数列与不等式相结合的题目在高考题中经常出现，一般给人的感觉是抽象、无从下手，本文探讨∑nk=1f(k)＜c型数列不等式的两种常见解题策略.
　　途径1：利用放缩法转化为裂项求和
　　例1 （08辽宁理科第21题）在数列{an},{bn}中，a1=2，b1=4，且an,bn,an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列n∈N*.
　　（1） 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
　　（2） 证明：1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn＜512
　　分析：观察通项发现，可以向裂项求和的方向转化，由1an+bn=1(n+1)(2n+1)＜12n(n+1)=121n-1n+1，可得1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn＜121-12+12-13+…+1n-1n+1=121-1n+1＜12，发现放缩范围偏大，此时可选择保留第一项不变，放缩其他项，经过“微调”，从而实现放缩范围的调整.
　　解：（1） 由条件得2bn=an+an+1，a2n+1=bnbn+1
　　由此可得
　　a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25． 
　　猜测an=n(n+1)，bn=（n+1）2．
　　用数学归纳法证明（略）
　　（2） 1a1+b1=16＜512．
　　n≥2时，由（1）知an+bn=（n+1）（2n+1）＞2(n+1)n． 
　　故1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn＜16+1212×3+13×4+…+1n(n+1)
　　=16+1212-13+13-14+…+1n-1n+1
　　=16+1212-1n+1＜16+14=512
　　综上，原不等式成立．
　　途径2：利用放缩法转化为等比数列求和
　　例2 （08浙江理科第22题）已知数列{an}，an≥0，a1=0，a2n+1+an+1-1=a2n(n∈N*)．
　　记：Sn=a1+a2+…+an，Tn
　　=11+an+1(1+a1)(1+a2)+…+1(1+a1)(1+a2)…(1+an)．
　　求证：当n∈N*时，（Ⅰ） an＜an+1；（Ⅱ） Sn＞n-2；（Ⅲ） Tn＜3
　　分析：此题第（Ⅲ）问中，Tn的可看作数列的前n项和，数列的通项较复杂，但相邻两项之间的关系较密切，可考虑向等比数列的方向转化.
　　解：（1） 用数学归纳法证明.（略） （2） （略）
　　（3） 令bn=1（1+an）(1+a2)…(1+an)，则有bnbn-1=11+an（n≥2）.因为an≥0，又由（1）知，an＜an+1，因此，数列{an}在N+上单调递增.又1+a2=5+12＞32，所以1+an≥1+a2＞32(n≥2)，∴ 0＜11+an＜23，∴ bnbn-1＜23，∴ 当n=1时，T1=11+a1=1＜3，成立.
　　当n≥2时，Tn=∑nk=1bk＜1+23+232+…+23n-1=1-23n1-23=31-23n＜3.故,Tn＜3.
　　纵观近几年各地高考题，对数列的考察依然是一个热点，而有关∑nk=1f(k)＜c型数列不等式也多次出现，以上总结的两种常见的解题策略相当典型，读者仔细体会，定能举一反三，解决更多类似问题.