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数学直觉是人脑对于数学对象的某种迅速而直接的洞察或领悟，数学直觉的主要特征是非逻辑性，自发性和“不可解释性”，它能在一瞬间解决问题．数学直觉以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题的实质，它对培养学生的数学思维能力，增强数学悟性极其可贵．而正确的直觉是以逻辑为基础的，如果我们在数学教学中对直觉思维认识不够，特别是看不到或忽略了直觉思维的缺失所在，会给教师的“教”与学生的“学”带来许多的困惑．因此正确认识直觉思维的特点，对我们数学教育工作者来说就显得尤为重要了．
1 数学直觉的缺陷及对教学的影响
有些数学问题看似显然，凭直觉可以很快得到结果，但仔细一思考学生会感到茫然，在直觉的掩盖下，不利于学生思维进入角色的状态，不利于创设问题的情境，不利于培养学生的科学精神，因此数学教师应引导学生“谨慎”对待直觉结论，多问几个为什么，根据数学直觉的不足，从更深层次去思考问题．
1．1 类比直觉导致概念混淆
在教学中很多教师都会遇到，有学生会写出sin(α+β)=sinα+sinβ，lg(a+b)=lga+lgb等错误式子，这无疑是学生在熟知2(a+b)=2a+2b的背景下产生的一种负迁移，之所以这样是因为学生只看到了新旧知识形式的类似，而不懂得它们实质上的不同，学生把2(a+b)=2a+2b这个式子本身当成了知觉对象，只是从形式上把握了这个式子的结构，而在知觉条件发生变化的情况下，仍然保持了知觉的恒常性，显然这样的直觉在学习中是有害的．
1．2 数形直觉忽视入微细节
解决数学问题时，常对数字语言和数学图形语言有直觉的理解，以“形”助“数”，由“数”思“形”，数形结合，优势互补，然而这样的思维常忽略了一些入微的细节，导致错误的结果．
例1方程（ 1 16 ）|x|=|log 1 16 x|实根的个数（）
(A) 1个．(B) 2个．(C) 3个．(D) 4个．
分析： 作函数y=( 1 16 )|x|与函数y=|log 1 16 x|的简图，得答案（B）．
这个答案对大多数学生甚至老师都没有表示怀疑，但对那些善于钻研和思考的学生来说，并没有就此而止，有人提出：图形准确吗?仔细观察发现x= 1 2 ，x= 1 4 都是方程的解，这说明作图真的不准确，再准确作图可得在区间(0，1)上有三解，在区间(1，+∞)上有一个解，所以该选(D)．
1．3 经验直觉掩盖发现过程
凭经验我们可以很快发现解决问题的途径，但这在很多情况下掩盖了学生对问题的发现和探索过程，G．波利亚说过“学生学习任何东西的最好途径是自己去发现．”学生在探索过程中不断地发现新问题，才是我们最佳的教学方式．
更主动、更有效，是从简单的“学会”到广泛的“会学”的“捷径”指导，令学生一劳永逸，终身“减负”． 参考文献
1 孙旭花．美国数学中的数学日记．广州师范学院学报，1997
2 文萍．心理学理论与教育．广西师范大学出版社，1999
3 吴增强．现代学校心理辅导．上海科学技术文献出版社，1998例2已知 x+y=1，求证： xn+yn≥ 1 2n-1(n∈ N+ )
分析： 看到本题学生会毫不犹豫地想到数学归纳法．方法虽不错，但似乎缺少点什么．深入分析已知条件会有如下巧 解：
设 x= 1 2 +t, y= 1 2 -t，则有
xn+yn=( 1 2 +t)n+( 1 2 -t)n=2［C0n( 1 2 )n+C2n( 1 2 )n-2t2+…］≥ 1 2n-1(n∈ N+ ).
本题如果停留在经验的基础上不深入发现已知条件的特征，就得不到上述美妙的证法．
1．4 习惯直觉阻碍创造性思维
习惯的背景下阻碍了学生的探索过程，不利于创造性思维的发挥．
图1例3如图1，用六种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域分别涂色，每个区域只能涂一种颜色，且要求相邻的区域不涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种?
按习惯，涂色顺序为A-B-C-D，所以共有6×5×4×5=600(种)．不少人到此为止，不去思考了．然而你仔细一想，按不同的顺序会有不同的结果吗?如果按A-D-C-B涂有6×6×4×4=576(种)，若按A-D-B-C涂有6×6×5×3=540(种)．这是什么原因呢?是习惯背景下抹杀了学生的创造性思维．
事实上，此类问题可以分类讨论：
Ⅰ)6种颜色选4种涂A-B-C-D有
A46=360（种）
Ⅱ)6种颜色选同一种颜色涂2个区域只有A-D或B-D满足条件，各有A16A25=120（种）．
Ⅲ) 无三个或三个以上的区域涂同一种颜色．
于是，共有A46+A16A25+A16A25=600(种)
由上可知，第一种涂法答案正确只是一种巧合，进一步思考，回到分类讨论，才会得到让人心服神悦的解答．
1．5 模型直觉弱化理性思维
用具体模型代替抽象问题，往往能得到问题的结论，但这一过程缺少理性思维，会导致学生知其然而不知其所以然．
例4函数f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且 f(xy)=f(x)+f(y), f(4)=1.
(1) 求f(16)的值．
(2) 证明: f(xn)=nf(x)(n∈ N+ )
分析： 看到f(xy)=f(x)+f(y)，凭直觉马上想到了f(x)=logax, 而 f(4)=1, 所以 f(16)=log416=2，f(xn)=log4xn=nlog4x=nf(x).
作完此题，不免会问，f(x)是对数函数吗?会不会是别的函数呢?理由总觉得不充分．事实上，设x=bu，y=by,则f(bu+v)=f(bu)+f(bv)．
又设 φ(t)=f(bt)，则φ(u+v)=φ(u)+φ(v)，φ(0)=0．
从而φ(t)是线性函数，且φ(0)=0．所以可设φ(t)=ct
所以 f(bt)=ct,设bt=x，则t=logbx．
所以f(x)=clogbx
所以f(x)=logax(a=b 1 c )．
这样一来，就回答了f(x)是对数函数的问题．这个推理过程连续使用了多次换元的思想，光凭直觉学生是会似懂非懂的，有了理性的分析与推理，结果就大不相同了．
2 直觉思维的不足对教学的启迪
了解了直觉思维的不足，教学中我们又怎样去克服这些不足呢?怎样合理地运用直觉思维来帮助我们解决问题呢?我们不妨从下列三个方面来思考．
2．1 树立正确的数学观
教师如果把数学只看成是一整套已知的、确定的概念、原理和技能的静止的体系，那么，教学就只能是知识结果的传授和技能的训练，这样的教学让学生得到的是僵化的知识和片面的技能，难免导致sin(α+β)=sinα+sinβ，lg(a+b)=lga+lgb的出现．现代教育思想则认为，“数学是人类创造发明的一个连续发展的领域”，数学教育应该更加重知识的获得过程，重视帮助学生学会像科学家那样去工作和思维．“数学的根源在于普通的常识”，所以，要为学生提供一系列的实物模型和语言描述，让学生借此进行认知活动(包括观察、倾听、操作和计算等)，以便学生能够建立事物的特征和联系的感觉、知觉、表象和观念．我们在概念的教学过程中，要依照概念形成的方式进行教学，扎扎实实地完成概念形成的每一个步骤，如没有经历概念形成的全过程，学生往往很难全面正确地理解概念，很容易造成对概念的片面、孤立甚至错误的理解．只有通过概念形成过程的展示，才能帮助学生主动获取信息，并将概念内化到自身知识结构中去．
2．2 认清学习的本质
学习是学生以自己已有的知识经验为依托所进行的积极主动的建构活动．这有两个含义：一是学习的主体性．一切数学知识、技能和思想的获得，都必须经过学生主体的主动感知、消化和改造来实现．“如果学生不通过自己的思维来学数学，他就会觉得数学像无法把握的风筝．”二是学习过程的完整性．学是在原有认知结构的基础上进行的，如果原有认知结构不恰当或可利用性差，那么，新的建构活就会没有逻辑意义或根本无法发生．从建构过程中思维方式的选择来看，虽然人的认知发展自低到高可以分为感知运算阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶，但是，发展到较高级阶段的学生仍然具有低级认识形式．在学习中，学生采用什么思维方式，往往与学习内容的新旧难易有关．中学生主要采用以经验型为主的抽象思维，还需要具体形象和经验的支持，如果学习内容是学生首次接触的或超过了一定的难度，那么他们学习这些内容的思维水平就会倒退到低一级的思维水平．尤其在遇到学习困难的时候更是如此．
2．3 充分运用分析思维与直觉思维的互补作用
在解决数学问题的过程中，分析思维与直觉思维是相互补充、相互作用的，直觉存在于逻辑方法运用过程的整体或局部．通常在主体接触问题之后，首先就有一个依靠直觉判断选择策略、制定计划的阶段，然后才能动用分析思维进行逻辑推理和集中思维以使认识逐步深入．而在局部的前进过程中思维受阻后，则仍需依靠直觉思维去重新探索、猜测和想像，使思维发散直至找到新的正确思路．在这个过程中，就主要倾向而言，直觉思维是数学发现的重要方法，而分析思维则是解决问题的基本方法．因此，在具体的数学思维过程中，主体应加强这两种思维方式辩证运用的自觉意识，特别是要重视直觉思维在解决问题时的指引方向和调整思路的重要作用．
在数学教学中，培养学生辩证运用分析思维与直觉思维的自觉意识，是发展数学思维能力的一个重要方面．通常可以从下列几种角度加以引导：
(1) 在教学过程中运用分析思维与直觉思维思考问题的局部环节，启发学生进行直觉判断，恰当地简缩逻辑思维，培养透视问题实质和快速反应的直觉能力．
(2) 在解题过程中注意问题整体的观察思考，提倡大步骤思维，把握总体的思维策略或入手方向，造成直觉引路、分析铺路的良好思维习惯．
(3) 结合数学问题实际，发展形象思维，重视形象直感和图形、图式想像的因素与关系，诱发数学直觉的酝酿和构思．
(4) 养成独立钻研问题，较长时间集中注意力思考问题，强化创造意识的学习习惯，形成问题情景的强烈气氛和直觉准备．注意思想集中与适当分散的辩证关系，达到产生融会贯通，培植灵感爆发或顿悟的基本环境．
总之，我们希望的是直觉思维的正确合理的运用，认清直觉思维与其他思维形式的辩证关系，对老师的“教”和学生的“学”都能起到有益的作用．
参考文献
1 任樟辉． 数学思维论．广西教育出版社
2 李家煜．“显然”其实不显然．数学通报，2003（10）
3 周以宏． 数学直觉与解题思路．数学通报，2003（5）
4 武锡环，张文惠．(a+b)2=a2+b2．现象与直觉模型的缺乏．数学通报，2003（8）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1 数学直觉的缺陷及对教学的影响
有些数学问题看似显然，凭直觉可以很快得到结果，但仔细一思考学生会感到茫然，在直觉的掩盖下，不利于学生思维进入角色的状态，不利于创设问题的情境，不利于培养学生的科学精神，因此数学教师应引导学生“谨慎”对待直觉结论，多问几个为什么，根据数学直觉的不足，从更深层次去思考问题．
1．1 类比直觉导致概念混淆
在教学中很多教师都会遇到，有学生会写出sin(α+β)=sinα+sinβ，lg(a+b)=lga+lgb等错误式子，这无疑是学生在熟知2(a+b)=2a+2b的背景下产生的一种负迁移，之所以这样是因为学生只看到了新旧知识形式的类似，而不懂得它们实质上的不同，学生把2(a+b)=2a+2b这个式子本身当成了知觉对象，只是从形式上把握了这个式子的结构，而在知觉条件发生变化的情况下，仍然保持了知觉的恒常性，显然这样的直觉在学习中是有害的．
1．2 数形直觉忽视入微细节
解决数学问题时，常对数字语言和数学图形语言有直觉的理解，以“形”助“数”，由“数”思“形”，数形结合，优势互补，然而这样的思维常忽略了一些入微的细节，导致错误的结果．
例1方程（ 1 16 ）|x|=|log 1 16 x|实根的个数（）
(A) 1个．(B) 2个．(C) 3个．(D) 4个．
分析： 作函数y=( 1 16 )|x|与函数y=|log 1 16 x|的简图，得答案（B）．
这个答案对大多数学生甚至老师都没有表示怀疑，但对那些善于钻研和思考的学生来说，并没有就此而止，有人提出：图形准确吗?仔细观察发现x= 1 2 ，x= 1 4 都是方程的解，这说明作图真的不准确，再准确作图可得在区间(0，1)上有三解，在区间(1，+∞)上有一个解，所以该选(D)．
1．3 经验直觉掩盖发现过程
凭经验我们可以很快发现解决问题的途径，但这在很多情况下掩盖了学生对问题的发现和探索过程，G．波利亚说过“学生学习任何东西的最好途径是自己去发现．”学生在探索过程中不断地发现新问题，才是我们最佳的教学方式．
更主动、更有效，是从简单的“学会”到广泛的“会学”的“捷径”指导，令学生一劳永逸，终身“减负”． 参考文献
1 孙旭花．美国数学中的数学日记．广州师范学院学报，1997
2 文萍．心理学理论与教育．广西师范大学出版社，1999
3 吴增强．现代学校心理辅导．上海科学技术文献出版社，1998例2已知 x+y=1，求证： xn+yn≥ 1 2n-1(n∈ N+ )
分析： 看到本题学生会毫不犹豫地想到数学归纳法．方法虽不错，但似乎缺少点什么．深入分析已知条件会有如下巧 解：
设 x= 1 2 +t, y= 1 2 -t，则有
xn+yn=( 1 2 +t)n+( 1 2 -t)n=2［C0n( 1 2 )n+C2n( 1 2 )n-2t2+…］≥ 1 2n-1(n∈ N+ ).
本题如果停留在经验的基础上不深入发现已知条件的特征，就得不到上述美妙的证法．
1．4 习惯直觉阻碍创造性思维
习惯的背景下阻碍了学生的探索过程，不利于创造性思维的发挥．
图1例3如图1，用六种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域分别涂色，每个区域只能涂一种颜色，且要求相邻的区域不涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种?
按习惯，涂色顺序为A-B-C-D，所以共有6×5×4×5=600(种)．不少人到此为止，不去思考了．然而你仔细一想，按不同的顺序会有不同的结果吗?如果按A-D-C-B涂有6×6×4×4=576(种)，若按A-D-B-C涂有6×6×5×3=540(种)．这是什么原因呢?是习惯背景下抹杀了学生的创造性思维．
事实上，此类问题可以分类讨论：
Ⅰ)6种颜色选4种涂A-B-C-D有
A46=360（种）
Ⅱ)6种颜色选同一种颜色涂2个区域只有A-D或B-D满足条件，各有A16A25=120（种）．
Ⅲ) 无三个或三个以上的区域涂同一种颜色．
于是，共有A46+A16A25+A16A25=600(种)
由上可知，第一种涂法答案正确只是一种巧合，进一步思考，回到分类讨论，才会得到让人心服神悦的解答．
1．5 模型直觉弱化理性思维
用具体模型代替抽象问题，往往能得到问题的结论，但这一过程缺少理性思维，会导致学生知其然而不知其所以然．
例4函数f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且 f(xy)=f(x)+f(y), f(4)=1.
(1) 求f(16)的值．
(2) 证明: f(xn)=nf(x)(n∈ N+ )
分析： 看到f(xy)=f(x)+f(y)，凭直觉马上想到了f(x)=logax, 而 f(4)=1, 所以 f(16)=log416=2，f(xn)=log4xn=nlog4x=nf(x).
作完此题，不免会问，f(x)是对数函数吗?会不会是别的函数呢?理由总觉得不充分．事实上，设x=bu，y=by,则f(bu+v)=f(bu)+f(bv)．
又设 φ(t)=f(bt)，则φ(u+v)=φ(u)+φ(v)，φ(0)=0．
从而φ(t)是线性函数，且φ(0)=0．所以可设φ(t)=ct
所以 f(bt)=ct,设bt=x，则t=logbx．
所以f(x)=clogbx
所以f(x)=logax(a=b 1 c )．
这样一来，就回答了f(x)是对数函数的问题．这个推理过程连续使用了多次换元的思想，光凭直觉学生是会似懂非懂的，有了理性的分析与推理，结果就大不相同了．
2 直觉思维的不足对教学的启迪
了解了直觉思维的不足，教学中我们又怎样去克服这些不足呢?怎样合理地运用直觉思维来帮助我们解决问题呢?我们不妨从下列三个方面来思考．
2．1 树立正确的数学观
教师如果把数学只看成是一整套已知的、确定的概念、原理和技能的静止的体系，那么，教学就只能是知识结果的传授和技能的训练，这样的教学让学生得到的是僵化的知识和片面的技能，难免导致sin(α+β)=sinα+sinβ，lg(a+b)=lga+lgb的出现．现代教育思想则认为，“数学是人类创造发明的一个连续发展的领域”，数学教育应该更加重知识的获得过程，重视帮助学生学会像科学家那样去工作和思维．“数学的根源在于普通的常识”，所以，要为学生提供一系列的实物模型和语言描述，让学生借此进行认知活动(包括观察、倾听、操作和计算等)，以便学生能够建立事物的特征和联系的感觉、知觉、表象和观念．我们在概念的教学过程中，要依照概念形成的方式进行教学，扎扎实实地完成概念形成的每一个步骤，如没有经历概念形成的全过程，学生往往很难全面正确地理解概念，很容易造成对概念的片面、孤立甚至错误的理解．只有通过概念形成过程的展示，才能帮助学生主动获取信息，并将概念内化到自身知识结构中去．
2．2 认清学习的本质
学习是学生以自己已有的知识经验为依托所进行的积极主动的建构活动．这有两个含义：一是学习的主体性．一切数学知识、技能和思想的获得，都必须经过学生主体的主动感知、消化和改造来实现．“如果学生不通过自己的思维来学数学，他就会觉得数学像无法把握的风筝．”二是学习过程的完整性．学是在原有认知结构的基础上进行的，如果原有认知结构不恰当或可利用性差，那么，新的建构活就会没有逻辑意义或根本无法发生．从建构过程中思维方式的选择来看，虽然人的认知发展自低到高可以分为感知运算阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶，但是，发展到较高级阶段的学生仍然具有低级认识形式．在学习中，学生采用什么思维方式，往往与学习内容的新旧难易有关．中学生主要采用以经验型为主的抽象思维，还需要具体形象和经验的支持，如果学习内容是学生首次接触的或超过了一定的难度，那么他们学习这些内容的思维水平就会倒退到低一级的思维水平．尤其在遇到学习困难的时候更是如此．
2．3 充分运用分析思维与直觉思维的互补作用
在解决数学问题的过程中，分析思维与直觉思维是相互补充、相互作用的，直觉存在于逻辑方法运用过程的整体或局部．通常在主体接触问题之后，首先就有一个依靠直觉判断选择策略、制定计划的阶段，然后才能动用分析思维进行逻辑推理和集中思维以使认识逐步深入．而在局部的前进过程中思维受阻后，则仍需依靠直觉思维去重新探索、猜测和想像，使思维发散直至找到新的正确思路．在这个过程中，就主要倾向而言，直觉思维是数学发现的重要方法，而分析思维则是解决问题的基本方法．因此，在具体的数学思维过程中，主体应加强这两种思维方式辩证运用的自觉意识，特别是要重视直觉思维在解决问题时的指引方向和调整思路的重要作用．
在数学教学中，培养学生辩证运用分析思维与直觉思维的自觉意识，是发展数学思维能力的一个重要方面．通常可以从下列几种角度加以引导：
(1) 在教学过程中运用分析思维与直觉思维思考问题的局部环节，启发学生进行直觉判断，恰当地简缩逻辑思维，培养透视问题实质和快速反应的直觉能力．
(2) 在解题过程中注意问题整体的观察思考，提倡大步骤思维，把握总体的思维策略或入手方向，造成直觉引路、分析铺路的良好思维习惯．
(3) 结合数学问题实际，发展形象思维，重视形象直感和图形、图式想像的因素与关系，诱发数学直觉的酝酿和构思．
(4) 养成独立钻研问题，较长时间集中注意力思考问题，强化创造意识的学习习惯，形成问题情景的强烈气氛和直觉准备．注意思想集中与适当分散的辩证关系，达到产生融会贯通，培植灵感爆发或顿悟的基本环境．
总之，我们希望的是直觉思维的正确合理的运用，认清直觉思维与其他思维形式的辩证关系，对老师的“教”和学生的“学”都能起到有益的作用．
参考文献
1 任樟辉． 数学思维论．广西教育出版社
2 李家煜．“显然”其实不显然．数学通报，2003（10）
3 周以宏． 数学直觉与解题思路．数学通报，2003（5）
4 武锡环，张文惠．(a+b)2=a2+b2．现象与直觉模型的缺乏．数学通报，2003（8）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文