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【摘要】数学知识抽象性极高,因此,将数形结合思想灵活运用,不仅便于解题,而且能激发学生想象力以及创新能力,但采用数形结合思想解题时必须了解题目本质,把握基本的数学知识,将数学公式、概念灵活转换成图形,方能提高解题效率.本文着重讲述数形结合的概念以及实例,以期拓展数形结合思想的应用.
【关键词】数形结合;数学;应用研究
新课改背景下,数学知识点增多,且难度加大,解题方式多元化,而数形结合的灵活运用可以使抽象的数学问题简化,以直观的图形形式呈现给学生,以辅助的方式引领学生探索答案.此方式不仅能提高学生的数学兴趣,而且能有效加强思维创新以及想象能力,最关键的是将复杂的题目大幅简化,减轻学生压力,增加正确率.
一、数形结合的概念以及解决问题的对象
所谓数形结合,是指把握数学问题的本质,了解问题条件以及所需结果的内在联系,不仅理解其代数关系,还需掌握几何联系,将代数关系以空间形式呈现,并从中探索出解题思路,进而获得答案.总而言之,其本质在于将代数问题几何化,抽象问题具体化.
目前,数形结合思想已广泛运用于高中数学,例如,将函数问题转化为几何模型,从模型中提取参数范围并求解;代数问题是数形结合思想应用效果最显著的问题,根据图形分析问题实质,了解斜率、截距、极值等数据,甚至从结构位置关系判断代数关系,进而求解.
二、数形结合方法的意义
1.激活课堂氛围.数形结合属于偏实践性教学,因此,能够有效调动学生情绪,激活课堂氛围,尤其是针对理工专业学生,愿意探究内部规律,加之男生数量较多,课堂互动性更好,师生沟通更为密切.
2.多领域共同学习.理工专业课程也涉及大量高中数学知识,可以根据数形结合思想从专业内容找到学习途径,例如,物理专业的积分计算物体位移、加速度等,或者是区域累积量问题等,均能体现出该方法的优势.
3.激发学习兴趣,抽象的数学问题会导致部分学生感到沉闷,甚至产生畏难情绪,这是由于他们无法掌握数学问题的本质,没有解题思路.但图形属于直观形式,将复杂问题简单化,而且相比代数或者函数等数学内容,图形会带给学生熟悉感,进而激发学生的解题兴趣.
4.提高数学分析能力.众所周知,绝大部分数学知识均为抽象的数字,而几何知识只占据小部分,但若将数形结合思想代入数学学习,不仅将数学知识形式转化,同时加强学生的空间想象力,寻求不同的解题方法,脑海中创建问题模型,提高数学分析能力.
5.通过实践表明,高中院校的数学课程经常将复杂的知识内容拆分为细小单元,找到几何化思路,激发学生自主实践能力,从绘画图形中寻找问题本质.例如,高中数学知识中包含中值定理,大量的推导公式加深学生的理解难度,而结合图形说明中值定理的概念意义并引导学生提出问题,不仅加强学生的逻辑思维能力,同时降低教师的主体地位,提高学生的主体地位,进而让学生拥有克服困难的自信心.
三、结合实例来分析数形结合的实际运用问题
韦恩图可以将包含关系清晰反映出来,概率问题中经常会遇见集合问题,因此,如果我們能够善于利用韦恩图梳理问题的内在联系,进而获得事件概率,则相比传统的公式推理,复杂的计算流程,此数形结合手段更加清晰易懂,且便于学生解决难题,减少运算失误.现以某个条件概率问题为例:
事件A与事件B是样本空间中两个相互独立的事件,现已知P(B)>0,那么我们认为:
P(A|B)=P(AB)P(B)为A事件在B事件发生背景下的条件概率,
根据此条件我们画出右图,假设样本空间内存在Q个概率样本点,事件A占据X个点,事件B占据Y个点,而事件A与事件B的相交事件占据Z个点,那么根据概率计算公式我们可知:
P(A)=XQ;P(B)=YQ;
P(AB)=ZQ.
最终可得出当事件B已经存在的背景下,事件A发生的概率为
P(A|B)=P(AB)P(B)=YX.
反之,我们可以换种角度思考:如果事件B已经发生,那么B代表B事件不会发生,所以我们可以完全排除事件B中的Q-Y个样本点,而此时事件B内部的Y个样本点仅仅只有Z个点包含于事件A中,因此,P(A|B)=P(AB)P(B)=YX,换句话说,我们在计算B事件一定发生条件下A事件的发生概率时的样本空间大幅缩小.综上所述,我们可以发现,如果我们通过大量的概率公式不断推导计算,学生不仅难以完全记住基本公式内容,而且难以直接证明,但经过图形对比,记忆更加容易且解题速度更快,阅卷人也能一目了然,百利而无一害.
四、结语
高中数学作为数学知识的高级课程,其内容更具抽象性.如果将数形结合思想应用于数学解题,不仅简化解题流程,而且加强学生学习兴趣、提高逻辑思维能力以及减少失误率,本文以概率问题以及数列极限问题为例,详细分析数形结合思想在解题中的应用,以期推动数形结合思想的发展.
【参考文献】
[1]王思华.数形结合思想在高中数学教学中的研究[J].当代教育实践与教学研究:电子刊,2017(6):587.
[2]韩雪丽.数形结合思想方法在高中数学教学中的研究与实践[D].大连:辽宁师范大学,2013.
[3]孔令伟.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[D].大连:辽宁师范大学,2012.
[4]贺云昊.数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].中国校外教育,2013(14):136.
【关键词】数形结合;数学;应用研究
新课改背景下,数学知识点增多,且难度加大,解题方式多元化,而数形结合的灵活运用可以使抽象的数学问题简化,以直观的图形形式呈现给学生,以辅助的方式引领学生探索答案.此方式不仅能提高学生的数学兴趣,而且能有效加强思维创新以及想象能力,最关键的是将复杂的题目大幅简化,减轻学生压力,增加正确率.
一、数形结合的概念以及解决问题的对象
所谓数形结合,是指把握数学问题的本质,了解问题条件以及所需结果的内在联系,不仅理解其代数关系,还需掌握几何联系,将代数关系以空间形式呈现,并从中探索出解题思路,进而获得答案.总而言之,其本质在于将代数问题几何化,抽象问题具体化.
目前,数形结合思想已广泛运用于高中数学,例如,将函数问题转化为几何模型,从模型中提取参数范围并求解;代数问题是数形结合思想应用效果最显著的问题,根据图形分析问题实质,了解斜率、截距、极值等数据,甚至从结构位置关系判断代数关系,进而求解.
二、数形结合方法的意义
1.激活课堂氛围.数形结合属于偏实践性教学,因此,能够有效调动学生情绪,激活课堂氛围,尤其是针对理工专业学生,愿意探究内部规律,加之男生数量较多,课堂互动性更好,师生沟通更为密切.
2.多领域共同学习.理工专业课程也涉及大量高中数学知识,可以根据数形结合思想从专业内容找到学习途径,例如,物理专业的积分计算物体位移、加速度等,或者是区域累积量问题等,均能体现出该方法的优势.
3.激发学习兴趣,抽象的数学问题会导致部分学生感到沉闷,甚至产生畏难情绪,这是由于他们无法掌握数学问题的本质,没有解题思路.但图形属于直观形式,将复杂问题简单化,而且相比代数或者函数等数学内容,图形会带给学生熟悉感,进而激发学生的解题兴趣.
4.提高数学分析能力.众所周知,绝大部分数学知识均为抽象的数字,而几何知识只占据小部分,但若将数形结合思想代入数学学习,不仅将数学知识形式转化,同时加强学生的空间想象力,寻求不同的解题方法,脑海中创建问题模型,提高数学分析能力.
5.通过实践表明,高中院校的数学课程经常将复杂的知识内容拆分为细小单元,找到几何化思路,激发学生自主实践能力,从绘画图形中寻找问题本质.例如,高中数学知识中包含中值定理,大量的推导公式加深学生的理解难度,而结合图形说明中值定理的概念意义并引导学生提出问题,不仅加强学生的逻辑思维能力,同时降低教师的主体地位,提高学生的主体地位,进而让学生拥有克服困难的自信心.
三、结合实例来分析数形结合的实际运用问题
韦恩图可以将包含关系清晰反映出来,概率问题中经常会遇见集合问题,因此,如果我們能够善于利用韦恩图梳理问题的内在联系,进而获得事件概率,则相比传统的公式推理,复杂的计算流程,此数形结合手段更加清晰易懂,且便于学生解决难题,减少运算失误.现以某个条件概率问题为例:
事件A与事件B是样本空间中两个相互独立的事件,现已知P(B)>0,那么我们认为:
P(A|B)=P(AB)P(B)为A事件在B事件发生背景下的条件概率,
根据此条件我们画出右图,假设样本空间内存在Q个概率样本点,事件A占据X个点,事件B占据Y个点,而事件A与事件B的相交事件占据Z个点,那么根据概率计算公式我们可知:
P(A)=XQ;P(B)=YQ;
P(AB)=ZQ.
最终可得出当事件B已经存在的背景下,事件A发生的概率为
P(A|B)=P(AB)P(B)=YX.
反之,我们可以换种角度思考:如果事件B已经发生,那么B代表B事件不会发生,所以我们可以完全排除事件B中的Q-Y个样本点,而此时事件B内部的Y个样本点仅仅只有Z个点包含于事件A中,因此,P(A|B)=P(AB)P(B)=YX,换句话说,我们在计算B事件一定发生条件下A事件的发生概率时的样本空间大幅缩小.综上所述,我们可以发现,如果我们通过大量的概率公式不断推导计算,学生不仅难以完全记住基本公式内容,而且难以直接证明,但经过图形对比,记忆更加容易且解题速度更快,阅卷人也能一目了然,百利而无一害.
四、结语
高中数学作为数学知识的高级课程,其内容更具抽象性.如果将数形结合思想应用于数学解题,不仅简化解题流程,而且加强学生学习兴趣、提高逻辑思维能力以及减少失误率,本文以概率问题以及数列极限问题为例,详细分析数形结合思想在解题中的应用,以期推动数形结合思想的发展.
【参考文献】
[1]王思华.数形结合思想在高中数学教学中的研究[J].当代教育实践与教学研究:电子刊,2017(6):587.
[2]韩雪丽.数形结合思想方法在高中数学教学中的研究与实践[D].大连:辽宁师范大学,2013.
[3]孔令伟.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[D].大连:辽宁师范大学,2012.
[4]贺云昊.数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].中国校外教育,2013(14):136.