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摘 要：本文从高三《三角恒等变换》复习入手，围绕三角恒等变换这个学习主题，对教学情境进行深度分析，从方程与函数角度探究了三角恒等变换问题，并总结出求三角函数最值的方法，培养学生化归与转化、数形结合、函数与方程思想，凸显数学核心素养，提升学生问题解决能力，最终实现学生的发展。
关键词：三角恒等变换;深度学习;核心素养
深度学习不仅要了解知识点，更要通过知识点的规律不断思考、举一反三的挖掘出更多知识点，深度学习除了促进学生思维发展，更应该是为了立德树人，体现学科育人价值，突出核心素养，实现五育并举。这与我们的新课标和新高考是非常契合的。基于价值引领、素养导向的数学教学，要思考“数学教学究竟要给学生什么”，课堂上除了知识记忆和解题训练，更要通过典型的深度活动来加工学习对象，把握知识的本质，最终实现学生的发展。下面笔者结合高三教学案例《三角恒等变换》，从一题多解、一题多变及函数与方程角度探究了三角恒等变换问题，引导学生对学习对象进行深度加工，进行深度学习探究，以期达到学生数学核心素养的培养。
一、深度解读教材、把握知识内核
三角函数是高考重点考查内容之一，三角恒等变换的考查，常以选择填空形式出现，还常在解答题中与其他知识结合起来考查，在考查三角知识的同时又考查函数与方程思想、数形结合思想解决问题的能力。本节课通过例题分析解答，能运用三角函数各种公式进行恒等变换及解决综合性问题，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。
（一）【课程学习目标】
通过例题分析解答，能运用三角函数各种公式进行恒等变换及解决综合性问题，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力;在解决实际问题的过程中，体验三角恒等变换的本质是“变换”;在解决实际问题的过程中，体验“形”与“数”间的关联。在学生获取数学知识和掌握数学思想方法的同時，渗透数学核心素养。
（二）【课程导学建议】
教学重点：掌握三角公式间的关系，能运用公式进行恒等变换。教学难点：能灵活运用公式进行三角恒等变换;能力点：三角公式、恒等变形的灵活运用;自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻;训练点：应用三角公式进行恒等变换及数学思想方法的综合运用;考试点：综合应用三角变换的知识解决三角问题;易错点：三角恒等变换;拓展点：从函数与方程角度解决三角恒等变换问题。
二、情境设计与知识建构
（一）问题研讨
问题导引：人教版必修4P147B组
1.已知，求值。
法一：由方程组和sin2α+cos2α=1解出sinα，cosα，进一步求解
法二：利用sinα±cosα和sinα·cosα的关系求出sinα+cosα，再由方程组sinα+cosα和sinα-cosα解出sinα，cosα，进一步求解
法三：由求出sin2α，cos2α，进一步求解
【设计意图】回归教材，夯实基础，从方程角度解决三角恒等变换问题
（二）技能应用拓展
1.一题多解、一题多变提供运算通途
一题多解、一题多变在运算中十分普遍，一题多解体现了运算的灵活性，而一题多变通过变换题目的条件或结论，从运用的知识、变换的方式、新的设计角度实现举一反三。
例1.（2008浙江高考理8）若，则tanα=（ ）
A. B.2 C.- D.-2
法1（方程思想）：由方程组解出sinα，cosα，求出tanα。
法2（化归思想）：两边平方得（cosα+2sinα）2=5，再弦化切化作关于tanα的方程，求出tanα。
法3（归一法）：由归一法得再利用辅助角φ与α的关系求出tanα。
法4（化归思想）法四：由对称性得（cosα+2sinα）2+（sinα-2cosα）2=5从而sinα-2cosα=0，求出tanα。
法5（函数思想）：设依题意得x=α时，f（x）最小值是。∵，∴∴-sinα+2cosα=0，求出tanα。
【设计意图】例题分析，从不同角度切入，从而有不同解法。教师分析问题同时提出问题、解决问题，从知识的记忆巩固到问题探究，从浅层思维到高阶思维。
变式1.（2013全国Ⅰ卷理15）设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=
变式2.若，则=
【设计意图】变式1.2均可采用例题五种方法解决，有助于学生从运用的知识、变换的方式、新的设计角度实现举一反三。
2.回归本源——三角函数的函数性质
函数思想实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数性质，利用函数的有关性质使问题得以解决。以函数为主线可以将很多数学内容串起来：函数、三角、数列、不等式等，占高中数学课程的半壁江山。函数思想是高考考查的重点，三角函数是特殊的函数，解题时也可以从函数角度考虑。
例2.（2017全国Ⅱ卷理14）
已知函数的最大值是_______
分析：，
∴当时，f（x）max=1.
【设计意图】本题以正弦函数、余弦函数为基本函数，构造一个新的函数，求该新函数的最大值。要像例题1用“归一法”直接化简合并，不会成功，要利用三角恒等变换配方成二次型函数，应用函数思想得到最大值。
例3.（2018全国Ⅰ卷理16）f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是_____________.
素养分析：
∴cosx≥-1∴令f'（x）=0，有
∴sinx=或-，又定义域为R，将或分别代入f（x）得极小值-，则最小值-。
【设计意图】本题给出两个正弦函数的和，利用三角恒等变换解决最值问题。这两函数次数一样都是一次，但周期不同，要像例题1用“归一法”直接化简合并，不会成功，要应用函数思想求导讨论极值点，注意定义域R，开区间上的最值一定是极值，从而得到最大值和最小值。纠正学生思维定式，进一步升华。
3.提能检测
例4.（2021八省联考12）设函数则（ ）
A.f（x）=f（x+π）
B.f（x）的最大值为
C.f（x）在单调递增
D.f（x）在单调递减
分析：答案AD。定义域为R，
令，则
得，
当时，f'（x）<0，f（x）为减函数。
当时，-3<1+4sin2x<1，∴1+4sin2x<0时，f'（x）>0，1+4sin2x>0时，f'（x）<0。
三、引导学生归纳提升
本节课回归课本，通过教材一道习题引出例题1和变式1、2，体现函数思想的应用。例题2例题3是二次函数配方法及函数导数应用，纠正学生思维定式，进一步升华。通过一题多解、一题多变，让学生思维水平在变中得到升华，增强思维的深刻性，并总结出利用三角函数求最值的方法：直接法、归一法、配方法、函数求导法等。利用函数导数的方法，对含有三角函数的复合函数单调性的研究，函数最值问题的求解，是近几年高考中的热门话题，除了可以考查函数导数的运用能力之外，还可以考查三角函数特有的性质。
参考文献
[1]刘月霞、郭华.深度学习：走向核心素养（理论普及读本）[M].北京：教育科学出版社，2018，11.
[2]王尚志、吕世虎、胡凤娟.普通高中课程标准（2017年版2020年修订）教师指导数学.上海教育出版社
[3]金太阳教育研究院.中学学科核心素养通典数学篇.吉林出版集团股份有限公司，2018.4
关键词：三角恒等变换;深度学习;核心素养
深度学习不仅要了解知识点，更要通过知识点的规律不断思考、举一反三的挖掘出更多知识点，深度学习除了促进学生思维发展，更应该是为了立德树人，体现学科育人价值，突出核心素养，实现五育并举。这与我们的新课标和新高考是非常契合的。基于价值引领、素养导向的数学教学，要思考“数学教学究竟要给学生什么”，课堂上除了知识记忆和解题训练，更要通过典型的深度活动来加工学习对象，把握知识的本质，最终实现学生的发展。下面笔者结合高三教学案例《三角恒等变换》，从一题多解、一题多变及函数与方程角度探究了三角恒等变换问题，引导学生对学习对象进行深度加工，进行深度学习探究，以期达到学生数学核心素养的培养。
一、深度解读教材、把握知识内核
三角函数是高考重点考查内容之一，三角恒等变换的考查，常以选择填空形式出现，还常在解答题中与其他知识结合起来考查，在考查三角知识的同时又考查函数与方程思想、数形结合思想解决问题的能力。本节课通过例题分析解答，能运用三角函数各种公式进行恒等变换及解决综合性问题，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。
（一）【课程学习目标】
通过例题分析解答，能运用三角函数各种公式进行恒等变换及解决综合性问题，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力;在解决实际问题的过程中，体验三角恒等变换的本质是“变换”;在解决实际问题的过程中，体验“形”与“数”间的关联。在学生获取数学知识和掌握数学思想方法的同時，渗透数学核心素养。
（二）【课程导学建议】
教学重点：掌握三角公式间的关系，能运用公式进行恒等变换。教学难点：能灵活运用公式进行三角恒等变换;能力点：三角公式、恒等变形的灵活运用;自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻;训练点：应用三角公式进行恒等变换及数学思想方法的综合运用;考试点：综合应用三角变换的知识解决三角问题;易错点：三角恒等变换;拓展点：从函数与方程角度解决三角恒等变换问题。
二、情境设计与知识建构
（一）问题研讨
问题导引：人教版必修4P147B组
1.已知，求值。
法一：由方程组和sin2α+cos2α=1解出sinα，cosα，进一步求解
法二：利用sinα±cosα和sinα·cosα的关系求出sinα+cosα，再由方程组sinα+cosα和sinα-cosα解出sinα，cosα，进一步求解
法三：由求出sin2α，cos2α，进一步求解
【设计意图】回归教材，夯实基础，从方程角度解决三角恒等变换问题
（二）技能应用拓展
1.一题多解、一题多变提供运算通途
一题多解、一题多变在运算中十分普遍，一题多解体现了运算的灵活性，而一题多变通过变换题目的条件或结论，从运用的知识、变换的方式、新的设计角度实现举一反三。
例1.（2008浙江高考理8）若，则tanα=（ ）
A. B.2 C.- D.-2
法1（方程思想）：由方程组解出sinα，cosα，求出tanα。
法2（化归思想）：两边平方得（cosα+2sinα）2=5，再弦化切化作关于tanα的方程，求出tanα。
法3（归一法）：由归一法得再利用辅助角φ与α的关系求出tanα。
法4（化归思想）法四：由对称性得（cosα+2sinα）2+（sinα-2cosα）2=5从而sinα-2cosα=0，求出tanα。
法5（函数思想）：设依题意得x=α时，f（x）最小值是。∵，∴∴-sinα+2cosα=0，求出tanα。
【设计意图】例题分析，从不同角度切入，从而有不同解法。教师分析问题同时提出问题、解决问题，从知识的记忆巩固到问题探究，从浅层思维到高阶思维。
变式1.（2013全国Ⅰ卷理15）设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=
变式2.若，则=
【设计意图】变式1.2均可采用例题五种方法解决，有助于学生从运用的知识、变换的方式、新的设计角度实现举一反三。
2.回归本源——三角函数的函数性质
函数思想实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数性质，利用函数的有关性质使问题得以解决。以函数为主线可以将很多数学内容串起来：函数、三角、数列、不等式等，占高中数学课程的半壁江山。函数思想是高考考查的重点，三角函数是特殊的函数，解题时也可以从函数角度考虑。
例2.（2017全国Ⅱ卷理14）
已知函数的最大值是_______
分析：，
∴当时，f（x）max=1.
【设计意图】本题以正弦函数、余弦函数为基本函数，构造一个新的函数，求该新函数的最大值。要像例题1用“归一法”直接化简合并，不会成功，要利用三角恒等变换配方成二次型函数，应用函数思想得到最大值。
例3.（2018全国Ⅰ卷理16）f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是_____________.
素养分析：
∴cosx≥-1∴令f'（x）=0，有
∴sinx=或-，又定义域为R，将或分别代入f（x）得极小值-，则最小值-。
【设计意图】本题给出两个正弦函数的和，利用三角恒等变换解决最值问题。这两函数次数一样都是一次，但周期不同，要像例题1用“归一法”直接化简合并，不会成功，要应用函数思想求导讨论极值点，注意定义域R，开区间上的最值一定是极值，从而得到最大值和最小值。纠正学生思维定式，进一步升华。
3.提能检测
例4.（2021八省联考12）设函数则（ ）
A.f（x）=f（x+π）
B.f（x）的最大值为
C.f（x）在单调递增
D.f（x）在单调递减
分析：答案AD。定义域为R，
令，则
得，
当时，f'（x）<0，f（x）为减函数。
当时，-3<1+4sin2x<1，∴1+4sin2x<0时，f'（x）>0，1+4sin2x>0时，f'（x）<0。
三、引导学生归纳提升
本节课回归课本，通过教材一道习题引出例题1和变式1、2，体现函数思想的应用。例题2例题3是二次函数配方法及函数导数应用，纠正学生思维定式，进一步升华。通过一题多解、一题多变，让学生思维水平在变中得到升华，增强思维的深刻性，并总结出利用三角函数求最值的方法：直接法、归一法、配方法、函数求导法等。利用函数导数的方法，对含有三角函数的复合函数单调性的研究，函数最值问题的求解，是近几年高考中的热门话题，除了可以考查函数导数的运用能力之外，还可以考查三角函数特有的性质。
参考文献
[1]刘月霞、郭华.深度学习：走向核心素养（理论普及读本）[M].北京：教育科学出版社，2018，11.
[2]王尚志、吕世虎、胡凤娟.普通高中课程标准（2017年版2020年修订）教师指导数学.上海教育出版社
[3]金太阳教育研究院.中学学科核心素养通典数学篇.吉林出版集团股份有限公司，2018.4