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所谓变式，就是不断变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置实际应用的各种环境，而概念或问题的本质不变．简言之就是在变化中求不变，万变不离其宗，使得学生从中获得再认识并提高识别、应变、概括等能力，培养学生的思维品质．
一、 运用“一题多解”，培养思维的发散性
一题多解实质是解题或证明公式、定理的变式．因为它们是以不同的论证方式反映条件和结论间的同一必然的本质联系．运用这种变式教学，可以引导学生对同一来源的材料，可从不同的角度、不同的方位思考问题，探求不同的解答方案．
例1 已知cosπ4+x＝35，1712π 分析：此题属于三角恒等变形中已知值求值的典型问题，应先化简再求值．选择不同的思路，化简得到不同的结果，决定着解题的速度．
思路一：原式＝2sinx•cosx+2sin2x1-tanx，需求sinx,cosx,tanx．
由cosx+π4→sinx+π4→
cosx=cosx+π4-π4→sinx,tan．
思路二：原式＝2sinxcosx+2sin2x1-sinxcosx=2sinxcosx(cosx+sinx)cosx-sinx=sin2x•sinx+π4cosx+π4，需求：sin2x，sinx+π4,由cosx+π4→
cos2x+π4=cos2x+π2→sin2x.
思路三：原式=sin2x•(1+tanx)1-tanx=sin2x•tanx+π4
需求sin2x,tanx+π4（以下同思路二）．
思路四：原式＝2sinxcosx+2sin2x(cos2x+sin2x)(1-tanx)=2(tanx+tan2x)(1+tan2x)(1-tanx)，需求tanx．cosx+π4→tanx+π4→tanx．
思路五：原式＝2sinx•cosx(cosx+sinx)cos-sinx，需求cosx±sinx,sinx•cosx．
由cosx+π4→cosx-sinx→sinx•cosx．
为避免开方，由cosx+π4→sinx+π4→cosx+sinx．
从广义的角度看这五个思路大同小异，算不上一题多解．事实上，学生经历此过程，会更注重观察条件与结论中角度的内在联系，挖掘变化，从而提高解题速度，会自愿选择思路二（三）或四，优化了思维，培养了解题能力．
二、 运用“一题多变”，培养思维的灵活性
一题多变是题目结构的变式，指变换题目的条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同的角度、不同的方位指示题目的实质．能使学生随时根据变化了的情况积极思考，迅速想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性．
例2 已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B，求证：OA⊥OB．
变换一：已知直线l与抛物线y2=2x交于A、B，且满足OA⊥OB，求直线l的方程．
当直线l的斜率不存在时，可求出直线l方程为y=kx-2k，必过点（2，0），并且当直线l的斜率存在时，直线l也过点（2，0），故例题中条件太强，可替换成“已知过点（2，0）的直线与抛物线y2=2x相交于A、B，求证：OA⊥OB”
变换二：过点（4，0）直线与抛物线y2=2px交于两点A、B，且OA⊥OB，求p．（p=2）
变换三：过点（k，0）直线与抛物线y2=2px交于两点A、B，且OA⊥OB，求p．（k=2p）
由此，由命题：① 过点（2p,0）的直线l；② 抛物线C:y2=2px；③ 直线l与抛物线C交于两点A、B且OA⊥OB，中两个作为条件，剩余一个作为结论可以构造三个真命题．
交换五：将上面③中“OA⊥OB”换成“以AB为直径的圆过原点”，可以得到以下命题：
命题：过点Q（2p,0）的直线与抛物线y2=2px（p>0）交于AB两点，以线段AB为直径作圆，求证：抛物线顶点在圆上．
变换六：将上面③中“OA⊥OB”换成“kOA•kOB=0”，推广为：“kOA•kOB=m”（其中m为常数），再进一步推广为：“kOA+kOB=m”（其中m为常数）．思考以下问题：
问题1：直线l与抛物线y2=2x交于A、B，且满足kOA+kOB=2，其中O为坐标原点，直线l满足什么条件？
抛物线顶点为O（0，0）→直线l过定点Q（2，0）．
问题2：将问题1中的条件“kOA+kOB=2”替换成“kPA+kPB=2”，P12,1为抛物线上一点，直线l满足什么条件？
抛物线过点P12,1→l过点Q52,-1．
问3：将上例中的P012,1替换成抛物线上一般点P0（x0,y0），数据一般化，得到：一直线与y2=2px交于AB，抛物上一点P0（x0，y0）满足KPA+KPB＝2p，则直线满足什么条件？
P0（x0,y0）→l过定点Q0（x0+2，-y0）
像这样将题目演变，推广，使题目由一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，这无疑能提高学生举一反三，触类旁通的能力，使之达到熟一类，通一类，甚至通几类.
三、 运用“一式变用”，培养思维的深刻性
一式变用是指对一个公式的变式应用．数学中时常会遇到一些重要公式，而对它们的推导以及引导学生进行应用，这些工作教学时都会做到．但如何变换公式的形式或结论，挖掘潜在的意义进行应用，这就未必都能做到．因此，在课堂教学时，教师要有意识地引导学生对一些重要公式进行变用，挖掘潜在的几何意义，使之不迷恋于表面现象，而是透表求里，从而培养思维的深刻性．
例如，在解析几何中，|ax0+by0+c|a2+b2表示点P（x0,y0）到直线l:ax+by+c=0的距离公式．在高三复习过程中，可以进行以下三种变用，对于求解一类方程和函数的最值问题，常能收到形象直观、化繁为简的效果．
变用1：ax0+by0a2+b2≤x20+y20(1)
其几何意义是：过原点的直线l外的任一点 到该直线的距离不大于这点到原点的距离．
变用2：|ax0+by0+c|a2+b2
≤(x0-x)2+(y0-y)2(2)
其几何意义是：直线l外任一点P到直线l上各点的距离，以垂线段的长为最短．
例3 若实数x,y满足x-2y+2=0，求函数z=x2+y2-2x+4y的最小值．
解：由所给的函数关系可得：z+5=(x-1)2+(y+2)2，显然点P（1，-2）在直线l:x-2y+2=0的下方，而坐标满足x-2y+2≤0的点Q（x,y）都在直线l:x-2y+2=0上及上方区域，由公式（2），故有(x-1)2+(y+2)2≥|1+4+2|5，于是（x-1）2+(y+2)2≥495,即z+5≥495,∴z≥245，故函数z=x2+y2-2x+4y的最小值为245．
变用3：若R是一个正常数，则|ax0+by0+c|a2+b2小于R、等于R、大于R分别表示直线ax+by+cy=0与定圆（x-x0）2+(y-y0)2=R2相交、相切、相离的位置关系．
总之，在例题教学过程中，不失时机地实施变式教学，对调动学生学习积极性，激发他们的求知欲望，活跃课堂气氛，培养能力都具有良好的作用．
一、 运用“一题多解”，培养思维的发散性
一题多解实质是解题或证明公式、定理的变式．因为它们是以不同的论证方式反映条件和结论间的同一必然的本质联系．运用这种变式教学，可以引导学生对同一来源的材料，可从不同的角度、不同的方位思考问题，探求不同的解答方案．
例1 已知cosπ4+x＝35，1712π
思路一：原式＝2sinx•cosx+2sin2x1-tanx，需求sinx,cosx,tanx．
由cosx+π4→sinx+π4→
cosx=cosx+π4-π4→sinx,tan．
思路二：原式＝2sinxcosx+2sin2x1-sinxcosx=2sinxcosx(cosx+sinx)cosx-sinx=sin2x•sinx+π4cosx+π4，需求：sin2x，sinx+π4,由cosx+π4→
cos2x+π4=cos2x+π2→sin2x.
思路三：原式=sin2x•(1+tanx)1-tanx=sin2x•tanx+π4
需求sin2x,tanx+π4（以下同思路二）．
思路四：原式＝2sinxcosx+2sin2x(cos2x+sin2x)(1-tanx)=2(tanx+tan2x)(1+tan2x)(1-tanx)，需求tanx．cosx+π4→tanx+π4→tanx．
思路五：原式＝2sinx•cosx(cosx+sinx)cos-sinx，需求cosx±sinx,sinx•cosx．
由cosx+π4→cosx-sinx→sinx•cosx．
为避免开方，由cosx+π4→sinx+π4→cosx+sinx．
从广义的角度看这五个思路大同小异，算不上一题多解．事实上，学生经历此过程，会更注重观察条件与结论中角度的内在联系，挖掘变化，从而提高解题速度，会自愿选择思路二（三）或四，优化了思维，培养了解题能力．
二、 运用“一题多变”，培养思维的灵活性
一题多变是题目结构的变式，指变换题目的条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同的角度、不同的方位指示题目的实质．能使学生随时根据变化了的情况积极思考，迅速想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性．
例2 已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B，求证：OA⊥OB．
变换一：已知直线l与抛物线y2=2x交于A、B，且满足OA⊥OB，求直线l的方程．
当直线l的斜率不存在时，可求出直线l方程为y=kx-2k，必过点（2，0），并且当直线l的斜率存在时，直线l也过点（2，0），故例题中条件太强，可替换成“已知过点（2，0）的直线与抛物线y2=2x相交于A、B，求证：OA⊥OB”
变换二：过点（4，0）直线与抛物线y2=2px交于两点A、B，且OA⊥OB，求p．（p=2）
变换三：过点（k，0）直线与抛物线y2=2px交于两点A、B，且OA⊥OB，求p．（k=2p）
由此，由命题：① 过点（2p,0）的直线l；② 抛物线C:y2=2px；③ 直线l与抛物线C交于两点A、B且OA⊥OB，中两个作为条件，剩余一个作为结论可以构造三个真命题．
交换五：将上面③中“OA⊥OB”换成“以AB为直径的圆过原点”，可以得到以下命题：
命题：过点Q（2p,0）的直线与抛物线y2=2px（p>0）交于AB两点，以线段AB为直径作圆，求证：抛物线顶点在圆上．
变换六：将上面③中“OA⊥OB”换成“kOA•kOB=0”，推广为：“kOA•kOB=m”（其中m为常数），再进一步推广为：“kOA+kOB=m”（其中m为常数）．思考以下问题：
问题1：直线l与抛物线y2=2x交于A、B，且满足kOA+kOB=2，其中O为坐标原点，直线l满足什么条件？
抛物线顶点为O（0，0）→直线l过定点Q（2，0）．
问题2：将问题1中的条件“kOA+kOB=2”替换成“kPA+kPB=2”，P12,1为抛物线上一点，直线l满足什么条件？
抛物线过点P12,1→l过点Q52,-1．
问3：将上例中的P012,1替换成抛物线上一般点P0（x0,y0），数据一般化，得到：一直线与y2=2px交于AB，抛物上一点P0（x0，y0）满足KPA+KPB＝2p，则直线满足什么条件？
P0（x0,y0）→l过定点Q0（x0+2，-y0）
像这样将题目演变，推广，使题目由一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，这无疑能提高学生举一反三，触类旁通的能力，使之达到熟一类，通一类，甚至通几类.
三、 运用“一式变用”，培养思维的深刻性
一式变用是指对一个公式的变式应用．数学中时常会遇到一些重要公式，而对它们的推导以及引导学生进行应用，这些工作教学时都会做到．但如何变换公式的形式或结论，挖掘潜在的意义进行应用，这就未必都能做到．因此，在课堂教学时，教师要有意识地引导学生对一些重要公式进行变用，挖掘潜在的几何意义，使之不迷恋于表面现象，而是透表求里，从而培养思维的深刻性．
例如，在解析几何中，|ax0+by0+c|a2+b2表示点P（x0,y0）到直线l:ax+by+c=0的距离公式．在高三复习过程中，可以进行以下三种变用，对于求解一类方程和函数的最值问题，常能收到形象直观、化繁为简的效果．
变用1：ax0+by0a2+b2≤x20+y20(1)
其几何意义是：过原点的直线l外的任一点 到该直线的距离不大于这点到原点的距离．
变用2：|ax0+by0+c|a2+b2
≤(x0-x)2+(y0-y)2(2)
其几何意义是：直线l外任一点P到直线l上各点的距离，以垂线段的长为最短．
例3 若实数x,y满足x-2y+2=0，求函数z=x2+y2-2x+4y的最小值．
解：由所给的函数关系可得：z+5=(x-1)2+(y+2)2，显然点P（1，-2）在直线l:x-2y+2=0的下方，而坐标满足x-2y+2≤0的点Q（x,y）都在直线l:x-2y+2=0上及上方区域，由公式（2），故有(x-1)2+(y+2)2≥|1+4+2|5，于是（x-1）2+(y+2)2≥495,即z+5≥495,∴z≥245，故函数z=x2+y2-2x+4y的最小值为245．
变用3：若R是一个正常数，则|ax0+by0+c|a2+b2小于R、等于R、大于R分别表示直线ax+by+cy=0与定圆（x-x0）2+(y-y0)2=R2相交、相切、相离的位置关系．
总之，在例题教学过程中，不失时机地实施变式教学，对调动学生学习积极性，激发他们的求知欲望，活跃课堂气氛，培养能力都具有良好的作用．