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函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型,是“数与代数”领域中最重要的数学概念之一,是代数的“纽带”,因而成为中学数学的核心内容.这部分内容主要有：对平面直角坐标系的认识、对函数的有关认识、一次函数(含正比例函数)、反比例函数及二次函数的图象及其性质,利用函数的有关知识解决实际问题等.函数知识具有广泛的应用性,我们在解决生产生活中的许多实际问题时,往往采用函数作为建模的基本工具,函数的有关知识是我们教学的重点内容.各地的中考题中都有考查函数内容的题目,其考查形式有填空题、选择题、解答题.
1 2011年中考数学试题中函数考点情况
我们认真分析了2011年各地的中考数学试卷(含部分初中毕业考试试卷),利用“样本估计整体的思想”将部分(共16套试卷)中考试卷中,考查“函数”内容的三种形式(填空题、选择题、解答题)的分值、总分及在整套试卷中所占百分比的情况统计如下表：
说明：“内容有交叉”的是指本题除考查函数知识外还考查其他知识,如南京市的第6题既考查函数的知识又考查了勾股定理的知识.凡是“内容有交叉”的选择题或填空题,将该题所占分数直接统计到对函数考查之列；“内容有交叉”的解答题一般含有多问,只把从题目表面与函数直接有关的一问作为函数部分统计,而且这一问所占分一般是估算出来的.如北京市的第25题有三问,共8分,第一问主要考察“圆的对称性”、“勾股定理”等知识,第三问主要考查四边形的知识,只有第二问以考查函数的知识为主,故我们按2分进行统计.所以,我们给出的这个统计也不是绝对的.
从以上对16份试卷的统计中可以发现,考查函数内容的题目所占的分数平均占试卷总分的227%,其中最少的安徽省占162%,最高的厦门市占273%.与2010年相比,我们所统计的这16个省市卷中,有11个省市的比例在增加,有3个省市有所下降,另有2个省市与去年的比例持平.
2 2011年中考数学试题中与函数有关的典例分析
我们认真分析了2011年各地中考数学试卷中考查函数内容的题目,可以分为以下几类,下面举例说明.(注：所举例题均为2011年各地的正式中考题目,文中只给出解题分析和答案,详细步骤读者自己完成)
2.1 考查学生对有关函数基础知识的理解和应用
函数的基础知识,主要指变量、常量、函数的概念、表示方法、性质、图象等,这些内容是学习函数及其他相关内容的基础,各地的中考题中都有考查这些内容的题目.
例1 (北京市)抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为( )
A.(3,-4) B.(3,4)
C.(-3,-4)D.(-3,4)
分析 本题主要考查学生对二次函数的代数式进行变形的能力,是所有学生都能解答的基础性题目,属于教学最低平台上的最低要求.直接将y=x2-6x+5进行配方就可得到答案.
解 选A.
例2 (上海市)函数y=3-x的定义域 .
分析 我们知道函数中自变量的取值必须满足两条：一要保证解析式子本身有意义；二要保证函数关系所反映的实际问题有意义.就本题而言,由于函数关系是用二次根式表示的,所以只要能使被开方数的值不小于0的所有x都是有意义的.
解 定义域为x≤3.例3 (杭州市)如图1,函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点(M,m),N(-1,n),若y1＞y2,则x的取值范围是( )
A.x＜-1或0＜x-＜2
B.x＜-1或x＞2
C.-1＜x＜0或0＜x＜2
D.-1＜x＜0或x＞2
分析 本题主要考查学生对函数性质及其图象的掌握情况.只要能由函数关系式y1＞y2,得出函数y1的图象在函数y2的图象的上方即可.根据图象直接得出x的取值范围是-1＜x＜0或x＞2.
解 选D.
启示 纵观2011年全国各地的中考试题,注重考查基本知识是其基本的特点.前面的这三个例题就是典型的“送分”题.
这就要求我们在教学中应加强基础知识的教学,这里的基础知识应为基本知识、基本技能、基本思想与基本活动经.对于这些基础知识的教学,有效的做法是让学生“经历三个过程,参与一个活动”：其一,经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程,掌握有关数与代数的基本知识和基本技能；其二,经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程,掌握图形与几何的基本知识和基本技能；其三,经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程,掌握统计与概率的基本知识和基本技能；其四,参与综合实践活动,积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验.长期经过这样的训练,学生就能扎实掌握基础知识,形成基本技能、掌握基本思想并积累一些基本的数学活动经验,这才是数学教学的根本所在.教师千万不可一味将眼光放在高分题、压轴题上,否则,将会得不偿失,挂一漏万,对此,教师们在教学中应引起足够的重视.
2.2 以函数为载体注重对数学活动过程的考查
例4 (河北省)如图2(1)所示的程序,得到了y与x的函数图象如图2(2),若点M是y轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥x轴交图象于点P、Q,连接OP、OQ,则以下结论：
(1)x＜0时,y=2x.(2)△OPQ的面积为定值.
(3)x＞0时,y随x的增大而增大.(4)MP=2PM.
(5)∠POQ可以等于90°.
其中正确结论是( )
A.(1)(2)(3)B.(2)(4)(5)
C.(3)(4)(5)D.(2)(3)(5)
分析 解答选择题的方法有多种,既有直接解法,也有间接解法.本题可用排除法把错误的选择支逐个排除掉,从而得到正确的选择支.首先根据给定的计算程序确定出y与x之间的函数关系式,然后根据所得函数的性质进行判别.
解 当x＜0时,根据计算程序可知y=-2x,显然(1)是错误的；当x＞0时,由计算程序可知y=4x,此时y随x的增大而减小,故(3)错误.从而可排除A、C、D三个选择支,由于选择题中总有一个结论是正确的(原题中有说明),因此B是正确的.
启示 本题以计算流程的形式考查函数的相关知识,立意新颖,解法具有指导意义.本题采用排除法解答,根据题意排除A、C、D三个选择支后,剩余的B就是正确的了,所以对于结论(2)(4)(5)的正确性是无需说明或证明的.
我们在数学教学中,应根据学生的思维特点,结合具体的学习内容精心设计一些形式独特、运算方便,且并不以考查某个特定的知识点为目的,而是以考查能力为立意的题目,由于这样的题目能拓宽学生的思维空间、激励学生进行积极的思考,并且有利于培养学生的创新意识,所以常常受到命题者们的“青睐”.
2.3 关注函数与方程的横向联系
例5 (山西省)如图3,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,与反比例函数y=mx的图象交于C、D两点,DE⊥x轴于点E.已知C点的坐标是(6,-1),DE=3.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式.
(2)根据图象直接回答：当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值？
分析 (1)把点C的坐标(6,1)代入y=mx,可求出m的值.因为D点在反比例函数y=mx的图象上,DE⊥x,DE=3,所以可求出点D的坐标,把C、D两点的坐标代入一次函数y=kx+b中,可求出k、b的值.(2)当一次函数图象在反比例函数图象上方时,一次函数的值大于反比例函数的值.
解 (1)反比例函数的解析式为y=-6x,一次函数的解析式y=-12x+2.
(2)当x＜-2或0＜x＜6时,一次函数的值大于反比例函数的值.
启示 考察函数知识常见的题型之一便是求函数的解析式,而求解析式的通法就是用待定系数法确定出未知的系数,这常需要根据给定条件首先列出方程或方程组,所以考察函数问题时常与方程的知识融合在一起.本题的第一问求反比例函数与一次函数的解析式就充分体现了这种联系.这就要求我们在教学时不要孤立知识,要把知识放在与其他知识相关的结构中进行,特别是进行数学复习时,一定要通过知识的梳理来优化学生的知识结构,只有这样的知识结构才具有迁移性和创新性.
考查学生从图象中获取信息、建立并求解方程组的能力,体现了函数与方程之间具有实质性关联的数学观点.一次函数图象与反比例函数图象或二次函数图象相交的问题是中考题中常见的题型,一般是给定一个交点的坐标,让同学们解答有关的问题.这样的题目考查的知识点较多,对学生平常的学习情况是一个很好的“检验”.
2.4 与几何知识有机结合,综合考察学生的解题论证等能力
例6 (天津市)已知抛物线C1∶y1=12x2-x+1,点F(1,1).
(1)求抛物线C1的顶点坐标；
(2)①若抛物线C1与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线C1于点B,求证：1AF+1BF=2.
②抛物线C1上任意一点P(xP,yP)(0＜xP＜1),连接PF.并延长交抛物线C1于点Q(xQ,yQ),试判断1PF+1QF=2是否成立？请说明理由；
(3)将抛物线C1作适当的平移,得抛物线C2：y2=12(x-h)2,若2＜x≤m时,y2≤x恒成立,求m的最大值.
分析 (1)对二次函数解析式进行变形即可.C1的顶点坐标为(1,12).(2)①欲证明1AF+1BF=2,需要求出AF、BF的长来.容易求出A点的坐标为(0,1),根据已知F(1,1),可知AB∥x轴.观察发现BF=AF=1.②如图4,过点P(xP,yP)作PM⊥AB于点M,则FM=1-xP,PM=1-yP(0＜xP＜1),考虑到△PMF是直角三角形,根据勾股定理可得PF2=FM2+PM2=(1-xP)2+(1-yP)2,结合点P(xP,yP)在抛物线C1上的特点可推知PF=yP.同理过点Q(xQ,yQ)作QN⊥AB,与AB的延长线交于点N,可得QF=yQ.观察可知△PMF∽△QNF,由此得到PFQF=PMQN,注意的是PM=1-yP=1-PF,QN=yQ-1=QF-1,所以PFQF=1-PFQF-1,即1PF+1QF=2.(3)令y3=x,如图5,设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0,x0′,且x0＜x0′,则x0,x0′的值随C2向右不断平移而增大,当2＜x≤m,y2≤x恒成立时,m的最大值在x0′处取得,m的最大值为8.
启示 这是一道综合性的题目,考察了学生求二次函数解析式的能力、推理论证的能力,是典型的“几何与代数”密切相结合的题目.类似这样的题目体现了课程改革的方向,教师们在教学中应给予足够的重视.题目给我们的启示是涉及线段的比值问题时,可考虑证与之相关的三角形相似,这是同学们学习的难点,教学时应结合典型的例题加强这方面的训练.对于问题(3),解答的关键是根据题意画出平移后的抛物线找出其中的对应点.
函数与几何结合的题目很多,形式多样,例如,有的题目告诉我们某个图形的顶点在某种函数图象上,或是某两个函数图象的交点,让同学们求图形的面积问题或探究图形的形状.
2.5 建立函数模型解答实际问题
例7 (宁波市)我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株,甲种树苗每株24元,乙种树苗每株30元.相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%.
(1)若购买这两种树苗共用去21000元,则甲、乙两种树苗各购买多少株？
(2)若要使这批树苗的总成活率不低于88%,则甲种树苗至多购买多少株？
(3)在(2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最低？并求出最低费用.
分析 本题的第(1)(2)问分别可以通过建立方程模型、不等式模型解答.第一问有两个等量关系：一是甲、乙两种树苗的总数800株；二是购买这两种树苗所用钱数21000元,设出甲、乙两种树苗的株数,可建立方程组.设购买甲种树苗x株,乙种树苗y株,则x+y=800
24x+30y=21000,解得x=500
y=300.第二问根据总成活率不低于88%,列出不等式.设购买甲种树苗z株,乙种树苗(800-z)株,则85%z+90%(800-z)≥88%×800,解得z≤320.第(3)问的根本在于通过确定选购方案,使得费用最低.类似这样的求实际问题的最大值或最小值的问题,通常是通过构造函数模型,应用一次函数或二次函数的性质加以解决.根据购买树苗的总费用与购买甲种或乙种树苗的株数可确定函数关系式,通过求函数的最小值获得解答.设购买甲种树苗m株,购买树苗的费用为W元,则W=24m+30(800-m)=-6m+2400.可见W是关于m的一次函数,并且W随m的增大而减小.因为0＜m≤320,所以当m=320时,W有最小值,W最小值=2400-6×320=22080(元).
启示 本题从实际问题(购买树苗)出发,分别考察学生用方程知识、不等式知识、以及函数知识解答实际问题的能力.首先要求学生对实际问题进行抽象概括,建立方程模型、不等式模型及一次函数模型,然后利用有关知识给出进一步的解答.以学生学习或生产生活中的实际问题为背景,让学生经历建立“建立模型—求解问题”的过程,解答过程恰好体现了“问题情境—建立数学模型—求解、应用和拓展”的教材编排体系,同时还教育了学生遇到实际问题时,要学会用数学的知识进行科学分析,提高了学生对“数学即生活”的认识.属于中考的热点题型.我们在教学中要时刻注意综合利用有关的教育资源,从多角度、多层次运用所学的数学知识和方法解决生产、生活中所遇到的实际问题,培养学生的应用意识.
伴随着当今社会科学技术的飞速发展,数学已经渗透到各个领域,与之相关的问题涉及到我们生活的方方面面,通过建立数学模型解答这些与我们生活有关的问题是未来学生必备的一种素质.因为,学生在建立数学模型解答它们时,除必须全面掌握数学知识外,还要具有丰富的生活常识和较强的阅读理解能力,以及将实际问题转化为数学问题的数学建模能力,这样的问题具有把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机工具、培养良好的科学态度与思维品质等很好的结合起来的“效能”.学生通过数学建模,能体验到数学与日常生活及其它学科的联系,感受到数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力,还能培养学生认真求实、崇尚真理、追求完美、讲求效率、联系实际的学习态度和学习习惯.因此,加强数学建模教学具有重要的现实意义和方法论价值.
2.6 把函数知识与动态几何结合考查学生的综合解题能力
例8 (广东省)如图6,抛物线y=-54x2+174x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式；
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒,MN的长度为S个单位,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围；
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.
分析 (1)先求A、B两点坐标,再利用待定系数法求出直线AB的解析式：y=12x+1.(2)S=MN=NP-MP=-54t2+174t+1-(12t+1)=-54t2+154t(0≤t≤3).(3)当MN=BC时,四边形BCMN为平行四边形,则有-54t2+154t=52,可求出t=1或2,根据t的值,讨论四边形BCMN是否为菱形.当t=1时,四边形BCMN为菱形.而当t=2时,则不是菱形.
启示 本题将直线与抛物线相结合,以运动为载体,全面考查了一次函数、二次函数、特殊四边形等初中数学的核心知识.同时还考察了数形结合思想、方程与函数思想等重要的数学思想.所以这是一道关于动态几何的函数综合压轴题.关于动态几何的函数综合压轴题已成为中考命题的热点.解决此类问题的一般思路是化动为静,找出图形变化中不变的量和等量关系,构建相应的函数模型,从而达到解答的最终目标.这样的题目对于考查学生的阅读理解能力,综合分析与判断能力都是非常有益的.
我们在教学中要夯实基础知识、渗透常见的思想方法,通过分析、综合,把所学的知识序列化、结构化.养成勤于思考、善于思考的良好习惯,强调、重视论证推理的同时强化合情推理的教育.这样以来,学生的综合素质将会不断地得到提高和锻炼,遇到综合性的问题时就能冷静思考、认真分析、科学判断、准确解答,从而取得好的成绩.
1 2011年中考数学试题中函数考点情况
我们认真分析了2011年各地的中考数学试卷(含部分初中毕业考试试卷),利用“样本估计整体的思想”将部分(共16套试卷)中考试卷中,考查“函数”内容的三种形式(填空题、选择题、解答题)的分值、总分及在整套试卷中所占百分比的情况统计如下表：
说明：“内容有交叉”的是指本题除考查函数知识外还考查其他知识,如南京市的第6题既考查函数的知识又考查了勾股定理的知识.凡是“内容有交叉”的选择题或填空题,将该题所占分数直接统计到对函数考查之列；“内容有交叉”的解答题一般含有多问,只把从题目表面与函数直接有关的一问作为函数部分统计,而且这一问所占分一般是估算出来的.如北京市的第25题有三问,共8分,第一问主要考察“圆的对称性”、“勾股定理”等知识,第三问主要考查四边形的知识,只有第二问以考查函数的知识为主,故我们按2分进行统计.所以,我们给出的这个统计也不是绝对的.
从以上对16份试卷的统计中可以发现,考查函数内容的题目所占的分数平均占试卷总分的227%,其中最少的安徽省占162%,最高的厦门市占273%.与2010年相比,我们所统计的这16个省市卷中,有11个省市的比例在增加,有3个省市有所下降,另有2个省市与去年的比例持平.
2 2011年中考数学试题中与函数有关的典例分析
我们认真分析了2011年各地中考数学试卷中考查函数内容的题目,可以分为以下几类,下面举例说明.(注：所举例题均为2011年各地的正式中考题目,文中只给出解题分析和答案,详细步骤读者自己完成)
2.1 考查学生对有关函数基础知识的理解和应用
函数的基础知识,主要指变量、常量、函数的概念、表示方法、性质、图象等,这些内容是学习函数及其他相关内容的基础,各地的中考题中都有考查这些内容的题目.
例1 (北京市)抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为( )
A.(3,-4) B.(3,4)
C.(-3,-4)D.(-3,4)
分析 本题主要考查学生对二次函数的代数式进行变形的能力,是所有学生都能解答的基础性题目,属于教学最低平台上的最低要求.直接将y=x2-6x+5进行配方就可得到答案.
解 选A.
例2 (上海市)函数y=3-x的定义域 .
分析 我们知道函数中自变量的取值必须满足两条：一要保证解析式子本身有意义；二要保证函数关系所反映的实际问题有意义.就本题而言,由于函数关系是用二次根式表示的,所以只要能使被开方数的值不小于0的所有x都是有意义的.
解 定义域为x≤3.例3 (杭州市)如图1,函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点(M,m),N(-1,n),若y1＞y2,则x的取值范围是( )
A.x＜-1或0＜x-＜2
B.x＜-1或x＞2
C.-1＜x＜0或0＜x＜2
D.-1＜x＜0或x＞2
分析 本题主要考查学生对函数性质及其图象的掌握情况.只要能由函数关系式y1＞y2,得出函数y1的图象在函数y2的图象的上方即可.根据图象直接得出x的取值范围是-1＜x＜0或x＞2.
解 选D.
启示 纵观2011年全国各地的中考试题,注重考查基本知识是其基本的特点.前面的这三个例题就是典型的“送分”题.
这就要求我们在教学中应加强基础知识的教学,这里的基础知识应为基本知识、基本技能、基本思想与基本活动经.对于这些基础知识的教学,有效的做法是让学生“经历三个过程,参与一个活动”：其一,经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程,掌握有关数与代数的基本知识和基本技能；其二,经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程,掌握图形与几何的基本知识和基本技能；其三,经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程,掌握统计与概率的基本知识和基本技能；其四,参与综合实践活动,积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验.长期经过这样的训练,学生就能扎实掌握基础知识,形成基本技能、掌握基本思想并积累一些基本的数学活动经验,这才是数学教学的根本所在.教师千万不可一味将眼光放在高分题、压轴题上,否则,将会得不偿失,挂一漏万,对此,教师们在教学中应引起足够的重视.
2.2 以函数为载体注重对数学活动过程的考查
例4 (河北省)如图2(1)所示的程序,得到了y与x的函数图象如图2(2),若点M是y轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥x轴交图象于点P、Q,连接OP、OQ,则以下结论：
(1)x＜0时,y=2x.(2)△OPQ的面积为定值.
(3)x＞0时,y随x的增大而增大.(4)MP=2PM.
(5)∠POQ可以等于90°.
其中正确结论是( )
A.(1)(2)(3)B.(2)(4)(5)
C.(3)(4)(5)D.(2)(3)(5)
分析 解答选择题的方法有多种,既有直接解法,也有间接解法.本题可用排除法把错误的选择支逐个排除掉,从而得到正确的选择支.首先根据给定的计算程序确定出y与x之间的函数关系式,然后根据所得函数的性质进行判别.
解 当x＜0时,根据计算程序可知y=-2x,显然(1)是错误的；当x＞0时,由计算程序可知y=4x,此时y随x的增大而减小,故(3)错误.从而可排除A、C、D三个选择支,由于选择题中总有一个结论是正确的(原题中有说明),因此B是正确的.
启示 本题以计算流程的形式考查函数的相关知识,立意新颖,解法具有指导意义.本题采用排除法解答,根据题意排除A、C、D三个选择支后,剩余的B就是正确的了,所以对于结论(2)(4)(5)的正确性是无需说明或证明的.
我们在数学教学中,应根据学生的思维特点,结合具体的学习内容精心设计一些形式独特、运算方便,且并不以考查某个特定的知识点为目的,而是以考查能力为立意的题目,由于这样的题目能拓宽学生的思维空间、激励学生进行积极的思考,并且有利于培养学生的创新意识,所以常常受到命题者们的“青睐”.
2.3 关注函数与方程的横向联系
例5 (山西省)如图3,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,与反比例函数y=mx的图象交于C、D两点,DE⊥x轴于点E.已知C点的坐标是(6,-1),DE=3.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式.
(2)根据图象直接回答：当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值？
分析 (1)把点C的坐标(6,1)代入y=mx,可求出m的值.因为D点在反比例函数y=mx的图象上,DE⊥x,DE=3,所以可求出点D的坐标,把C、D两点的坐标代入一次函数y=kx+b中,可求出k、b的值.(2)当一次函数图象在反比例函数图象上方时,一次函数的值大于反比例函数的值.
解 (1)反比例函数的解析式为y=-6x,一次函数的解析式y=-12x+2.
(2)当x＜-2或0＜x＜6时,一次函数的值大于反比例函数的值.
启示 考察函数知识常见的题型之一便是求函数的解析式,而求解析式的通法就是用待定系数法确定出未知的系数,这常需要根据给定条件首先列出方程或方程组,所以考察函数问题时常与方程的知识融合在一起.本题的第一问求反比例函数与一次函数的解析式就充分体现了这种联系.这就要求我们在教学时不要孤立知识,要把知识放在与其他知识相关的结构中进行,特别是进行数学复习时,一定要通过知识的梳理来优化学生的知识结构,只有这样的知识结构才具有迁移性和创新性.
考查学生从图象中获取信息、建立并求解方程组的能力,体现了函数与方程之间具有实质性关联的数学观点.一次函数图象与反比例函数图象或二次函数图象相交的问题是中考题中常见的题型,一般是给定一个交点的坐标,让同学们解答有关的问题.这样的题目考查的知识点较多,对学生平常的学习情况是一个很好的“检验”.
2.4 与几何知识有机结合,综合考察学生的解题论证等能力
例6 (天津市)已知抛物线C1∶y1=12x2-x+1,点F(1,1).
(1)求抛物线C1的顶点坐标；
(2)①若抛物线C1与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线C1于点B,求证：1AF+1BF=2.
②抛物线C1上任意一点P(xP,yP)(0＜xP＜1),连接PF.并延长交抛物线C1于点Q(xQ,yQ),试判断1PF+1QF=2是否成立？请说明理由；
(3)将抛物线C1作适当的平移,得抛物线C2：y2=12(x-h)2,若2＜x≤m时,y2≤x恒成立,求m的最大值.
分析 (1)对二次函数解析式进行变形即可.C1的顶点坐标为(1,12).(2)①欲证明1AF+1BF=2,需要求出AF、BF的长来.容易求出A点的坐标为(0,1),根据已知F(1,1),可知AB∥x轴.观察发现BF=AF=1.②如图4,过点P(xP,yP)作PM⊥AB于点M,则FM=1-xP,PM=1-yP(0＜xP＜1),考虑到△PMF是直角三角形,根据勾股定理可得PF2=FM2+PM2=(1-xP)2+(1-yP)2,结合点P(xP,yP)在抛物线C1上的特点可推知PF=yP.同理过点Q(xQ,yQ)作QN⊥AB,与AB的延长线交于点N,可得QF=yQ.观察可知△PMF∽△QNF,由此得到PFQF=PMQN,注意的是PM=1-yP=1-PF,QN=yQ-1=QF-1,所以PFQF=1-PFQF-1,即1PF+1QF=2.(3)令y3=x,如图5,设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0,x0′,且x0＜x0′,则x0,x0′的值随C2向右不断平移而增大,当2＜x≤m,y2≤x恒成立时,m的最大值在x0′处取得,m的最大值为8.
启示 这是一道综合性的题目,考察了学生求二次函数解析式的能力、推理论证的能力,是典型的“几何与代数”密切相结合的题目.类似这样的题目体现了课程改革的方向,教师们在教学中应给予足够的重视.题目给我们的启示是涉及线段的比值问题时,可考虑证与之相关的三角形相似,这是同学们学习的难点,教学时应结合典型的例题加强这方面的训练.对于问题(3),解答的关键是根据题意画出平移后的抛物线找出其中的对应点.
函数与几何结合的题目很多,形式多样,例如,有的题目告诉我们某个图形的顶点在某种函数图象上,或是某两个函数图象的交点,让同学们求图形的面积问题或探究图形的形状.
2.5 建立函数模型解答实际问题
例7 (宁波市)我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株,甲种树苗每株24元,乙种树苗每株30元.相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%.
(1)若购买这两种树苗共用去21000元,则甲、乙两种树苗各购买多少株？
(2)若要使这批树苗的总成活率不低于88%,则甲种树苗至多购买多少株？
(3)在(2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最低？并求出最低费用.
分析 本题的第(1)(2)问分别可以通过建立方程模型、不等式模型解答.第一问有两个等量关系：一是甲、乙两种树苗的总数800株；二是购买这两种树苗所用钱数21000元,设出甲、乙两种树苗的株数,可建立方程组.设购买甲种树苗x株,乙种树苗y株,则x+y=800
24x+30y=21000,解得x=500
y=300.第二问根据总成活率不低于88%,列出不等式.设购买甲种树苗z株,乙种树苗(800-z)株,则85%z+90%(800-z)≥88%×800,解得z≤320.第(3)问的根本在于通过确定选购方案,使得费用最低.类似这样的求实际问题的最大值或最小值的问题,通常是通过构造函数模型,应用一次函数或二次函数的性质加以解决.根据购买树苗的总费用与购买甲种或乙种树苗的株数可确定函数关系式,通过求函数的最小值获得解答.设购买甲种树苗m株,购买树苗的费用为W元,则W=24m+30(800-m)=-6m+2400.可见W是关于m的一次函数,并且W随m的增大而减小.因为0＜m≤320,所以当m=320时,W有最小值,W最小值=2400-6×320=22080(元).
启示 本题从实际问题(购买树苗)出发,分别考察学生用方程知识、不等式知识、以及函数知识解答实际问题的能力.首先要求学生对实际问题进行抽象概括,建立方程模型、不等式模型及一次函数模型,然后利用有关知识给出进一步的解答.以学生学习或生产生活中的实际问题为背景,让学生经历建立“建立模型—求解问题”的过程,解答过程恰好体现了“问题情境—建立数学模型—求解、应用和拓展”的教材编排体系,同时还教育了学生遇到实际问题时,要学会用数学的知识进行科学分析,提高了学生对“数学即生活”的认识.属于中考的热点题型.我们在教学中要时刻注意综合利用有关的教育资源,从多角度、多层次运用所学的数学知识和方法解决生产、生活中所遇到的实际问题,培养学生的应用意识.
伴随着当今社会科学技术的飞速发展,数学已经渗透到各个领域,与之相关的问题涉及到我们生活的方方面面,通过建立数学模型解答这些与我们生活有关的问题是未来学生必备的一种素质.因为,学生在建立数学模型解答它们时,除必须全面掌握数学知识外,还要具有丰富的生活常识和较强的阅读理解能力,以及将实际问题转化为数学问题的数学建模能力,这样的问题具有把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机工具、培养良好的科学态度与思维品质等很好的结合起来的“效能”.学生通过数学建模,能体验到数学与日常生活及其它学科的联系,感受到数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力,还能培养学生认真求实、崇尚真理、追求完美、讲求效率、联系实际的学习态度和学习习惯.因此,加强数学建模教学具有重要的现实意义和方法论价值.
2.6 把函数知识与动态几何结合考查学生的综合解题能力
例8 (广东省)如图6,抛物线y=-54x2+174x+1与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式；
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒,MN的长度为S个单位,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围；
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.
分析 (1)先求A、B两点坐标,再利用待定系数法求出直线AB的解析式：y=12x+1.(2)S=MN=NP-MP=-54t2+174t+1-(12t+1)=-54t2+154t(0≤t≤3).(3)当MN=BC时,四边形BCMN为平行四边形,则有-54t2+154t=52,可求出t=1或2,根据t的值,讨论四边形BCMN是否为菱形.当t=1时,四边形BCMN为菱形.而当t=2时,则不是菱形.
启示 本题将直线与抛物线相结合,以运动为载体,全面考查了一次函数、二次函数、特殊四边形等初中数学的核心知识.同时还考察了数形结合思想、方程与函数思想等重要的数学思想.所以这是一道关于动态几何的函数综合压轴题.关于动态几何的函数综合压轴题已成为中考命题的热点.解决此类问题的一般思路是化动为静,找出图形变化中不变的量和等量关系,构建相应的函数模型,从而达到解答的最终目标.这样的题目对于考查学生的阅读理解能力,综合分析与判断能力都是非常有益的.
我们在教学中要夯实基础知识、渗透常见的思想方法,通过分析、综合,把所学的知识序列化、结构化.养成勤于思考、善于思考的良好习惯,强调、重视论证推理的同时强化合情推理的教育.这样以来,学生的综合素质将会不断地得到提高和锻炼,遇到综合性的问题时就能冷静思考、认真分析、科学判断、准确解答,从而取得好的成绩.