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【摘要】数学解题教学设计的关键在于依据数学知识发生的逻辑线索，偏向于学生数学知识发生的心理过程，并需要整合这两者的优势，与此同时，对数学知识发生的心理过程保持足够的重视.如此，才有可能最大限度地促进数学教育教学的高层次目标的实现，提高作为教育资源的数学知识的育人价值的基本保证.初职教师只有在这方面下苦功夫，才能获得娴熟的教学技艺.
【关键词】数学高考；解题教学；教学设计；初职教师
对于高考复习解题教学，新一轮课改以来，受到了多项诟病，特别是将教学（技术）手段上的某些弊端无端地与解题教学价值及其实现目标混为一谈，这其实有失公平公正.一方面，在数学新课程理念的实施过程中，偏重于利用数学的优质教育资源，培养受教育者的创新能力；另一方面，不管是有意还是无意之中，或者不管我们承认还是不承认，从某种程度上说，高考也具有数学教育教学目标的成分，部分地发挥教学指挥棒作用.如此，高考数学命题与复习解题教学应该有意识地纳入新课程数学教育教学的评价目标之中，而不能游离于数学新课程体系结构之外，如此，才能引领课程的实施的方向[1].本研究基于高师师范生与初职教师教学的现实，研究者试图纠正对数学解题教学落后的手段与教学目标之间混淆与混乱的认识，从而达到厘清观念、正本清源的目的.
1教学的示例
研究者在为高师大四师范生开设《数学教学论》这门课时，针对没有教学经验的大四师范生，总是以现实中教师使用的课例为主要手段展开课堂讨论活动，借此帮助大四师范生站稳高中数学教学讲台，其中，高考复习解题教学尤为重要，构成了研究者《教学教学论》教学的重中之重，它不仅需要渗入数学课程等的理念、目标，更为重要的是将其作为大四师范生的数学教学入门向导.因此，本研究通过使用高三教师解题教学的现场录像的途径，只是为了行文表达的技术上需要，研究者在不改变授课教师原來设计所生成的教学环节及联结这些环节中介的基础上，在极少数地方作了细微的改动.
研究者对这种教学设计的缺陷加以简要说明这种解法从对在结论中出现ln1 n的预期到通过变形所得到的⑥式，再到⑦的产生，这一系列的技术手段，一般学生不可能自行地产生，从现实的教学活动过程来看，都是由教师提供的，学生思维转承启合的速度都落在教师提供材料的后面.研究者了解到，出现这种结果的原因在于，教师基于这道高考题命题者所提供的答案，虽然教师通过自己的教学设计手段，对现成答案加以精心的改造，但是依然没有达到启发学生自行萌生这些思想的目标，致使教学活动成了教师提供学生接受的过程.由此可知，教师要仔细地研究问题，研究者多年解题的经验是，我们自己看懂高考题的参考答案，往往花费的时间比独立思考解题的时间还要多.其实如果教师得到另一种比较简单的思路，就可以启发学生独立地自己完成解答.
经由讨论修改后的教学设计
生1：如果获得不等式的左边前n项和的一个表达式，对问题的解决会带来很多好处，可是，我经过试探，很难找到这样的一个表达式.
师：生1的这种想法，虽然在技术上我们难以得到执行，但是，我们可以分析生1想法的来源.他可能是这样想的：对于“不等号”（“等号”）也是一样，它们所联结的两边具有一种对等关系，他发现不等式①的这种形式不是对等的，加之以在“求简”的数学观念指令下，想到了求不等式①左边的一个表达式.可惜，我们办不到.怎么办？
生2：我们可以倒着想，既然①不能直接相加得到一个结果，从而得到一个与①的右端形成一个对等的形式，那么，我想把①的右边转化为一个n项和的形式.但是，具体技术性操作我还没有想好.
师：大家试探生2同学的这种观念是否可以实现？
师：生3同学为“对等”的数学观念的应用提供了现实性的“支点”，将两个数列前n项和结果的大小比较可以转化为这两个数列相对应的项之间的大小比较，产生了以特殊驾驭一般（以点带面）的手段，即将证明不等式①转化为证明不等式②.不等式②其实不止一种想法，生3所选择的是一种通常的数学观念，也就是生3同学的想法利用（Ⅰ）、（Ⅱ）这两问所得到的结果来证明不等式②成立.以此为基础，大家可以验证它吗？
生4：对于函数f（x）=ax bx c（a>0），且b=a-1，c=1-2a，又且当a∈12， ∞时，f（x）≥ln x在1， ∞上恒成立，并且不难得到当x>1时，f（x）>ln x.取a=12，当x>1时，则有x2-12x>ln x③.为了构造ln1 1k，可以在③中，取x=k 1k，知k 12k-k2k 1>ln1 1k④.比较不等式②与④，知只要证明k 12k-k2k 1≥12k 12k 1就行了，我们不难算得k 12k-k2k 1=12k 12k 1，从而由④成立得到②成立[3].
这种教学设计通过渗透“对等”的数学观念，形成了“逆向思维”，萌生“求繁意识”，成功地解决了问题.教师在解答问题时，出于自己专业领域与充足时间思考，对自己解答过程能够充分反思，解题窍门的发现、方法的取得、思想的形成对解答新的具有相似的问题具有较大的帮助.教学中，教师就不能将 “研究”成果，用精炼的几句话“交给”学生，而应当在由自己“千辛万苦”所得来思路的最为关键之处设置出合适的问题情境，通过有限时间，引领学生自己“身临其境”地构造思路的发现过程，使学生形成“情感”的投入，如此，在以后调用这些“经验”的时候，他们就会自然由那些“经验”氛围而迅速提取有关知识.
授课教师讲解时的教学设计
研究者对这种教学设计的缺陷加以简要说明问题（Ⅱ）思路不等式⑤的获得只是要构造已经取得的不等式②是比较好理解的.关键问题在于问题（Ⅲ）中的不等式⑧的取得，就给人以神來之笔的感觉，教学中就应该仔细研究不等式⑧在学生心理上是如何发生的？于是，在教学设计时，关键环节就必须将这种说服他人的逻辑过程，转化成解题思维环节中的学生心理发生过程，才能实现利用数学知识促人发展的价值.[4]如果从学生知识的心理发生上来审视这道题思路的出现，可以对这种教学设计作如下修正. 经由讨论修改后的教学设计针对问题（Ⅲ）中不等式⑧，构成了解决这道题的教学设计的关键环节.处理好它就是审视问题的整体结构，在数学归纳法的“递推步”中，如何处理a1b1a2b2…akbkak 1bk 1⑨就成了关键的问题，我们希望运用（Ⅱ）的结论不等式①这一知识框架来套用它，结合归纳条件，将式⑨写成a1b1a2b2…akbkak 1bk 1⑩，将式⑩括号内的a1b1a2b2…akbk看出一个因式，即不等式①中的a1b1，则ak 1bk 1就是不等式①中的a2b2，由b1 b2=1，因此，我们首先给a1b1a2b2…akbk赋予一个指数1-bk 1，从而构成了bk 1 （1-bk 1）=1，于是，构造出了所需要的条件.下面，根据幂的乘方法则，可以得到a1b1a2b2…akbkak 1bk 1=a1b11-bk 1a2b21-bk 1…akbk1-bk 11-bk 1ak 1bk 1⑧，我们就是如此引导学生从心理上构造出了等式⑧，如此，就将⑩转化成了等式⑧的右端，它就適应了知识框架不等式①.
研究者通过对式⑩的结构分析，将式⑩化归成不等式①，就必然要构造出不等式①的重要条件特征b1 b2=1.在此观念的指导下行动，进行了一系列的构造，完成了从解题过程中数学知识的逻辑性的发生转化成了学生数学知识心理过程的发生.
2简要的结论
从这两个例子中发现，数学解题教学设计的关键之处，在于依据数学知识发生的逻辑线索，偏向于学生数学知识发生的心理过程，并需要整合这两者的优势，与此同时，对数学知识发生的心理过程保持足够的重视.[5]如此，才有可能最大限度地促进数学教育教学的高层次目标的实现，提高作为教育资源的数学知识的育人价值的基本保证.对数学学习者而言，这种对解题关键环节的解释极有意义，他要从自己的意识结构机能出发，通过艰苦的探究活动，生成了观念，即心理意义的解释自然流畅，观念的形成就使这种逻辑过程转化为意识机能中的一个项目，为“观念的再生”创造了条件，于是，它变成了干预新的客观数学活动（设计操作程序）的因素.这种从心理上探求解题思路来源，实现了“能产性思考”[6].对此，我们高师数学师范生与初职数学教师应该思之再思，慎之又慎！
参考文献
[1]罗增儒.心路历程：认识、反思、拓展[J].中学数学教学参考（上旬刊），2007（9）：24-28.
[2]张昆，张乃达.集中条件：数学解题的关键——教学设计的视角[J].中学数学（高中），2016（2）：10.
[3]张昆.数学解题教学设计的创新实践——基于“美学”的视点[J].数学教学学报，2015（5）：41-45.
[4]张昆.渗透数学观念促进深度迁移——基于发掘蕴藏于知识中的教育价值探讨[J].中国数学教育（高中版），2012（5）：6-9.
[5]张昆.整合数学教学设计的取向——基于知识发生的逻辑取向与心理取向的研究[J].中国教育学刊，2011（6）：52-55.
[6][美]喬治·波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授（第二卷）[M].刘远图，秦章译.北京：科学出版社，1987：474.
【关键词】数学高考；解题教学；教学设计；初职教师
对于高考复习解题教学，新一轮课改以来，受到了多项诟病，特别是将教学（技术）手段上的某些弊端无端地与解题教学价值及其实现目标混为一谈，这其实有失公平公正.一方面，在数学新课程理念的实施过程中，偏重于利用数学的优质教育资源，培养受教育者的创新能力；另一方面，不管是有意还是无意之中，或者不管我们承认还是不承认，从某种程度上说，高考也具有数学教育教学目标的成分，部分地发挥教学指挥棒作用.如此，高考数学命题与复习解题教学应该有意识地纳入新课程数学教育教学的评价目标之中，而不能游离于数学新课程体系结构之外，如此，才能引领课程的实施的方向[1].本研究基于高师师范生与初职教师教学的现实，研究者试图纠正对数学解题教学落后的手段与教学目标之间混淆与混乱的认识，从而达到厘清观念、正本清源的目的.
1教学的示例
研究者在为高师大四师范生开设《数学教学论》这门课时，针对没有教学经验的大四师范生，总是以现实中教师使用的课例为主要手段展开课堂讨论活动，借此帮助大四师范生站稳高中数学教学讲台，其中，高考复习解题教学尤为重要，构成了研究者《教学教学论》教学的重中之重，它不仅需要渗入数学课程等的理念、目标，更为重要的是将其作为大四师范生的数学教学入门向导.因此，本研究通过使用高三教师解题教学的现场录像的途径，只是为了行文表达的技术上需要，研究者在不改变授课教师原來设计所生成的教学环节及联结这些环节中介的基础上，在极少数地方作了细微的改动.
研究者对这种教学设计的缺陷加以简要说明这种解法从对在结论中出现ln1 n的预期到通过变形所得到的⑥式，再到⑦的产生，这一系列的技术手段，一般学生不可能自行地产生，从现实的教学活动过程来看，都是由教师提供的，学生思维转承启合的速度都落在教师提供材料的后面.研究者了解到，出现这种结果的原因在于，教师基于这道高考题命题者所提供的答案，虽然教师通过自己的教学设计手段，对现成答案加以精心的改造，但是依然没有达到启发学生自行萌生这些思想的目标，致使教学活动成了教师提供学生接受的过程.由此可知，教师要仔细地研究问题，研究者多年解题的经验是，我们自己看懂高考题的参考答案，往往花费的时间比独立思考解题的时间还要多.其实如果教师得到另一种比较简单的思路，就可以启发学生独立地自己完成解答.
经由讨论修改后的教学设计
生1：如果获得不等式的左边前n项和的一个表达式，对问题的解决会带来很多好处，可是，我经过试探，很难找到这样的一个表达式.
师：生1的这种想法，虽然在技术上我们难以得到执行，但是，我们可以分析生1想法的来源.他可能是这样想的：对于“不等号”（“等号”）也是一样，它们所联结的两边具有一种对等关系，他发现不等式①的这种形式不是对等的，加之以在“求简”的数学观念指令下，想到了求不等式①左边的一个表达式.可惜，我们办不到.怎么办？
生2：我们可以倒着想，既然①不能直接相加得到一个结果，从而得到一个与①的右端形成一个对等的形式，那么，我想把①的右边转化为一个n项和的形式.但是，具体技术性操作我还没有想好.
师：大家试探生2同学的这种观念是否可以实现？
师：生3同学为“对等”的数学观念的应用提供了现实性的“支点”，将两个数列前n项和结果的大小比较可以转化为这两个数列相对应的项之间的大小比较，产生了以特殊驾驭一般（以点带面）的手段，即将证明不等式①转化为证明不等式②.不等式②其实不止一种想法，生3所选择的是一种通常的数学观念，也就是生3同学的想法利用（Ⅰ）、（Ⅱ）这两问所得到的结果来证明不等式②成立.以此为基础，大家可以验证它吗？
生4：对于函数f（x）=ax bx c（a>0），且b=a-1，c=1-2a，又且当a∈12， ∞时，f（x）≥ln x在1， ∞上恒成立，并且不难得到当x>1时，f（x）>ln x.取a=12，当x>1时，则有x2-12x>ln x③.为了构造ln1 1k，可以在③中，取x=k 1k，知k 12k-k2k 1>ln1 1k④.比较不等式②与④，知只要证明k 12k-k2k 1≥12k 12k 1就行了，我们不难算得k 12k-k2k 1=12k 12k 1，从而由④成立得到②成立[3].
这种教学设计通过渗透“对等”的数学观念，形成了“逆向思维”，萌生“求繁意识”，成功地解决了问题.教师在解答问题时，出于自己专业领域与充足时间思考，对自己解答过程能够充分反思，解题窍门的发现、方法的取得、思想的形成对解答新的具有相似的问题具有较大的帮助.教学中，教师就不能将 “研究”成果，用精炼的几句话“交给”学生，而应当在由自己“千辛万苦”所得来思路的最为关键之处设置出合适的问题情境，通过有限时间，引领学生自己“身临其境”地构造思路的发现过程，使学生形成“情感”的投入，如此，在以后调用这些“经验”的时候，他们就会自然由那些“经验”氛围而迅速提取有关知识.
授课教师讲解时的教学设计
研究者对这种教学设计的缺陷加以简要说明问题（Ⅱ）思路不等式⑤的获得只是要构造已经取得的不等式②是比较好理解的.关键问题在于问题（Ⅲ）中的不等式⑧的取得，就给人以神來之笔的感觉，教学中就应该仔细研究不等式⑧在学生心理上是如何发生的？于是，在教学设计时，关键环节就必须将这种说服他人的逻辑过程，转化成解题思维环节中的学生心理发生过程，才能实现利用数学知识促人发展的价值.[4]如果从学生知识的心理发生上来审视这道题思路的出现，可以对这种教学设计作如下修正. 经由讨论修改后的教学设计针对问题（Ⅲ）中不等式⑧，构成了解决这道题的教学设计的关键环节.处理好它就是审视问题的整体结构，在数学归纳法的“递推步”中，如何处理a1b1a2b2…akbkak 1bk 1⑨就成了关键的问题，我们希望运用（Ⅱ）的结论不等式①这一知识框架来套用它，结合归纳条件，将式⑨写成a1b1a2b2…akbkak 1bk 1⑩，将式⑩括号内的a1b1a2b2…akbk看出一个因式，即不等式①中的a1b1，则ak 1bk 1就是不等式①中的a2b2，由b1 b2=1，因此，我们首先给a1b1a2b2…akbk赋予一个指数1-bk 1，从而构成了bk 1 （1-bk 1）=1，于是，构造出了所需要的条件.下面，根据幂的乘方法则，可以得到a1b1a2b2…akbkak 1bk 1=a1b11-bk 1a2b21-bk 1…akbk1-bk 11-bk 1ak 1bk 1⑧，我们就是如此引导学生从心理上构造出了等式⑧，如此，就将⑩转化成了等式⑧的右端，它就適应了知识框架不等式①.
研究者通过对式⑩的结构分析，将式⑩化归成不等式①，就必然要构造出不等式①的重要条件特征b1 b2=1.在此观念的指导下行动，进行了一系列的构造，完成了从解题过程中数学知识的逻辑性的发生转化成了学生数学知识心理过程的发生.
2简要的结论
从这两个例子中发现，数学解题教学设计的关键之处，在于依据数学知识发生的逻辑线索，偏向于学生数学知识发生的心理过程，并需要整合这两者的优势，与此同时，对数学知识发生的心理过程保持足够的重视.[5]如此，才有可能最大限度地促进数学教育教学的高层次目标的实现，提高作为教育资源的数学知识的育人价值的基本保证.对数学学习者而言，这种对解题关键环节的解释极有意义，他要从自己的意识结构机能出发，通过艰苦的探究活动，生成了观念，即心理意义的解释自然流畅，观念的形成就使这种逻辑过程转化为意识机能中的一个项目，为“观念的再生”创造了条件，于是，它变成了干预新的客观数学活动（设计操作程序）的因素.这种从心理上探求解题思路来源，实现了“能产性思考”[6].对此，我们高师数学师范生与初职数学教师应该思之再思，慎之又慎！
参考文献
[1]罗增儒.心路历程：认识、反思、拓展[J].中学数学教学参考（上旬刊），2007（9）：24-28.
[2]张昆，张乃达.集中条件：数学解题的关键——教学设计的视角[J].中学数学（高中），2016（2）：10.
[3]张昆.数学解题教学设计的创新实践——基于“美学”的视点[J].数学教学学报，2015（5）：41-45.
[4]张昆.渗透数学观念促进深度迁移——基于发掘蕴藏于知识中的教育价值探讨[J].中国数学教育（高中版），2012（5）：6-9.
[5]张昆.整合数学教学设计的取向——基于知识发生的逻辑取向与心理取向的研究[J].中国教育学刊，2011（6）：52-55.
[6][美]喬治·波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授（第二卷）[M].刘远图，秦章译.北京：科学出版社，1987：474.