角平分线是一条值得关注的特殊射线，它是角的对称轴，沿着这条射线可以将角的一边翻折到另一边．因此，在解决与角平分线有关的问题时，我们常常利用翻折变换，使问题迎刃而解．
　　例１如图１，已知△ＡＢＣ中，Ｐ是∠Ａ外角平分线上一点，求证：ＰＢ＋ＰＣ＞ＡＢ＋ＡＣ．
　　分析：考虑到ＡＰ是角平分线，把△ＰＡＣ沿ＡＰ翻折到△ＰＡＤ位置，此时Ｄ点在ＢＡ延长线上，ＡＤ＝ＡＣ，ＰＣ＝ＰＤ，从而ＡＢ＋ＡＣ＝ＡＢ＋ＡＤ＝ＢＤ＜ＰＢ＋ＰＤ，所以ＰＢ＋ＰＣ＞ＡＢ＋ＡＣ．
　　


　　
　　例２如图２，已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＡＢ＞ＡＣ，求证：ＢＤ＞ＤＣ.
　　证明：如图２，在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ，连结ＤＥ．则由“ＳＡＳ”公理，易得△ＡＤＥ≌△ＡＤＣ，从而ＤＥ＝ＤＣ，∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＣ，
　　因为∠ＢＥＤ＞∠ＡＤＥ，∠ＡＤＣ＞∠Ｂ，
　　所以∠ＢＥＤ＞∠Ｂ，
　　所以ＢＤ＞ＤＥ，
　　所以ＢＤ＞ＤＣ．
　　注：这里辅助线的作法相当于将△ＡＣＤ沿ＡＤ翻折到△ＡＥＤ．
　　例３如图３，已知Ｐ是△ＡＢＣ的角平分线ＡＤ上一点，ＡＢ＞ＡＣ，求证：ＰＢ＞ＰＣ．
　　


　　
　　 分析：将△ＡＣＰ沿ＡＤ翻折到△ＡＥＰ，则由ＡＢ＞ＡＣ及ＡＤ为角平分线可知点Ｅ在ＡＢ上，ＰＣ＝ＰＥ．接下来只须证明ＰＢ＞ＰＥ，设法证明∠ＰＥＢ＞∠ＰＢＥ．延长ＥＰ交ＡＣ于Ｆ，则∠ＢＥＰ＞∠ＡＦＥ＞∠ＡＣＤ＞∠ＡＢＣ＞∠ＡＢＰ，所以ＰＢ＞ＰＥ成立，从而ＰＢ＞ＰＣ．
　　例４如图４，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝１００°，ＢＤ是∠Ｂ的平分线，求证：ＡＤ＋ＢＤ＝ＢＣ．
　　


　　分析：首先将△ＡＢＤ沿ＢＤ翻折到△ＥＢＤ，则点Ｅ在ＢＣ上，ＡＤ＝ＤＥ．
　　 由ＡＢ＝ＡＣ及∠Ａ＝１００°易知∠Ｃ＝４０°，∠ＤＥＣ＝８０°，∠ＥＤＣ＝６０°，作∠ＣＤＦ＝４０°，ＤＦ交ＣＥ于Ｆ，则∠ＤＦＥ＝８０°＝∠ＤＥＦ，从而ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＦ；又易知∠ＢＤＦ＝８０°＝∠ＢＦＤ，从而ＢＤ＝ＢＦ，
　　所以ＡＤ＋ＢＤ＝ＣＦ＋ＢＦ＝ＢＣ．
　　★编辑/王一鸣