摘 要：数列蕴含函数思想，但是用函数的观点和方法解决数列问题，有时会失效.笔者对此问题做了一定的探讨，分析了其中的原因. 并认为，在解决数列的有关问题时，应该优先考虑数列特有的方法；若要使用函数的方法，就要对定义域高度重视，谨防出错.
　　关键词：数列；函数方法?摇
　　用函数的观点和方法解决数列问题是中学数学的基本方法之一，但在具体使用时容易忽视定义域的要求而导致错误.因此，如果要使用这种方法，就要随时注意定义域的限制带来的解法上的差异. 本文对此问题做简要的探讨.
　　案例一：已知数列｛an｝中，an=n2+λn，且｛an｝是递增数列，则实数λ的取值范围是________.
　　解法一：由函数f（x）=x2+λx=x+－知，对称轴为x=－，图象开口朝上，要使函数在［1，+∞）上递增，则需－≤1，即λ≥－2.
　　解法二：由函数f（x）=x2+λx得，f′（x）=2x+λ≥0在区间［1，+∞）恒成立，即λ≥ －2x在区间［1，+∞）恒成立，从而λ≥－2.
　　然而当λ=－时，an=n2－n，an+1－an=（n+1）2－（n+1）－n2+n=2n－>0，n∈N*，此时数列｛an｝仍是递增数列.
　　问题出在哪？
　　问题出在一个是连续函数，一个是离散型函数. 前者对区间［1，+∞）内的一切实数都要成立，条件苛刻. 后者只要求区间［1，+∞）内的正整数恒成立，条件宽松些.
　　正确解法：由递增数列的定义知：
　　an+1－an=（n+1）2+λ（n+1）－n2－λn=2n+1+λ>0，对一切正整数都成立；故
　　λ>－（2n+1），对任意的n∈N*都成立；所以λ>－3. 可见正确的解集包含了错误的解集.
　　案例二：数列｛an｝满足：a1=2，an=1－（n=2，3，4，…），则a4=________；若｛an｝有一个形如an=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A，B，ω，φ均为常数，且A>0，ω>0，φ<，则此通项公式可以为an=________.（写出一个即可）
　　这是一个模拟试卷中的试题，大部分学生的做法是：
　　据递推关系很容易算出a4=2，也知该数列为周期数列，其最小正周期为3，且知该数列前三项为2，，－1. 故有
　　A+B=2，－A+B=－1，=3， 解得A=，B=，ω=.又由第一项为最大值得φ=－，an=·sinn－+. 但用此通项公式得：a2=sin×2－+=－+= －≠，且a3=sin×3－+= －+=－≠－1.
　　上述解法是根据求正弦型函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的解题步骤进行的. 为什么会不正确呢？
　　其原因仍是一个为连续函数，一个为离散函数的问题. 实数域上的正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+B取得上述各函数值2，，－1时，自变量的值不一定是整数.
　　正确解法：由前面四项可列出方程组Asin（ω+φ）+B=2，Asin（2ω+φ）+B=，Asin（3ω+φ）+B=－1，=3，
　　解得2sin+φ=－sin+φ+sinφ，进一步解得sin+φ=0. 又结合φ<，A>0，ω>0，可得A=，B=，ω=，φ=－.
　　综上，an=sinn－+.
　　用函数的观点解决数列的有关问题时，要相当慎重. 在方法方面最好优先考虑数列的相关方法，而需要使用函数的方法去解决时，一定要记得对定义域进行相应的分析，请读者慎用.