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一、教材分析
本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修4第三章第一节内容，教学课时为1课时。它是第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延伸和拓展，其中心任务是通过已学过的知识，探索建立两角差的余弦公式。它不仅是前面学过的诱导公式的推广，也是后面其他两角和差公式推导的基础和核心，只有对两角差的余弦公式有了深刻的认识，才能以此为基础推导出两角和的余弦公式，才能变换出其他公式。具有承上启下的作用，也是三角恒等变换这一章中的重要内容之一。
二、核心素养目标分析
1.教学目标
（1）必备知识
会用向量的数量积推导两角差的余弦公式，理解两角差的余弦公式的结构特征；熟记两角差的余弦公式，通过公式推导引导学生发现数学规律，从而能用两角差的余弦公式解决相关的数学问题，通过本节课的学习更好的体会向量在代数几何方面解决问题的方式和方法，构建新的知识体系。
（2）关键能力
培养学生严密而准确的数学表达能力以及逆向思维、发散思维能力、观察能力、逻辑推理能力和合作学习能力。
（3）人文价值
全面贯彻党的教育方针，以立德树人为根本任务，服务选才，引导教学，培养学生创新精神、团队合作意识和良好的学习兴趣。根据新课程标准的要求，从提高学生的素质和能力出发，结合学生心理发展的要求，培养学生独立的人格以及工匠精神和钻研精神；根据高中数学核心素养要求，培养学生学会学习，健康生活。
2.学科素养
在单位圆内的向量的数量积的运算过程中培养学生数学抽象素养；从推导两角差的余弦公式的过程中培养学生逻辑推理素养；在利用单位圆与向量解决问题的过程中培养学生数学建模素养；在两角差的余弦公式的应用中培养学生数学运算素养。通过以上对学生数学素养的培养，使学生能够用数学的眼光看世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界。
三、教学重点、难点
1.教学重点：两角差的余弦公式的推导和运用。
2.教学难点：如何引导学生用向量法推导两角差的余弦公式；如何用两角差的余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能。
四、学情分析
1.知识方面
高一学生已经完成了任意角三角函数、诱导公式和平面向量等基础知识的学习，能够熟练地用各章知识进行应用、变换。
2.能力方面
学生具备了发现问题和提出问题的能力，也有了一定的分析问题和解决问题的能力。可以进行数学表达和逻辑推理，但知识迁移方面可能能力较弱。
3.情感方面
学生有学习数学的兴趣，有学好数学的自信心，还有良好的数学学习习惯；有一定的自主学习能力，更有正确的人生观和价值观。
五、教法、学法分析
1.教法分析
以“学生为主体教师为主导”为原则，以学生的实际能力为出发点，尊重学生的原有知识水平，遵循认知规律，采用螺旋式上升教学法；因材施教，从发展的角度进行教学，采用兴趣教学法和探究式教学法。
2.学法分析
从学生的认知特点出发，采用“小组交流、合作探究”为主的学习方法；分步设计，拆分难点，逐步形成学生独立自主的学习模式。
3.调控方法
通过跟学生眼神交流，运用目光调控；通过学生课堂展示，运用激励调控等多种调控手段对课堂进程进行调控。
六、教学环节分析
1.设置情景，发现问题
由章头图给出的问题引入情境：（1）给出问题——电视发射塔建在一座小山上；（2）给出山高、在地面某点的仰角、某点到山顶的距离，求电视塔高；（3）发现问题能不能表示出两个角的和差的正弦、余弦、正切值呢？
2.大胆猜想，提出问题
教师提出：联系之前学过的知识，大胆猜想能否完成两角差的余弦公式的推导呢？学生思考大胆猜想可用三角和向量的数量积来解决问题，引入新课。
3.小組合作，分析问题
迅速在小组范围内开展问题讨论，由小组长带领找到单位圆中任意的两个向量，教师提示运用向量的数量积的两种形式来解决问题。学生分别复习回顾数量积的定义式（两个向量的数量积等于对应两个向量的模与夹角余弦的乘积）和坐标式（两个向量坐标对应相乘再相加）。在找坐标的过程中，应用到了任意角三角函数的定义，学生们运用向量工具进行探索，过程很简洁，计算量不大，很快得出结论：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。最终使学生突破了难点，增强了自信。
4.范例教学，解决问题
给出教材中例题1：利用两角差余弦公式求cos15°■的值。教师在黑板上板演，规范书写，以达到示范作用，并强调解题的思路、过程和方法，突出重点。
5.公式运用，应用问题
给出（2017年全国卷1）填空题：已知α∈（0，■），tanα
=2，则cos（α-■）=___。让学生在讲台上分析和讲解，利用多媒体和投影仪进行其解题过程展示，为学生提供展示自己的平台，使其树立自信，树立榜样。教师则辅助组织学生进行纠错，给学生提供帮助。
6.配置练习，巩固问题
分别选择教材例2和练习作为课上练习，进一步对本节内容进行巩固；再给出一些近几年相关高考题类型题作为辅助，体验独立解决问题的快乐；提出思考：能否表示出两角和的余弦公式？能否推导出两角和差的正弦、正切公式？保留问题在下节课解决。通过这样的设置，以期达到让全体同学学会，让学会的同学学好，让学好的学生会学的目的。
7.归纳总结，提升问题
归纳小结分为两部分，一部分是由学生用数学语言表述世界，总结本节课的收获，从知识方面和能力方面进行总结，也可以谈谈对本节课的体会和认识。另一部分由教师再次强调本节重点内容、重要方法和布置作业。
附：板书设计框架
两角差的余弦公式
一、知识点 二、例题 三、练习
本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修4第三章第一节内容，教学课时为1课时。它是第一章《三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延伸和拓展，其中心任务是通过已学过的知识，探索建立两角差的余弦公式。它不仅是前面学过的诱导公式的推广，也是后面其他两角和差公式推导的基础和核心，只有对两角差的余弦公式有了深刻的认识，才能以此为基础推导出两角和的余弦公式，才能变换出其他公式。具有承上启下的作用，也是三角恒等变换这一章中的重要内容之一。
二、核心素养目标分析
1.教学目标
（1）必备知识
会用向量的数量积推导两角差的余弦公式，理解两角差的余弦公式的结构特征；熟记两角差的余弦公式，通过公式推导引导学生发现数学规律，从而能用两角差的余弦公式解决相关的数学问题，通过本节课的学习更好的体会向量在代数几何方面解决问题的方式和方法，构建新的知识体系。
（2）关键能力
培养学生严密而准确的数学表达能力以及逆向思维、发散思维能力、观察能力、逻辑推理能力和合作学习能力。
（3）人文价值
全面贯彻党的教育方针，以立德树人为根本任务，服务选才，引导教学，培养学生创新精神、团队合作意识和良好的学习兴趣。根据新课程标准的要求，从提高学生的素质和能力出发，结合学生心理发展的要求，培养学生独立的人格以及工匠精神和钻研精神；根据高中数学核心素养要求，培养学生学会学习，健康生活。
2.学科素养
在单位圆内的向量的数量积的运算过程中培养学生数学抽象素养；从推导两角差的余弦公式的过程中培养学生逻辑推理素养；在利用单位圆与向量解决问题的过程中培养学生数学建模素养；在两角差的余弦公式的应用中培养学生数学运算素养。通过以上对学生数学素养的培养，使学生能够用数学的眼光看世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界。
三、教学重点、难点
1.教学重点：两角差的余弦公式的推导和运用。
2.教学难点：如何引导学生用向量法推导两角差的余弦公式；如何用两角差的余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能。
四、学情分析
1.知识方面
高一学生已经完成了任意角三角函数、诱导公式和平面向量等基础知识的学习，能够熟练地用各章知识进行应用、变换。
2.能力方面
学生具备了发现问题和提出问题的能力，也有了一定的分析问题和解决问题的能力。可以进行数学表达和逻辑推理，但知识迁移方面可能能力较弱。
3.情感方面
学生有学习数学的兴趣，有学好数学的自信心，还有良好的数学学习习惯；有一定的自主学习能力，更有正确的人生观和价值观。
五、教法、学法分析
1.教法分析
以“学生为主体教师为主导”为原则，以学生的实际能力为出发点，尊重学生的原有知识水平，遵循认知规律，采用螺旋式上升教学法；因材施教，从发展的角度进行教学，采用兴趣教学法和探究式教学法。
2.学法分析
从学生的认知特点出发，采用“小组交流、合作探究”为主的学习方法；分步设计，拆分难点，逐步形成学生独立自主的学习模式。
3.调控方法
通过跟学生眼神交流，运用目光调控；通过学生课堂展示，运用激励调控等多种调控手段对课堂进程进行调控。
六、教学环节分析
1.设置情景，发现问题
由章头图给出的问题引入情境：（1）给出问题——电视发射塔建在一座小山上；（2）给出山高、在地面某点的仰角、某点到山顶的距离，求电视塔高；（3）发现问题能不能表示出两个角的和差的正弦、余弦、正切值呢？
2.大胆猜想，提出问题
教师提出：联系之前学过的知识，大胆猜想能否完成两角差的余弦公式的推导呢？学生思考大胆猜想可用三角和向量的数量积来解决问题，引入新课。
3.小組合作，分析问题
迅速在小组范围内开展问题讨论，由小组长带领找到单位圆中任意的两个向量，教师提示运用向量的数量积的两种形式来解决问题。学生分别复习回顾数量积的定义式（两个向量的数量积等于对应两个向量的模与夹角余弦的乘积）和坐标式（两个向量坐标对应相乘再相加）。在找坐标的过程中，应用到了任意角三角函数的定义，学生们运用向量工具进行探索，过程很简洁，计算量不大，很快得出结论：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。最终使学生突破了难点，增强了自信。
4.范例教学，解决问题
给出教材中例题1：利用两角差余弦公式求cos15°■的值。教师在黑板上板演，规范书写，以达到示范作用，并强调解题的思路、过程和方法，突出重点。
5.公式运用，应用问题
给出（2017年全国卷1）填空题：已知α∈（0，■），tanα
=2，则cos（α-■）=___。让学生在讲台上分析和讲解，利用多媒体和投影仪进行其解题过程展示，为学生提供展示自己的平台，使其树立自信，树立榜样。教师则辅助组织学生进行纠错，给学生提供帮助。
6.配置练习，巩固问题
分别选择教材例2和练习作为课上练习，进一步对本节内容进行巩固；再给出一些近几年相关高考题类型题作为辅助，体验独立解决问题的快乐；提出思考：能否表示出两角和的余弦公式？能否推导出两角和差的正弦、正切公式？保留问题在下节课解决。通过这样的设置，以期达到让全体同学学会，让学会的同学学好，让学好的学生会学的目的。
7.归纳总结，提升问题
归纳小结分为两部分，一部分是由学生用数学语言表述世界，总结本节课的收获，从知识方面和能力方面进行总结，也可以谈谈对本节课的体会和认识。另一部分由教师再次强调本节重点内容、重要方法和布置作业。
附：板书设计框架
两角差的余弦公式
一、知识点 二、例题 三、练习