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初三复习阶段时间紧、任务重,提高课堂效率就显得尤其重要,那么如何提高初三复习阶段课堂效率呢?笔者认为初三第二轮复习中,课堂教学中精选例题、设计典型的例题,是提高复习效率的关键.以典型习题为基础,以点带面进行复习,在解决问题的同时,归纳解决问题的方法和提高学生的思维能力,方可提高课堂效率.
一、 设计类化习题
我们经常会遇到在解题思想或者解题方法上非常典型的问题,特别是经历过多轮循环教学的老师,应把宝贵的经验进行归纳,以全国各地的中考试题为素材,精选典型例题进行归纳、变式、引申,在提高学生解题能力的同时,培养学生的思维能力.
1、 归纳基本图形
数学中的很多问题,特别是综合性的数学题,往往是图形复杂、条件繁多,学生拿到题目常常会望而怯步,失去解题的信心. 实践证明,把复杂的图形分解为基本图形,有助于学生迅速找到解决问题的方法,提高思维的敏捷性,促进思维的正向迁移,抓住图形的本质特征.笔者认为,初三复习阶段应该对经常出现的基本图形进行提炼、归纳, 初中阶段的基本图形很多,几乎每一个几何定理都蕴含有定理使用的基本图形:比较典型的有线段的垂直平分线性质定理、角平分线性质定理、切线长定理,三角形相似的基本图形等,下面仅举一例:
案例1:如图1所示,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B、C.(1)当AB=4,DC=1,BC=4时,在线段BC上是否存在点P,使AP⊥DP?如果存在,求线段BP的长;如果不存在,请说明理由.
解析:如图2,如果存在点P,使AP⊥DP,则∠APD=90°
∴∠APB+∠CPD=90°∵AB⊥BC,DC⊥BC
∴∠B=∠C=90° ∴∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠CPD ∴△APB∽△PDC ∴
设BP=x,则PC=4−x∴ ∴x=2
∴在线段BC上存在点P,使AP⊥DP,此时,BP=2.
此题中蕴含三角形相似的基本图形(如图3),如果AB⊥BC,DC⊥BC,AP⊥DP,显然有△APB∽△PDC.重新审视此图形发现,只要∠B=∠C=∠APD,则∠APD+∠DPC=∠A+∠B,所以∠DPC=∠A,也可以得到∴△APB∽△PDC,于是此基本图形可以扩展为图4.
2、 归纳基本方法
初三中考总复习常常是课后学生拼命做,课上老师满堂讲,学生生理疲劳、心理疲惫厌倦、思维混沌混乱. 复习教学中,教师应统领数学思想方法并加以概括、提炼,让学生逐步形成对数学思想方法的深刻理解,逐步养成应用数学思想方法解决数学问题的意识,让学生能自觉地、独立地去分析问题和解决问题,只有让学生理解和灵活运用数学思想方法,学生的思维能力才能得以提高.初中阶段常用的数学思想有:转化和化归思想、数形结合思想、函数与方程思想、建立数学模型思想、统计思想等;常用的数学方法有:消元法、降次法、配方法、待定系数法、公式法、图象法等;一般性的思维方法有:观察、实验、比较、分析、综合、归纳、演绎、猜想等.
案例2:(1)两圆相切,一圆的半径是3cm,圆心距为5cm,则另一个圆的半径为 .
(2)在△ABC中,AB=AC=5cm,BC=8cm,动点P从点B出发,以0.25cm/s的速度沿BC向点C匀速运动,当点P运动到PA与腰垂直时,点P运动的时间为 .
(3)在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC= .
(4)若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为.
解析:(略)
上述4个小问题,都包含有分类讨论的数学思想,教学中要对数学方法进行归纳,首先要确定分类的标准,在分类时要做到不重复、不遗漏某些情形,对引起分类讨论的问题要让学生自己多归纳、多思考,做到逐步熟练,内化为数学观念,提高分析问题、解决问题的能力.
二、设计一题多解
毋容置疑,“一题多解”是提高学生解题能力和思维能力的一种有效的方法,在初三复习阶段,多设计一些典型的、一题多解的问题,是提高复习效率的重要手段.“一题多解”不仅可以开拓解题思路,使不同知识得到综合,而且还培养了学生发散思维的能力,提高思维深刻性和创新性.但是在进行“一题多解”问题设计时,不应该过分注重解题的技巧,力求能够还原基本概念和用基本方法解决问题,决不为了“一题多解”而“一题多解”.
案例3: 已知x<2,求代数式 的取值范围.
解法1:因为x<2,所以 ,再次利用不等式性质得 .
点评:利用不等式的性质,构造所求的代数式,从而求出代数式的取值范围.
解法2:可设 ,所以x=2y+3,由x<2得,2y+3<2,易得 .
点评:改变主元后,由一个变量的范围构造不等式求另一个变量的范围.
解法3:同样设 ,把y看成x的函数,因为y随x的增大而增大,当x<2时, ,于是可得 .
点评:构造函数,利用函数的单调性可以求变量的取值范围,思路维清晰,思维广阔.
一、 设计一题多变
初三总复习阶段,数学教学如果“就题论题”,其教学效果必然会大打折扣,学生做了大量的练习,老师也讲的很辛苦,但学生往往只学会了解决曾经过的题目,缺少独立分析问题、解决问题的能力.通过对典型例题和习题的变式教学,可以有效地培养学生的发散思维能力和独立思考的习惯,促进学生创新思维的形成,增强思维的灵活性、变通性、独立性.
1、 设计问题的变式
利用变式教学可以展示知识的发生过程,促进知识的迁移,同时能提高学生学习积极性,培养参与意识,还沟通知识的内在联系,促进知识网络的形成,培养严谨思维.常用的习题变式的方法有:变换条件(条件强化或弱化)、变换结论(结论一般化或特殊化)、条件和结论互换等.
案例4:如图1,四边形ABCD是正方形,G是边CD上的一个动点(点G与点C、D不重合),以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG、DE.试猜想线段BG、DE的大小关系及所在直线的位置关系.
解析:BG⊥DE,BG=DE.
变式1:上述问题中,把条件以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG,改为以CG为边在正方形ABCD内外作正方形CEFG(如图2),其他条件不变,猜想线段BG、DE的关系哪些成立?哪些不成立?
解析:显然线段BG=DE,线段BG、DE所在的直线不垂直.
变式2:将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ,得到如图3、如图4情形.请你通过观察、测量等方法判断原题中得到的结论是否仍然成立,并选取图3证明你的判断.
解析:BG⊥DE,BG=DE;
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE ∴△BCG≌△DCE∴BG=DE,∠CBG=∠CDE
又∠CBG+∠BHC=90°∴∠CDE+∠DHG=90°∴BG⊥DE.
变式3:将原题中正方形改为矩形(如图5—7),且AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kb (a b,k 0),原题中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图6为例简要说明理由.
解析: 成立, 不成立,简要说明如下:
∵四边形 、四边形 都是矩形,
且 , , , ( , )
∴, ∴
∴△BCG∽△DCE ∴
又∵
∴ ∴ ∴
2、 设计问题的推广和引申
数学中的很多问题可以通过类比、联想、迁移,把所得结论进行推广和引申,某些在特殊情形下成立的结论,在一般条件下结论依然成立,或者问题的结论通过类比可以进行一般化的推广,或者问题的结论在变换背景(相似的条件下)结论可以引申.这样的教学拓展了学生的思维空间,培养了学生类比、联想、迁移能力,而这正是数学素养的重要标志,是数学学习的的精华所在.
案例5:(1)如图,两个有公共顶点的正△ABD和正△AEC,连接与公共顶点A相邻的两个顶点得DE、BC,交于点O,试猜想∠BOD的度数.
(2)如图,如果(1)中正三角形的条件改为正方形ABCD和AEFG,其他条件不变,试猜想∠BOE的度数.
引申:如果将(1)中条件改为正n边形,其他条件不变,求(1)题中两条线段夹角.
初三中考总复习阶段,通过典型例题的设计,不仅巩固了学生所学的基础知识,而且提高了学生综合运用所学知识解决问题的能力,丰富了学生对数学思想方法的理解,培养学生思维的独立性、深刻性、敏捷性、创新性,极大地提高了数学课堂效率,提高了学生的数学素养,典型例题的教学设计,值得从教者认真研究.
一、 设计类化习题
我们经常会遇到在解题思想或者解题方法上非常典型的问题,特别是经历过多轮循环教学的老师,应把宝贵的经验进行归纳,以全国各地的中考试题为素材,精选典型例题进行归纳、变式、引申,在提高学生解题能力的同时,培养学生的思维能力.
1、 归纳基本图形
数学中的很多问题,特别是综合性的数学题,往往是图形复杂、条件繁多,学生拿到题目常常会望而怯步,失去解题的信心. 实践证明,把复杂的图形分解为基本图形,有助于学生迅速找到解决问题的方法,提高思维的敏捷性,促进思维的正向迁移,抓住图形的本质特征.笔者认为,初三复习阶段应该对经常出现的基本图形进行提炼、归纳, 初中阶段的基本图形很多,几乎每一个几何定理都蕴含有定理使用的基本图形:比较典型的有线段的垂直平分线性质定理、角平分线性质定理、切线长定理,三角形相似的基本图形等,下面仅举一例:
案例1:如图1所示,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B、C.(1)当AB=4,DC=1,BC=4时,在线段BC上是否存在点P,使AP⊥DP?如果存在,求线段BP的长;如果不存在,请说明理由.
解析:如图2,如果存在点P,使AP⊥DP,则∠APD=90°
∴∠APB+∠CPD=90°∵AB⊥BC,DC⊥BC
∴∠B=∠C=90° ∴∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠CPD ∴△APB∽△PDC ∴
设BP=x,则PC=4−x∴ ∴x=2
∴在线段BC上存在点P,使AP⊥DP,此时,BP=2.
此题中蕴含三角形相似的基本图形(如图3),如果AB⊥BC,DC⊥BC,AP⊥DP,显然有△APB∽△PDC.重新审视此图形发现,只要∠B=∠C=∠APD,则∠APD+∠DPC=∠A+∠B,所以∠DPC=∠A,也可以得到∴△APB∽△PDC,于是此基本图形可以扩展为图4.
2、 归纳基本方法
初三中考总复习常常是课后学生拼命做,课上老师满堂讲,学生生理疲劳、心理疲惫厌倦、思维混沌混乱. 复习教学中,教师应统领数学思想方法并加以概括、提炼,让学生逐步形成对数学思想方法的深刻理解,逐步养成应用数学思想方法解决数学问题的意识,让学生能自觉地、独立地去分析问题和解决问题,只有让学生理解和灵活运用数学思想方法,学生的思维能力才能得以提高.初中阶段常用的数学思想有:转化和化归思想、数形结合思想、函数与方程思想、建立数学模型思想、统计思想等;常用的数学方法有:消元法、降次法、配方法、待定系数法、公式法、图象法等;一般性的思维方法有:观察、实验、比较、分析、综合、归纳、演绎、猜想等.
案例2:(1)两圆相切,一圆的半径是3cm,圆心距为5cm,则另一个圆的半径为 .
(2)在△ABC中,AB=AC=5cm,BC=8cm,动点P从点B出发,以0.25cm/s的速度沿BC向点C匀速运动,当点P运动到PA与腰垂直时,点P运动的时间为 .
(3)在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC= .
(4)若等腰三角形中有一个角等于50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为.
解析:(略)
上述4个小问题,都包含有分类讨论的数学思想,教学中要对数学方法进行归纳,首先要确定分类的标准,在分类时要做到不重复、不遗漏某些情形,对引起分类讨论的问题要让学生自己多归纳、多思考,做到逐步熟练,内化为数学观念,提高分析问题、解决问题的能力.
二、设计一题多解
毋容置疑,“一题多解”是提高学生解题能力和思维能力的一种有效的方法,在初三复习阶段,多设计一些典型的、一题多解的问题,是提高复习效率的重要手段.“一题多解”不仅可以开拓解题思路,使不同知识得到综合,而且还培养了学生发散思维的能力,提高思维深刻性和创新性.但是在进行“一题多解”问题设计时,不应该过分注重解题的技巧,力求能够还原基本概念和用基本方法解决问题,决不为了“一题多解”而“一题多解”.
案例3: 已知x<2,求代数式 的取值范围.
解法1:因为x<2,所以 ,再次利用不等式性质得 .
点评:利用不等式的性质,构造所求的代数式,从而求出代数式的取值范围.
解法2:可设 ,所以x=2y+3,由x<2得,2y+3<2,易得 .
点评:改变主元后,由一个变量的范围构造不等式求另一个变量的范围.
解法3:同样设 ,把y看成x的函数,因为y随x的增大而增大,当x<2时, ,于是可得 .
点评:构造函数,利用函数的单调性可以求变量的取值范围,思路维清晰,思维广阔.
一、 设计一题多变
初三总复习阶段,数学教学如果“就题论题”,其教学效果必然会大打折扣,学生做了大量的练习,老师也讲的很辛苦,但学生往往只学会了解决曾经过的题目,缺少独立分析问题、解决问题的能力.通过对典型例题和习题的变式教学,可以有效地培养学生的发散思维能力和独立思考的习惯,促进学生创新思维的形成,增强思维的灵活性、变通性、独立性.
1、 设计问题的变式
利用变式教学可以展示知识的发生过程,促进知识的迁移,同时能提高学生学习积极性,培养参与意识,还沟通知识的内在联系,促进知识网络的形成,培养严谨思维.常用的习题变式的方法有:变换条件(条件强化或弱化)、变换结论(结论一般化或特殊化)、条件和结论互换等.
案例4:如图1,四边形ABCD是正方形,G是边CD上的一个动点(点G与点C、D不重合),以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG、DE.试猜想线段BG、DE的大小关系及所在直线的位置关系.
解析:BG⊥DE,BG=DE.
变式1:上述问题中,把条件以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG,改为以CG为边在正方形ABCD内外作正方形CEFG(如图2),其他条件不变,猜想线段BG、DE的关系哪些成立?哪些不成立?
解析:显然线段BG=DE,线段BG、DE所在的直线不垂直.
变式2:将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ,得到如图3、如图4情形.请你通过观察、测量等方法判断原题中得到的结论是否仍然成立,并选取图3证明你的判断.
解析:BG⊥DE,BG=DE;
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形
∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE ∴△BCG≌△DCE∴BG=DE,∠CBG=∠CDE
又∠CBG+∠BHC=90°∴∠CDE+∠DHG=90°∴BG⊥DE.
变式3:将原题中正方形改为矩形(如图5—7),且AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kb (a b,k 0),原题中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图6为例简要说明理由.
解析: 成立, 不成立,简要说明如下:
∵四边形 、四边形 都是矩形,
且 , , , ( , )
∴, ∴
∴△BCG∽△DCE ∴
又∵
∴ ∴ ∴
2、 设计问题的推广和引申
数学中的很多问题可以通过类比、联想、迁移,把所得结论进行推广和引申,某些在特殊情形下成立的结论,在一般条件下结论依然成立,或者问题的结论通过类比可以进行一般化的推广,或者问题的结论在变换背景(相似的条件下)结论可以引申.这样的教学拓展了学生的思维空间,培养了学生类比、联想、迁移能力,而这正是数学素养的重要标志,是数学学习的的精华所在.
案例5:(1)如图,两个有公共顶点的正△ABD和正△AEC,连接与公共顶点A相邻的两个顶点得DE、BC,交于点O,试猜想∠BOD的度数.
(2)如图,如果(1)中正三角形的条件改为正方形ABCD和AEFG,其他条件不变,试猜想∠BOE的度数.
引申:如果将(1)中条件改为正n边形,其他条件不变,求(1)题中两条线段夹角.
初三中考总复习阶段,通过典型例题的设计,不仅巩固了学生所学的基础知识,而且提高了学生综合运用所学知识解决问题的能力,丰富了学生对数学思想方法的理解,培养学生思维的独立性、深刻性、敏捷性、创新性,极大地提高了数学课堂效率,提高了学生的数学素养,典型例题的教学设计,值得从教者认真研究.