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摘要：如何精心地设计我们的教学，去建构一种适合概念生成的教学策略，让学生能在概念的发生、发展和同化过程中，领悟数学，运用数学，形成数学的理解力呢？本文通过“方程的根与函数的零点”课例，探讨如何紧扣概念教学过程中的关键节点，聚焦概念教学设计，探索学生形成数学概念理解的有效方法。
关键词：数学教学；教师；学生
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）03-0111
如何精心地设计我们的教学，去建构一种适合概念生成的教学策略，让学生能在概念的发生、发展和同化过程中，领悟数学，运用数学，形成数学的理解力呢？本文通过“方程的根与函数的零点”课例，探讨如何紧扣概念教学过程中的关键节点，聚焦概念教学设计，探索学生形成数学概念理解的有效方法。
一、立足起点处的“切入点”，诱发理解动机
学习者的数学概念学得怎样，首先是其领悟数学的“起点”是否坚实。起点的确定，全凭教师对学生、对教材的细致“解读”，及借助于对数学教学规律的感悟与把握，通过有效情境最大限度地降低学生的理解难度，减缓学生的思维坡度，诱发学生主动、积极思考。
【案例片断1】函数“零点”概念的引入
师：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。从两个不同的角度看，或观察重点不同，得出了不同的结果。类似y=x-1，说出对不同角度的思考结果？
生：一次函数，图像是一条直线。
师：不错，从函数、图像看的确如此，那么，我们还可以将它看成什么，又可得出什么？令y=0，得x=1，问“1”怎样理解？……
【评析】从习得者的视角切入，营造概念认知的氛围，在学生认知的“原有发生区”与“最近发展区”的过渡处设问，学生思维易激活，能尽快融入课堂活动中。
二、立足生成处的“生长点”，夯实理解基础
对新数学概念的学习，有些可以直接用下定义的方式，有的却不行，如本课的“零点”，定义虽简单，却包含着重要的数学思想。所以，概念的习得需要一个过程，经历数学思想与数学概念的诞生与交融，也即学生原认知结构，需在不断的问题解决与认知中，不断同化、发展和完善。教学设计就须为此营造出适合学生基础、激活学习兴趣、具有一定思维力度的氛围，立足于概念生成处，做好细致的思维铺垫工作。
【案例片断2】函数“零点”概念的形成
师：通过解方程x2-2x-3=0，易知它的根为-1和3，那么，它对相应的二次函数y=x2-2x-3的图像有何作用？（即从“形”上看），从数的角度看，是什么？课本中，还将它称为函数的什么？
生：方程的根，也称之函数的零点。其实就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标。
师：是的，同是一个“数”，它在不同的背景下，我们有了不同的认识，你能简单地将它们“串连”起来吗？用谁来“判定”它们的不同情况？
生：我感觉用“根→交点→横坐标→零点”将它们“串连”起来比较适合……
生：用方程的“判别式”来区别最好。若Δ<0，方程无解，则二次函数的图像与x轴没有交点，也就无所谓交点，也就没有了“横坐标”，自然也就没有了“零点”。
师：大家认同他的说法吗？若Δ>0，Δ=0呢？刚才大家说的，可推广到“一般”情况，得出：二次函数的图像、二次方程的根与二次函数的零点之间的“等价”关系说法，请以表格的形式揭示（见下表）。
【评析】
零点知识是陈述性知识，关键不在于向学生提出这个概念，而是理解提出零点概念的产生过程与含义作用，始终抓住“数与形”两个角度诠释零点的意义，特别是在“等价关系”的应用上，使学生对函数零点概念本质的理解更透些。
三、立足关键词的“突破点”，形成自己的理解
學之道在于“悟”，在与理解，课堂教学如果进一步为学生营造一个展示的舞台，这无疑对概念形成自己的理解提供一个机不可失的机会，这不仅对当堂的概念有更深入的理解，同时对学生的数学素养带来潜移默化的影响。
【案例片断3】函数“零点”存在性定理的探究
师：任意函数都有零点吗？请举例说明，你能说明什么条件下，函数零点存在吗？
展示学生所画的函数图像（①反比例函数图1；②二次函数（图2-图4）；③一次函数图5）
师：能很清晰地看到函数图像与x轴有无交点，即函数有无零点，但是若不给你图，你觉得还有什么方法可以判断函数有无零点呢？
师：观察交点是怎么来的？是函数图像穿过x轴得到的。这是几何特征，那么能从数量上来描述特征吗？函数图像穿过x轴，穿过零点所在位置的一小段，我们不妨圈出一个小区间为[a，b]，零点设为c，（教师在图5上示范）。考虑函数值在a，c上的符号和c，b上的符号有什么特点？或者说在这些图像上圈圈看，看看函数值满足什么条件时，函数有零点？
（学生在自己画的图像上尝试）
生1：零点附近的函数值异号。
生2：他说的不完全是，相对图3，在零点的左右各取一个数，组成区间（a，b），则f（a）·f（b）>0。
生1：图3有两个零点，应该一个一个看，比如左边的零点的所在的区间（a，d），函数值异号。
师：现在我们发现可以是异号，也可以是同号，那你觉得哪个更靠谱？
生3：我在图2上取区间（a，b），此时f（a）·f（b）>0，但函数没有零点，所以我觉得用f（a）·f（b）<0用来判断更靠谱。
生4：我觉得当f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）可能有零点，可能没有。而当f（a）·f（b）<0时函数肯定有零点。
师：生4说得很好，除此外图像本身有什么要求？
生5：图像要连续不断。以图1为例，取区间（a，b），f（a）·f（b）<0，则函数没有零点。 师：由此说明要使函数零点存在，则必须满足什么条件？
生6：函数在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）·f（b）<0，函数存在零点。
师：满足定理条件的零点唯一吗？为什么？增加什么条件零点是唯一的？
生7：不唯一。如图6，我可以画很多个零点，函数在区间（a，b）单调递增或单调递减时，零点唯一。
【评析】
学生思考问题时充满个性化，面对同一问题都有自己的理解，都有自己的思考视角，教师要把思维空间让给学生，让学生形成对概念自己的理解。
四、立足成功处的“回归点”，促进深入理解
运用概念解决问题有助于加深学生对概念的理解和巩固，使概念的理解更具生成性，也有效地促进学生发展迁移的能力。
【案例片断4】函数“零点”知识的应用
师：请看方程lnx 2x-6=0，怎么判断是否有解？
生1：令y=lnx 2x-6，看函数y=lnx 2x-6是否有零点。
师：你可以想到用什么方法来判断函数的零点？（生说用定理），那么如何确定零点所在的区间？
生2：取值试试，比如取x=1，y=-4<0；y=ln2-2<0，x=3；y=ln3>0；x=5，y=ln5 4>0；……我发现后面继续取值，对应的函数值都为正，我觉得零点的区间应该在（2，3）之间。
师：对生2估算，大家感觉有效果吗？为什么？这与问题的特点有何关系？
生3：應该可以，它的做法符合“存在性定理”，因为“只问是否有解，没问多少呀”，肯定可以。
生4：其实只能有一个。因为函数y=lnx是单调递增的，函数也是单调递增的，由复合函数的性质，整个函数应该单调递增，所以它只能“穿过”轴一次。
师：有点意思，不仅知道存在，还知道有只有一个，那么，能知道这个根的具体值是多少吗？大家想想。
生5：不能，最多能估计更精确一点，比如再取得小一点，算算看。
师：是的，为什么叫“存在性定理”，大家知道其真实含义了吧！（稍停）除此外，还有什么方法判断函数只有一个零点？
生6：用函数单调性的定义法证明。
生7：把2x-6移到等号另一端，观察函数y=lnx和函数y=-2x 6的图像，发现两个函数只有一个交点，因此方程只有一个根。
师：那么这个零点大约多少？
生8：继续取值估计一下.我再取2.5试一试，估计是负的，那再取2.25……
【评析】
放手让学生自己用估算思想去探索零点区间，并引导学生尝试用多种方法去探索零点的个数，在这一过程中不仅回顾零点的本质含义，同时“身临其境”去找零点的区间、个数，与下节二分法求方程的近似解的思想一脉相承。
创设学生自主参与发展的学习环境，创设学生形成自己的理解的学习过程，以学生为本，通过学生自己实质性的思维活动，才能让学生对概念形成自己的理解，过程因探究而精彩，知识因理解而生动。
参考文献：
[1] 朱漫丽.基于理解的数学教学[J].中学数学月刊，2012（2）.
[2] 渠东剑.提高数学内容的理解力[J].数学教学，2009（3）.
（作者单位：浙江省温岭市松门中学 317500）
关键词：数学教学；教师；学生
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）03-0111
如何精心地设计我们的教学，去建构一种适合概念生成的教学策略，让学生能在概念的发生、发展和同化过程中，领悟数学，运用数学，形成数学的理解力呢？本文通过“方程的根与函数的零点”课例，探讨如何紧扣概念教学过程中的关键节点，聚焦概念教学设计，探索学生形成数学概念理解的有效方法。
一、立足起点处的“切入点”，诱发理解动机
学习者的数学概念学得怎样，首先是其领悟数学的“起点”是否坚实。起点的确定，全凭教师对学生、对教材的细致“解读”，及借助于对数学教学规律的感悟与把握，通过有效情境最大限度地降低学生的理解难度，减缓学生的思维坡度，诱发学生主动、积极思考。
【案例片断1】函数“零点”概念的引入
师：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。从两个不同的角度看，或观察重点不同，得出了不同的结果。类似y=x-1，说出对不同角度的思考结果？
生：一次函数，图像是一条直线。
师：不错，从函数、图像看的确如此，那么，我们还可以将它看成什么，又可得出什么？令y=0，得x=1，问“1”怎样理解？……
【评析】从习得者的视角切入，营造概念认知的氛围，在学生认知的“原有发生区”与“最近发展区”的过渡处设问，学生思维易激活，能尽快融入课堂活动中。
二、立足生成处的“生长点”，夯实理解基础
对新数学概念的学习，有些可以直接用下定义的方式，有的却不行，如本课的“零点”，定义虽简单，却包含着重要的数学思想。所以，概念的习得需要一个过程，经历数学思想与数学概念的诞生与交融，也即学生原认知结构，需在不断的问题解决与认知中，不断同化、发展和完善。教学设计就须为此营造出适合学生基础、激活学习兴趣、具有一定思维力度的氛围，立足于概念生成处，做好细致的思维铺垫工作。
【案例片断2】函数“零点”概念的形成
师：通过解方程x2-2x-3=0，易知它的根为-1和3，那么，它对相应的二次函数y=x2-2x-3的图像有何作用？（即从“形”上看），从数的角度看，是什么？课本中，还将它称为函数的什么？
生：方程的根，也称之函数的零点。其实就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标。
师：是的，同是一个“数”，它在不同的背景下，我们有了不同的认识，你能简单地将它们“串连”起来吗？用谁来“判定”它们的不同情况？
生：我感觉用“根→交点→横坐标→零点”将它们“串连”起来比较适合……
生：用方程的“判别式”来区别最好。若Δ<0，方程无解，则二次函数的图像与x轴没有交点，也就无所谓交点，也就没有了“横坐标”，自然也就没有了“零点”。
师：大家认同他的说法吗？若Δ>0，Δ=0呢？刚才大家说的，可推广到“一般”情况，得出：二次函数的图像、二次方程的根与二次函数的零点之间的“等价”关系说法，请以表格的形式揭示（见下表）。
【评析】
零点知识是陈述性知识，关键不在于向学生提出这个概念，而是理解提出零点概念的产生过程与含义作用，始终抓住“数与形”两个角度诠释零点的意义，特别是在“等价关系”的应用上，使学生对函数零点概念本质的理解更透些。
三、立足关键词的“突破点”，形成自己的理解
學之道在于“悟”，在与理解，课堂教学如果进一步为学生营造一个展示的舞台，这无疑对概念形成自己的理解提供一个机不可失的机会，这不仅对当堂的概念有更深入的理解，同时对学生的数学素养带来潜移默化的影响。
【案例片断3】函数“零点”存在性定理的探究
师：任意函数都有零点吗？请举例说明，你能说明什么条件下，函数零点存在吗？
展示学生所画的函数图像（①反比例函数图1；②二次函数（图2-图4）；③一次函数图5）
师：能很清晰地看到函数图像与x轴有无交点，即函数有无零点，但是若不给你图，你觉得还有什么方法可以判断函数有无零点呢？
师：观察交点是怎么来的？是函数图像穿过x轴得到的。这是几何特征，那么能从数量上来描述特征吗？函数图像穿过x轴，穿过零点所在位置的一小段，我们不妨圈出一个小区间为[a，b]，零点设为c，（教师在图5上示范）。考虑函数值在a，c上的符号和c，b上的符号有什么特点？或者说在这些图像上圈圈看，看看函数值满足什么条件时，函数有零点？
（学生在自己画的图像上尝试）
生1：零点附近的函数值异号。
生2：他说的不完全是，相对图3，在零点的左右各取一个数，组成区间（a，b），则f（a）·f（b）>0。
生1：图3有两个零点，应该一个一个看，比如左边的零点的所在的区间（a，d），函数值异号。
师：现在我们发现可以是异号，也可以是同号，那你觉得哪个更靠谱？
生3：我在图2上取区间（a，b），此时f（a）·f（b）>0，但函数没有零点，所以我觉得用f（a）·f（b）<0用来判断更靠谱。
生4：我觉得当f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）可能有零点，可能没有。而当f（a）·f（b）<0时函数肯定有零点。
师：生4说得很好，除此外图像本身有什么要求？
生5：图像要连续不断。以图1为例，取区间（a，b），f（a）·f（b）<0，则函数没有零点。 师：由此说明要使函数零点存在，则必须满足什么条件？
生6：函数在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）·f（b）<0，函数存在零点。
师：满足定理条件的零点唯一吗？为什么？增加什么条件零点是唯一的？
生7：不唯一。如图6，我可以画很多个零点，函数在区间（a，b）单调递增或单调递减时，零点唯一。
【评析】
学生思考问题时充满个性化，面对同一问题都有自己的理解，都有自己的思考视角，教师要把思维空间让给学生，让学生形成对概念自己的理解。
四、立足成功处的“回归点”，促进深入理解
运用概念解决问题有助于加深学生对概念的理解和巩固，使概念的理解更具生成性，也有效地促进学生发展迁移的能力。
【案例片断4】函数“零点”知识的应用
师：请看方程lnx 2x-6=0，怎么判断是否有解？
生1：令y=lnx 2x-6，看函数y=lnx 2x-6是否有零点。
师：你可以想到用什么方法来判断函数的零点？（生说用定理），那么如何确定零点所在的区间？
生2：取值试试，比如取x=1，y=-4<0；y=ln2-2<0，x=3；y=ln3>0；x=5，y=ln5 4>0；……我发现后面继续取值，对应的函数值都为正，我觉得零点的区间应该在（2，3）之间。
师：对生2估算，大家感觉有效果吗？为什么？这与问题的特点有何关系？
生3：應该可以，它的做法符合“存在性定理”，因为“只问是否有解，没问多少呀”，肯定可以。
生4：其实只能有一个。因为函数y=lnx是单调递增的，函数也是单调递增的，由复合函数的性质，整个函数应该单调递增，所以它只能“穿过”轴一次。
师：有点意思，不仅知道存在，还知道有只有一个，那么，能知道这个根的具体值是多少吗？大家想想。
生5：不能，最多能估计更精确一点，比如再取得小一点，算算看。
师：是的，为什么叫“存在性定理”，大家知道其真实含义了吧！（稍停）除此外，还有什么方法判断函数只有一个零点？
生6：用函数单调性的定义法证明。
生7：把2x-6移到等号另一端，观察函数y=lnx和函数y=-2x 6的图像，发现两个函数只有一个交点，因此方程只有一个根。
师：那么这个零点大约多少？
生8：继续取值估计一下.我再取2.5试一试，估计是负的，那再取2.25……
【评析】
放手让学生自己用估算思想去探索零点区间，并引导学生尝试用多种方法去探索零点的个数，在这一过程中不仅回顾零点的本质含义，同时“身临其境”去找零点的区间、个数，与下节二分法求方程的近似解的思想一脉相承。
创设学生自主参与发展的学习环境，创设学生形成自己的理解的学习过程，以学生为本，通过学生自己实质性的思维活动，才能让学生对概念形成自己的理解，过程因探究而精彩，知识因理解而生动。
参考文献：
[1] 朱漫丽.基于理解的数学教学[J].中学数学月刊，2012（2）.
[2] 渠东剑.提高数学内容的理解力[J].数学教学，2009（3）.
（作者单位：浙江省温岭市松门中学 317500）