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所谓批判性思维是对自己或别人的观点进行反思、提出质疑,弄清情况和进行独立分析的过程。现代数学中,应加强对学生思维批判性的培养,优化学生的思维品质,促进学生素质的全面发展。长期以来,在数学教学过程中,我们往往忽略了对学生批判性思维的有意识的培养,以致于我们有的学生接受知识能力很强,而独立探究获取知识的能力却很差。所以应让学生做到敢于怀疑,勇于提出批判性、发展性意见,发展实践能力与创新精神。可以这样说,学生的数学素养,只有在批判错误、肯定正确的过程中才能获得提高。本文就思维批判性的培养介绍几种方法。
一、对思维起点作批判性审视
不论你要进行归纳还是演绎,分析还是综合,都要从一定的素材出发,进行思维。现在许多学生正习惯于解些理想化的题目。总以为题目所给条件是完全够用的,也是恰好够用的;所给结论是绝对无误的,因而见到题目就产生思维定势;只要把条件用完,得出题目中的结论就行。而在实际生活和科学实际中,问题的解决并非如此简单规范,面对实际背景所提供的素材,需要解题者作出批判性筛选、提取,否则,很可能在一大堆杂乱无章的素材前迷失方向,即使那些有用的原始素材,也未必都适合作为思维的起点,它的“有用”,也许只是细枝末节,如果在此纠缠不清,极易陷入山重水复的境地,必须作出果断的舍弃,选准一个实质性的突破口,才能有柳暗花明的效果。
例1、已知 ,求 的值。
思路一,从结论入手,想把 用 和 表示
评析:这是不可能的,无论耗费多少精力,都是枉然。
思路二,从条件出发,表示成
解这个分式方程求n
评析:约分后表达式中不定因素太多,难以通行。
思路三,从给出的条件 成立入手考虑,它还隐含着下面条件5≤n且n≤5,于是得n=5,从而求出
评析:尽快从“思路一”和“思路二”中跳出来,反问 有何作用?反映什么情况?这一质疑,就可得到新的思维起点。
二、对思维过程作批判性监控
解题中即使思维起点选对了,也未必就一帆风顺。有时要经过多次的猜测、试证、调整……,这就需
要经常地对不合理的思维做出否定。
例2、已知圆的方程x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,yo)的切线方程。(答案:xx0+yyo=r2)
在教学时,可提出以下几个问题。
变式一:若点M(x0,yo)在圆内,则直线xx0+yyo=r2与圆有什么关系?这时学生便会异口同声地回答:相交!当然他们是凭感觉。这时可再问:“是怎样判断的?”,’答:“因为点M在圆内。”“作出猜测是可以的,但接下来就应给出严格证明,请完成这一工作!”,学生兴趣很高,全部动起手来。
思路一,联立方程组 消去y,算得判别式△ 思路二,考虑圆心到直线的距离,d= > =r故相离。
评析:学生开始时凭直觉思维估计是相交的,而实际上是相离的,,不得不作出自我否定。“思路一”过程繁琐,运算量大,有的人判断出相离后,还认为是运算错误,反复检查,费时耗力。“思路二”直接自然,几何意义明显,令人赏心悦目。这也同时启发学生,在正确解法中,要尽可能寻求“最优”解。接着给出:
变式2,若点M(x0,yo)在圆x2+y2=r2外,直线xx0+yyo=r2与圆又有什么关系?这次学生就不会有错了。
三、对思维结果作批判性评价
在应试教育下,学生为分数而练,为分数而考。当一个题目解完(或自认为“解完”)后,就弃之不顾了,而在提倡素质教育的今天,所要做的事情还很多,最大限度地开发这种题目的训练价值,正是提高思维品质的有效手段,应引导学生对题目作出批判性评价,作进一步的挖掘:①题目结果还能否进一步深化或推广?②能否有其它条件,也能得到这样的结果?③如果改變条件,能否出现其它结论呢?
如上面例2,还可提出以下几个问题。
变式3,若直线Ax+By=r2与x2+y2=r2相离,则点M(A,B)一定在圆内。
变式4 点M(x0,yo)在x2+y2=r2内,射线OM交圆于P,交直线l:xx0+yyo=r2于N,则①OM⊥l ②|OM| |ON| = |OP|2
变式5,直线:Ax+By=r2与圆x2+y2=r2相离,N为l上任意一点,ON交圆于P,M在OP上,且|OM| |ON| = |OP|2则点M的轨迹是圆。
变式6,已知椭圆 ,直线l: ,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ| |OP| = |OR|2。当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
总之,在数学教学中培养学生的批判性思维是一个大课题,需要我们不懈的努力,让学生思维的深刻性,敏捷性,灵活性,独创性和批判性协调发展,使学生的思维品质得到进一步优化,这对学生的终身发展有着十分重大的意义。
一、对思维起点作批判性审视
不论你要进行归纳还是演绎,分析还是综合,都要从一定的素材出发,进行思维。现在许多学生正习惯于解些理想化的题目。总以为题目所给条件是完全够用的,也是恰好够用的;所给结论是绝对无误的,因而见到题目就产生思维定势;只要把条件用完,得出题目中的结论就行。而在实际生活和科学实际中,问题的解决并非如此简单规范,面对实际背景所提供的素材,需要解题者作出批判性筛选、提取,否则,很可能在一大堆杂乱无章的素材前迷失方向,即使那些有用的原始素材,也未必都适合作为思维的起点,它的“有用”,也许只是细枝末节,如果在此纠缠不清,极易陷入山重水复的境地,必须作出果断的舍弃,选准一个实质性的突破口,才能有柳暗花明的效果。
例1、已知 ,求 的值。
思路一,从结论入手,想把 用 和 表示
评析:这是不可能的,无论耗费多少精力,都是枉然。
思路二,从条件出发,表示成
解这个分式方程求n
评析:约分后表达式中不定因素太多,难以通行。
思路三,从给出的条件 成立入手考虑,它还隐含着下面条件5≤n且n≤5,于是得n=5,从而求出
评析:尽快从“思路一”和“思路二”中跳出来,反问 有何作用?反映什么情况?这一质疑,就可得到新的思维起点。
二、对思维过程作批判性监控
解题中即使思维起点选对了,也未必就一帆风顺。有时要经过多次的猜测、试证、调整……,这就需
要经常地对不合理的思维做出否定。
例2、已知圆的方程x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,yo)的切线方程。(答案:xx0+yyo=r2)
在教学时,可提出以下几个问题。
变式一:若点M(x0,yo)在圆内,则直线xx0+yyo=r2与圆有什么关系?这时学生便会异口同声地回答:相交!当然他们是凭感觉。这时可再问:“是怎样判断的?”,’答:“因为点M在圆内。”“作出猜测是可以的,但接下来就应给出严格证明,请完成这一工作!”,学生兴趣很高,全部动起手来。
思路一,联立方程组 消去y,算得判别式△
评析:学生开始时凭直觉思维估计是相交的,而实际上是相离的,,不得不作出自我否定。“思路一”过程繁琐,运算量大,有的人判断出相离后,还认为是运算错误,反复检查,费时耗力。“思路二”直接自然,几何意义明显,令人赏心悦目。这也同时启发学生,在正确解法中,要尽可能寻求“最优”解。接着给出:
变式2,若点M(x0,yo)在圆x2+y2=r2外,直线xx0+yyo=r2与圆又有什么关系?这次学生就不会有错了。
三、对思维结果作批判性评价
在应试教育下,学生为分数而练,为分数而考。当一个题目解完(或自认为“解完”)后,就弃之不顾了,而在提倡素质教育的今天,所要做的事情还很多,最大限度地开发这种题目的训练价值,正是提高思维品质的有效手段,应引导学生对题目作出批判性评价,作进一步的挖掘:①题目结果还能否进一步深化或推广?②能否有其它条件,也能得到这样的结果?③如果改變条件,能否出现其它结论呢?
如上面例2,还可提出以下几个问题。
变式3,若直线Ax+By=r2与x2+y2=r2相离,则点M(A,B)一定在圆内。
变式4 点M(x0,yo)在x2+y2=r2内,射线OM交圆于P,交直线l:xx0+yyo=r2于N,则①OM⊥l ②|OM| |ON| = |OP|2
变式5,直线:Ax+By=r2与圆x2+y2=r2相离,N为l上任意一点,ON交圆于P,M在OP上,且|OM| |ON| = |OP|2则点M的轨迹是圆。
变式6,已知椭圆 ,直线l: ,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ| |OP| = |OR|2。当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
总之,在数学教学中培养学生的批判性思维是一个大课题,需要我们不懈的努力,让学生思维的深刻性,敏捷性,灵活性,独创性和批判性协调发展,使学生的思维品质得到进一步优化,这对学生的终身发展有着十分重大的意义。