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【摘 要】排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门学科。本文基于排队论的方法研究了多服务台系统，针对答疑老师数目的排队问题建立了数学模型，根据老师成本和学生等待成本的总费用最小思想，设定适当老师数，降低系统服务总成本，提高系统的服务效率和服务水平，以适应新经济时代的个性化服务趋势，它可为答疑老师数目的设置提供决策支持。
【关键词】排队问题；运筹学理论；优化问题；Poisson 流
【中图分类号】G647 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）21-0048-01
一、引言
当学生排队向老师询问问题时，有时学生的人数超过老师的数量，也就是说，到达的学生不能立即得到解答，因而出现了排队现象。由于学生的到达和服务时间的随机性，可以说排队现象几乎是不可避免的。如果增添老师人数，就要增加投资或发生空闲浪费；如果老师人数太少，排队现象就会严重，对学生的问题解答得不到帮助。因此，以下针对如何在这两者之间取得平衡进行了研究，以便随时都能检查老师人数的分配处理是否得当，研究今后改进对策，老师能及时解答学生提出的问题。
二、模型阐述
一般的排队系统都由三个基本组成部分组成，他们是：学生、排队队列、老师三个因素。假设不同学生先后随机到达老师办公室，并且学生答疑时间的分布是平稳的，即分布的期望值，方差等参数都不受时间的影响。
a.学生：假设学生输入流为 Poisson 流，学生一个一个到达且相互独立。
b.排队规则：等待制。
c.老师：一个学生接受一个老师独立辅导。现以 c 表示老师数量，老师属于平行排列的，老师的答疑时间服从负指数分布，且每个老师的答疑时间相互独立。
以下是单排队多服务台的排队系统流程图：
如果学生到达时，老师有空闲，那么学生可马上接受答疑，如果老师正在为其他学生答疑，则到达的同学排队等候，并接受答疑后马上离开。该排队系统是一个单排队多服务台的排队系统，学生的输入流是 Poisson 流，老师的答疑时间均服从负指数分布。老师解答水平视为相同的，不加以区别。
假设每个学生每小时平均到达的人數为λ，每个老师每小时平均答疑的学生人数为μ，整个答疑系统的平均服务率为Cμ，系统的服务强度为ρ=λ Cμ，并且只有ρ<11时才不会排成很长的队列[3]。
假设pn（C）为C个服务台系统中有n个学生的概率；当服务率Cμ达到稳态时，这时有：
当答疑系统达到平衡状态时，每位学生的等待时间的均值为：
学生排队的人数为：
学生的平均等待时间和学生排队时间由 Little 公式求得：Wq=Lqλ， Ws=Lsλ
在单队单服务台[4]的情况下：Ws=1μ-x，
多队服务台可看作是由多个单队单服务台系统。在单队k个服务台的情况下，有：
三、系统最优化分析
答疑系统的设计常常要考虑老师数量和排队等待的学生人数。在一般情形下，老师数量是服务水平的增函数，学生等待时间是服务水平的减函数。提高老师的数量自然会降低学生的等待时间，但却常常会增加老师的成本。因此，最优化目标就是要使两者之和，即总和为最小，对应的老师数即为最佳的老师数。
对于 M/M/c/∞系统而言，在稳态状态下，这时单位时间两者之和的期望值为：z=Cs×c+Cw×L。
其中c为每天任课老师数，是未知量。Cw是第一个学生用的时间， Cs为第二个学生等的时间，两者为已知量。L是正在答疑和等待答疑的学生总数平均值Ls或排队等待答疑的学生数Lq（它们都随值的不同而不同）。
排队等待的学生人数为：
正在答疑和等待答疑的学生总数平均值为：
所以z是c的函数z（c），现在是求最优解c*使z（c*）为最小。
采用边际分析法，根据z（c*）为最小的特点，有：z（c*）≤z（c*-1）且z（c*）≤z（c*）+1
将z代入（1）式化简，就可得最优的答疑老师数目c*满足：
依次求出c=1，2，3时L值，并作两相邻的L值之差，因为Cs是已知数，根据这个数落在哪个不等式的区间里就可以定出c*，或可根据L满足Cs/Cw值的范围，得到最优的c*值。
参考文献
[1]黄龙生，吴志松.概率论下数理统计[M].北京：高等教育出版社，2000.
[2]William J.Stevenson.生产与运作管理[M].北京：机械工业出版社，2003.
[3]李平英.排除现象及其管理研究[J].山东农业犬学学报，2003，（02）：40-42.
[4]袁洪艳.基于排队论的医院排队全流程排队管理系统的研究[D].浙江：浙江大学，2008.
[5]彭勇行.管理决策分析[M].北京：科学出版社，2000.
作者简介：魏丽君（1997-），女，四川攀枝花人，从事数学教育，本科生。
通讯作者：金康彪（1971-）男，吉林省延吉，从事数学课程与教学论，副教授。
【关键词】排队问题；运筹学理论；优化问题；Poisson 流
【中图分类号】G647 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）21-0048-01
一、引言
当学生排队向老师询问问题时，有时学生的人数超过老师的数量，也就是说，到达的学生不能立即得到解答，因而出现了排队现象。由于学生的到达和服务时间的随机性，可以说排队现象几乎是不可避免的。如果增添老师人数，就要增加投资或发生空闲浪费；如果老师人数太少，排队现象就会严重，对学生的问题解答得不到帮助。因此，以下针对如何在这两者之间取得平衡进行了研究，以便随时都能检查老师人数的分配处理是否得当，研究今后改进对策，老师能及时解答学生提出的问题。
二、模型阐述
一般的排队系统都由三个基本组成部分组成，他们是：学生、排队队列、老师三个因素。假设不同学生先后随机到达老师办公室，并且学生答疑时间的分布是平稳的，即分布的期望值，方差等参数都不受时间的影响。
a.学生：假设学生输入流为 Poisson 流，学生一个一个到达且相互独立。
b.排队规则：等待制。
c.老师：一个学生接受一个老师独立辅导。现以 c 表示老师数量，老师属于平行排列的，老师的答疑时间服从负指数分布，且每个老师的答疑时间相互独立。
以下是单排队多服务台的排队系统流程图：
如果学生到达时，老师有空闲，那么学生可马上接受答疑，如果老师正在为其他学生答疑，则到达的同学排队等候，并接受答疑后马上离开。该排队系统是一个单排队多服务台的排队系统，学生的输入流是 Poisson 流，老师的答疑时间均服从负指数分布。老师解答水平视为相同的，不加以区别。
假设每个学生每小时平均到达的人數为λ，每个老师每小时平均答疑的学生人数为μ，整个答疑系统的平均服务率为Cμ，系统的服务强度为ρ=λ Cμ，并且只有ρ<11时才不会排成很长的队列[3]。
假设pn（C）为C个服务台系统中有n个学生的概率；当服务率Cμ达到稳态时，这时有：
当答疑系统达到平衡状态时，每位学生的等待时间的均值为：
学生排队的人数为：
学生的平均等待时间和学生排队时间由 Little 公式求得：Wq=Lqλ， Ws=Lsλ
在单队单服务台[4]的情况下：Ws=1μ-x，
多队服务台可看作是由多个单队单服务台系统。在单队k个服务台的情况下，有：
三、系统最优化分析
答疑系统的设计常常要考虑老师数量和排队等待的学生人数。在一般情形下，老师数量是服务水平的增函数，学生等待时间是服务水平的减函数。提高老师的数量自然会降低学生的等待时间，但却常常会增加老师的成本。因此，最优化目标就是要使两者之和，即总和为最小，对应的老师数即为最佳的老师数。
对于 M/M/c/∞系统而言，在稳态状态下，这时单位时间两者之和的期望值为：z=Cs×c+Cw×L。
其中c为每天任课老师数，是未知量。Cw是第一个学生用的时间， Cs为第二个学生等的时间，两者为已知量。L是正在答疑和等待答疑的学生总数平均值Ls或排队等待答疑的学生数Lq（它们都随值的不同而不同）。
排队等待的学生人数为：
正在答疑和等待答疑的学生总数平均值为：
所以z是c的函数z（c），现在是求最优解c*使z（c*）为最小。
采用边际分析法，根据z（c*）为最小的特点，有：z（c*）≤z（c*-1）且z（c*）≤z（c*）+1
将z代入（1）式化简，就可得最优的答疑老师数目c*满足：
依次求出c=1，2，3时L值，并作两相邻的L值之差，因为Cs是已知数，根据这个数落在哪个不等式的区间里就可以定出c*，或可根据L满足Cs/Cw值的范围，得到最优的c*值。
参考文献
[1]黄龙生，吴志松.概率论下数理统计[M].北京：高等教育出版社，2000.
[2]William J.Stevenson.生产与运作管理[M].北京：机械工业出版社，2003.
[3]李平英.排除现象及其管理研究[J].山东农业犬学学报，2003，（02）：40-42.
[4]袁洪艳.基于排队论的医院排队全流程排队管理系统的研究[D].浙江：浙江大学，2008.
[5]彭勇行.管理决策分析[M].北京：科学出版社，2000.
作者简介：魏丽君（1997-），女，四川攀枝花人，从事数学教育，本科生。
通讯作者：金康彪（1971-）男，吉林省延吉，从事数学课程与教学论，副教授。