表2；例3的结果比较见表3。
由表1、表2、表3可以看出，在收敛阶数方面：牛顿迭代法为2阶收敛；拟牛顿迭代法与改拟牛顿迭代法均为3阶收敛。从效率指数方面看：牛顿迭代法的效率指数为212n，拟牛顿迭代法的效率指数为313n，改拟牛顿迭代法的效率指数均为313n，即拟牛顿迭代法与改拟牛顿迭代法的计算效率高于牛顿迭代法，而改拟牛顿迭代法的计算效率与拟牛顿迭代法的计算效率是一样的。但是，改进拟牛顿算法比拟牛顿算法少算了一个矩阵的逆，因此对拟牛顿迭代法的修改是有一定意义的。
6 结 论
本文主要介绍了改进拟牛顿迭代法的形式，证明了该方法的收敛性，利用数值实验证明了改进拟牛顿迭代法的收敛阶数为3阶，进行了三种迭代法的比较，说明了改进拟牛顿迭代法的有效性。
参 考 文 献：
[1] HALLEY E. A New. Exact and Easy Method for Finding the Roots of Equations Generally and without Any Previous Reduction[J]. Philos. Trans. R. Soc.Lond.， 1694（18）： 136-148.
[2] KOU J， LI Y. Modified Chebyshev′s Method Free from Second Derivative for Nonlinear Equations[J]. J. Appl. Math. Comput.， 2007， 187（2）： 1027-1032.
[3] GUTIERREZ J M， HERNANDEZ M A. An Acceleration of Newton′s Method： Super Halley Method[J]. J. Appl. Math. Comput.， 2001， 117（2）： 223-239.
[4] KING R F. A Family of Fourth Order Methods for Nonlinear Equations[J]. SI AMJ. Numer. Anal.， 1973（10）： 876-879.
[5] LIU Z， ZHENG Q， ZHAO P. A Variant of Ste Ensens Method of Fourthorder Convergence and Its Applications[J]. Applied Mathematics and Computation， 2010， 216（7）： 1978-1983.
[6] OSTROWSKI A M. Solutions of Equations and Systems of Equations[M]. New York： Academic Press， 1966.
[7] KUNG H T， TRAUB J F. Optimal Order of Onepoint and Multipoint Iteration[J]. J. Assoc. Comput. Mach.， 1974（21）： 643-651.
[8] 黄象鼎， 曾钟钢， 马亚南. 非线性数值分析的理论与方法[M]. 武汉： 武汉大学出版社， 2004.
[9] 李庆杨， 莫孜中， 祁力群. 非线性方程组的数值解法[M]. 北京： 科学出版社，1999.
（编辑：关 毅）
关键词：
非线性方程组；拟牛顿迭代法；改进拟牛顿迭代法
DOI：10.15938/j.jhust.2017.06.024
中图分类号： O22
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）06-0127-04
Abstract：A Modified Broyden algorithm is presented to solve nonlinear equations in this paper. The convergence of the new algorithml is proved. The convergent order and effectiveness of improved Broyden method can be verified by numerical experiments. Through comparing with Newton′s method and quasinewton method， the advantages of the improvement Broyden method are showed.
Keywords：nonlinear equations； quasi Newton iteration method； improved quasi newton iteration method
0 引 言
求解非線性方程组的牛顿法是一个最基本而且十分重要的方法，目前很多有效的迭代法都是以牛顿法为基础改进的。求解非线性方程组的牛顿法是求解非线性方程的牛顿法的推广[1-7]。
拟牛顿算法与牛顿法相比，拟牛顿法降低了导数值的运算量，收敛速度比牛顿法快，但每一步迭代都要计算新的矩阵的逆矩阵，在一定程度上也会增加计算的难度，改进拟牛顿算法就是基于这个缺点改进的，通过改进布洛依登秩1校正公式，降低逆矩阵的计算量。
3 改进的布洛依登算法
利用Mathematica软件进行编程计算，分别用牛顿法、拟牛顿法和改进拟牛顿法对上面的六个方程组进行迭代求解，以真解X与最后一次迭代得到的X-之间的差（ε=X-X-）为指标进行比较。
由于计算机不能显示出过小的数，因此分别选取迭代次数为2、3、4。为了使表格简洁明了，在不影响结果真实性、准确性的前提下，表格中只记录了ε的指数。
计算例1可得比较结果如表1；例2的结果比较见表2；例3的结果比较见表3。
由表1、表2、表3可以看出，在收敛阶数方面：牛顿迭代法为2阶收敛；拟牛顿迭代法与改拟牛顿迭代法均为3阶收敛。从效率指数方面看：牛顿迭代法的效率指数为212n，拟牛顿迭代法的效率指数为313n，改拟牛顿迭代法的效率指数均为313n，即拟牛顿迭代法与改拟牛顿迭代法的计算效率高于牛顿迭代法，而改拟牛顿迭代法的计算效率与拟牛顿迭代法的计算效率是一样的。但是，改进拟牛顿算法比拟牛顿算法少算了一个矩阵的逆，因此对拟牛顿迭代法的修改是有一定意义的。
6 结 论
本文主要介绍了改进拟牛顿迭代法的形式，证明了该方法的收敛性，利用数值实验证明了改进拟牛顿迭代法的收敛阶数为3阶，进行了三种迭代法的比较，说明了改进拟牛顿迭代法的有效性。
参 考 文 献：
[1] HALLEY E. A New. Exact and Easy Method for Finding the Roots of Equations Generally and without Any Previous Reduction[J]. Philos. Trans. R. Soc.Lond.， 1694（18）： 136-148.
[2] KOU J， LI Y. Modified Chebyshev′s Method Free from Second Derivative for Nonlinear Equations[J]. J. Appl. Math. Comput.， 2007， 187（2）： 1027-1032.
[3] GUTIERREZ J M， HERNANDEZ M A. An Acceleration of Newton′s Method： Super Halley Method[J]. J. Appl. Math. Comput.， 2001， 117（2）： 223-239.
[4] KING R F. A Family of Fourth Order Methods for Nonlinear Equations[J]. SI AMJ. Numer. Anal.， 1973（10）： 876-879.
[5] LIU Z， ZHENG Q， ZHAO P. A Variant of Ste Ensens Method of Fourthorder Convergence and Its Applications[J]. Applied Mathematics and Computation， 2010， 216（7）： 1978-1983.
[6] OSTROWSKI A M. Solutions of Equations and Systems of Equations[M]. New York： Academic Press， 1966.
[7] KUNG H T， TRAUB J F. Optimal Order of Onepoint and Multipoint Iteration[J]. J. Assoc. Comput. Mach.， 1974（21）： 643-651.
[8] 黄象鼎， 曾钟钢， 马亚南. 非线性数值分析的理论与方法[M]. 武汉： 武汉大学出版社， 2004.
[9] 李庆杨， 莫孜中， 祁力群. 非线性方程组的数值解法[M]. 北京： 科学出版社，1999.
（编辑：关 毅）