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遗忘是自由的左伴随。江路最后对我说了这句话,那时他站在负质量激发器的中央,随后被一片黑色淹没。那片黑色像粉刷匠的油漆,迅速地铺满、带走了他之后又迅速地消失无踪。
这种消失干净、利落,不留痕迹,连消失物最初的存在都值得质疑。若不是桌子上他脱下的衣物提醒了我,我几乎无法再回想起脑海中关于江路的回忆。双肩包,一件穿旧的白衬衫,一条黑色的裤子,里面有一包口香糖,一串钥匙,它们和我一起静静地忠诚地等待着一起不可能事件的发生。除了江路,一同消失的还有0.0000181253×7-11米厚的钢化纳米混凝土防辐射内壁,这意味着在黑漆后面的那个世界,这个隧道桥大约持续了11个时间单位。
一个短时隧道桥,在黑漆消失后我这样想。这是我和江路已经推断出来的,长时隧道桥的出现概率在数学上为0,尽管这依旧是一个可能发生的事件,但它与我正在期待的事情一样,“几乎不可能发生”。
江路走后,我常常像现在这样呆坐在沙发上,看着墙角流逝的阳光出神。流逝的阳光是时间的一种暗示——它在单向地流动,沿着某条轴线,不可逆转。但在那个世界,黑漆后面的世界,按照江路和我的猜想,事情却完全不同。其实那完全是江路的猜想,我为这些猜测做了一些实验来验证。在想象力方面,我得承认,作为物理学家的我远远不及他这个数学天才。在那个世界,时间的轴线上没有“序”关系,它粗糙得像一根秸秆,随时都可能把你抛向过去,或未来。
在江路离开之前,在没有琐事的下午,我常常会和他待在一起,在咖啡馆,或是随便一张空桌子,这是我们从大学时代就养成的习惯。有时我们相对无言,各自看向不同的地方,我在想无处不在的狄拉克的海洋,他在考虑该怎么把一个素数表示成两个平方数之和。有时我们交谈,争论,最后不欢而散或是握手言和。我得承认,现在,枯坐在沙发上的时刻,时间对于我也失去了意义,因为没有人可以代替他与我一同度过那样的下午。
我在怀念那些下午。按照我们的推想,江路回来的数学概率为0,尽管这仍旧可能发生,比如从所有的自然数当中抽取一个特定的数,比如1,这个事件的概率就为0,但很显然它是可能发生的。
走之前,江路告诉我,他回来的唯一机会,是在所有的7-adic数中恰巧抽取到一个有理数,我问他这样的概率是多少,他笑了笑让我自己算一算。“概率为0的事件也是有可能发生的。”他告诉我,在临别之前,我们再喝一杯黄色的酒。喝完后,我们都沉默了一会儿,然后他起身,我们拥抱,他穿上厚重的防护衣走进激发室。现在,我正抱着这样荒诞的祈祷期待有一天江路能够回来,回来扣响我的房门,把我拽到咖啡馆度过残留的下午。
我正这么想时,窗外的门铃响了。
我回想那一天,那一天是预言般的一天。那天太阳高高照着,八月的一天,我盯着前排同学帽檐下滴落的汗水,听到江路压低着声音问我,“你知道为什么那根绳子‘几乎处处’都是断的吗?”
江路说的那根绳子是“有理绳子”。古希腊时期,人类已经引入了整数以及有理数域,毕达哥拉斯学派很自然地认为人类已经建立了完美的数系,他们的信条是“万物皆数”,即所有的长度都是可以被“公度”的——所有的在现实世界出现的“长度”都是一个完美的有理数。比如说拉起一根绳子,确定一个原点后,那么这根绳子上每一点按长度都唯一确定了一个有理数。有理数把绳子填满,完美而不留下任何空洞,这是毕达哥拉斯学派的信条,也是那时人类对现实世界“长度”的普遍认识。
但真正的事实却是,那样的“有理绳子”在现实世界中几乎处处都有洞,它几乎处处都是断的。
“因为,每两个有理数之间都有非有理数?”我回答。
“我问的问题就是这个意思,你只是换了种表达。现在的问题是,为什么在现实世界中能拉起一根绳子,那么为什么有理数填不满这根绳子呢?”
我那时觉得这个问题单调又无聊,但是漫长的军训显然是摆在我们面前的更无聊的事情。
于是,我开始思考这个问题,在炎炎烈日下人的头脑总是转得很慢。为什么有理数是填不满我们的世界的?这个巨大的缺陷早在毕达哥拉斯学派鼎盛之时便如梦魇般产生,学派中的一个年轻人,他的名字叫希帕索斯,他第一次利用了无穷递降法原理证明了腰长为1的等腰直角三角形的斜边长“不可公度”(现在我们都知道了,这个长度是√2)——无法表示成两个整数之比。最终他死于谋杀,学派在毕达哥拉斯的授意下将他装进麻袋,连同他的有趣的证明一同投入地中海的漩涡之中。
现在我回想那个夏天,那个燠热的下午,我清晰地发觉一股命运的牵绊横跨千年之前地中海的波浪牢牢束缚住了我身边的江路,而他却为此陶醉不已,毫不知情命运为他准备的相似的牢笼与归路。
“距离”是我们生活于其中的宇宙最本质的法则之一,具体而言,它又包含三种最关键的条款:
此点到彼点的距离等于彼点到此点的距离。
任何两点之间的距离都是大于零的,两点之间距离为零当且仅当两点相同。
此点到彼点的距离不超过此点到那点的距离及那点到彼点的距离之和。
如果用现代数学的语言和观点来表述,这三点尤为简洁:
在一个集合X内,“距离”指一个函数,d(x,y),它表示X中从元素x与元素y的距离,与以上三条对应起来,这个函数应具有的三条性质是:
d(x,y)=d(y,x)。
对于任意X中元素x與y,有d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y。
对于任意X中元素x,y与z,有所谓的“三角不等式”成立:
d(x,z)≤d(x,y) d(y,z) 江路第一次跟我讲起“距离”时,我还对数学的语言知之甚少。每当我翻起数学书,我都觉得那是一堆毫无意义的抽象符号。这些有什么用呢?我向江路提出了这样的疑问,他却对我的疑问表示惊讶。这是我除了邋遢外讨厌他的另一地方,他总认为所有人都拥有他那样的理解能力。我回想那天,那是一个夏天的夜晚,我们在宿舍七楼往上的顶层坐着聊天,我们称那里是“七层半”。七层半的台阶正对着一扇天窗,看得到稀疏的两三颗星星。
“装备了一个‘距离函数’的空间被称为度量空间,距离就在这个空间上诱导了一个自然的拓扑结构。”
哦,是吗?什么是拓扑呢?我心中产生疑惑,向他投去疑问的目光,而他的目光却远远地越走了。越向窗外,越向细微的星光,我不知道他的思绪飘到了哪里。
“第三点是最有趣的。”他咕哝了一句。转身拿起兜中的记号笔在墙壁上写下了关于“距离”的第三条规则。
d(x,z)≤d(x,y) d(y,z)
那时七层半的墙壁还是白色,白色的中间泛着被常年的梅雨染出的黄色与绿色。我们毕业时,那是四年后,七层半已经变成了黑色,那里被江路写满了公式,他喜欢黑色与绿色,偶尔我也添上几笔,我爱用红色。江路写完后就站在那里,他伫立良久,双手抱在胸前。他在“打量”,而每当这时我就会想到一些关于灵魂出窍的传说。这是江路的一个经常性动作,他“打量”那些公式,然后尝试向他身边的任何人——当然在大学中的大部分时光都是我——解释这个公式或者定义背后蕴含的“自然道理”。
“可是,这跟那绳子有什么关系?你喊我上来就是看这个?”我问他。
“当然有关系。怎么,你不觉得这个‘总结’很深刻吗?”
“什么总结,这不就是一些……显然的东西,距离是正的,对称的,还有最后这个三角不等式,三角形任意两边之和不小于另一边,小学生都知道。这些跟那条绳子的缺口有什么关系?”
“好吧好吧,那我现在来跟你解释解释。”
“我听着。”
“首先我们来看为什么这根绳子上有洞。”
江路边说著边在白色的墙面上画上一条直线,他标注上0,1,2……以及一些负数的位置。
“比如说,我们现在有了这根线。在我们的业已‘存在’的世界中。如果说它没有‘洞’,那么这根线就被有理数填满,线上每一点都唯一对应到一个有理数。对不对?”
我点头,江路继续开始他的解释。
“现在,我们来发现这里的一个‘洞’。”江路转头看向我,露出笑容。他首先在0点处做了一条角平分线,绳子是直的,所以角平分线垂直于绳子;接着,江路在角平分线上从零点出发截取了长度为1的点,与原来绳子上的“1”处连接,一个等腰直角三角形就构造完成。之后的工作便很简单,江路以绳子上的“1”为中心,以到垂线上标注上的那点为半径作圆,再次与绳子相交于一点,显然,这一点的长度为√2 1。
“你看,这里就是一个洞。”江路笑着频频指向最后得到的那一点,“这里对应的长度不是一个有理数,就是说这里的长度无法表示成两个整数之比。但它又实际存在于我们的世界当中。如果‘有理’绳子真的存在于我们这个世界中的话,那它一定于这一点处‘断裂’!”
我点头,“确实如此,可是你在这里只是构造出了一个‘洞’而已,你怎么说明这根绳子是‘几乎处处’都断的呢?这个‘几乎处处’是什么意思。还有,这跟你刚刚说的‘距离’又有什么关系呢?”
“你说得很对,我现在只是完成了很小的一步。你可以想想,既然‘有理’绳子总是在我们的世界中有‘洞’的,就是说,有理数填不满我们的世界,那么,什么样的‘数’能填满这个绳子,填满这个世界呢?”
“实数?”
“哈哈,当然。作为21世纪的人类,受过正规数学教育的大学生,这是一个很自然的回答。从小学我们就知道了实数……但到底什么是实数……”
“实数不就是有理数和无理数放在一起?”
“那什么是无理数?”
“无理数……就是无限不循环小数?”
“好,这就是重点,那什么是无限不循环小数?”
江路的眼睛看向我,那是我最不喜欢的时刻之一。他的眼睛闪着光,闪着光看向我。他的眼睛很小,我平时总是看不清那双眼睛。但这个时候,以及之后很多个类似这样的时刻,他的眼睛忽然就充满了光芒。我知道答案,而你不知道。那是那个眼睛告诉我的。当然,还有很多除那以外的“东西”。比如说站在负能量激发器时,江路就是那么看着我的,那时他的眼睛里充满了那种“东西”。我曾经为它取了很多个错误的名字:我叫它“激情”,但它是那么长久不灭;我叫它“好奇”,但它又那么严肃认真;当江路带着“它”消失在黑漆后时,我称它为“宿命”。后来我发现它不能一概而论,词语是贫乏的,而“它”是丰富的。
那天晚上我不知道该如何回答江路的问题,我本来差点脱口而出,“无限不循环小数就是一个小数点后数位上数字没有周期性的……”,在“的”之后我停了下来,我不知道该加入什么样的词语,应该说“数”吗?如果是数,那么该怎么定义加法、减法、乘法、取逆运算……当然,我可以用无穷无尽的数码形式化地进行下去,得到加法、乘法,那么又该怎么证明这种数字填充满了我们的世界呢?当我在脑海中走过这一条思路,我发现这一切是如此的形式而琐碎,缺乏和谐与自然的美感。
房间的客厅里堆满了书,靠东面的墙上整整齐齐地码摞着一堆又一堆,由大到小依次往上,形成一座座陡峭的山峰。在那面墙的终端这些山峰戛然而止,除那面墙外,放在其他地方的书籍全都处于一种散乱的状态,在地上,书桌上,翻开或合上,混乱的样子像初经沙场的士兵,弥漫的老旧书籍的味道像干涸的血或者久久不散的硝烟。这些书籍的姿态使房间内呈现出一种很奇怪的状态,凌乱又整齐,安静又喧闹。
“他一直都是这样,一直都是这么乱的,我以前天天跟着他帮他收拾。”陈安陆在这片沙场中穿行,她身材纤瘦,小心走路的姿态优雅而娴熟,像是这里的主人。她以前确实是的,在她和江路离婚之前,她一定在这沙场中走过很多次,最后被这终日持续的无法停止的战争逼疯,我猜想这是那段十年婚姻破裂的导火索之一。他们离婚后,我就没有再见过她,今天为她开门时,我差点儿认不出面前这个充满活力的女人,我几乎看不到往日生活在陈安陆身上的印记,但她刚刚下意识呈现的轻盈姿态却又让我仿佛看到了往昔,一个在房间中弯下腰收拾东西的女人,左右躲避着踩到散乱的书籍。那是江路人生中最快乐的时光,他告诉过我的。很显然,对陈安陆来说可能并不如此。从他们离婚之后,江路就开始了肉眼可见的消瘦。我曾违背内心地劝他去找找她,挽回她,可他总是以沉默表示否决。 雷声是在我忽然泛起伤感的同时打响的,随后雨就开始下了。天气是难以预测的,我清楚地记得今天上午阳光还很明媚,而现在雨点已经放肆地侵占了整扇窗玻璃。江路的窗台上放着一本书,Navier-Stokes Equations。这是数论专家的闲暇消遣吗?我拿起书翻了起来,江路的研究方向是数论,具体点儿来说,他研究的是p-adic langands program,即p进朗兰兹纲领,我对这个方向一窍不通,但很显然,这本研究偏微分方程的书籍在这房间中众多代数、数论书籍中显得格外突兀。
“你在翻什么?”陈安陆注意到了我,她走过来。
“我在……研究为什么会突然下雨。”我向她晃了晃书名,忽然意识到她对数学一窍不通,“Navier-Stokes Equations是描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程,比如河流或者云层的运动,一般来说,它是一组十分復杂的偏微分方程,如果你能够精确求解它,你就可以精确预测到很多事情,比如什么时候会下雨,因为云层的运动和雨水密切相关。不过基本上来说,没人能够精确的‘求解’它,现在对它的处理都是利用计算机来进行数值近似。”
“计算机的模拟不可以做到很精确吗?”
“有时候可以,有时候不行。对每一组方程,你可以在‘一段时间’内通过计算机‘很精确’地计算它,但是这个‘一段’时间可能非常非常短,比如一秒钟,或者更少。因为在现实生活中遇到的问题,比如下雨,或者河水中的湍流,某一时刻的一点儿小小的误差都可能造成接下来与实际情况完全不同的预测结果,这就是‘混沌’。或者更出名一点儿的,三体问题,真空中三个有质量的球体在万有引力作用下会怎么运动呢?这也是一个‘混沌’系统。你可能在很短的时间内精确,但长期来看,模拟与现实的差距可是很大的。可以做到的短期预测,意义也不大。”
“好吧。所以,这本书……跟那张纸条没什么关系吧?”
“我看不出来有什么关系。”我的目光还停留在那本书上。
陈安陆走开,她不知道我撒了个谎。如果是他一定看得出来,江路很清楚,我撒谎时总是以认真地看书作为一种掩饰,而江路的可爱之处在于他即使知道也从不拆穿,这是我们俩的默契。看着陈安陆离去的背影,我喉咙中的哽塞感骤然消失,泪水便与此同时不可阻挡地落了下来,就像这突如其来的雨。我不喜欢这个女人,但也对她恨不起来。她漂亮、善良、有个性,在大学时我们仨同住一楼,她在顶层七楼,有一天被我们在七层半的讨论吵醒,她气势汹汹地上来理论,后来她就依次成了江路的恋人、妻子、前妻。想到这一切,我的情绪开始崩溃,我转身朝向窗台,想把该死的泪水擦干,我把拳头闷闷地砸向窗台的大理石,企图遏制身体的不可抑制的颤抖。展开的书页此刻就像瘾君子的毒药,我把鼻子埋进去渴望从那里得到一丝江路的气息。我知道这本书是关键,可我还没有窥破江路留下的谜语。这么多年,这么多年,我与他相识了这么多年,为什么他没有把那张纸条留给我……在那一刻我自私而冲动地决定我要一个人破解它,我要一个人享用江路留下的东西。我背转身不让陈安陆看到我的眼泪,矛盾的是,与此同时我又极想用涨红的眼睛去逼问她江路向我隐瞒的、而她知道的一切。
“整数Z模掉pn 1的同余类到整数Z模掉pn的同余类有一个自然的映射,原因很简单,被pn 1整除的整数一定被pn整除。那么我们就可以有一串这样的映射,Z/p2到Z/p,Z/p3到Z/p2,Z/p4到Z/p3……”
江路在墙面上写出一串向右的箭头来表示他说的这些映射,这是映射在数学上的一种简化表示,那一条长链越写越长,很显然这些映射无穷无尽,有“可数”多个。
“那么现在事情就变得有趣了。”江路停了下来,笑着看着我,“这条长链可以一直持续下去,我们现在想找到‘最左边’的那个‘对象’。”
我摊手,“什么叫‘最左边’的那个对象?”
“用严格的数学语言来说,这个‘最左边’的对象满足两条性质:一、从这个对象出发,到每个Z/pn都有一个映射,并且这个映射与从Z/pn到Z/pn-1的映射是相容的,就是说……”江路画出一个圆圈代表他口中说的那个“对象”,又从那个圆圈处引出两根箭头,一根指向Z/pn,一根指向Z/pn-1,和从Z/pn到Z/pn-1的箭头放在一起,形成一个三角形的形状,“这个三角形的两条从该对象到Z/pn-1的路径是可交换的,也即,通过下面两个箭头复合映射过来和直接从上面这个箭头映射过来,得到的是相同的映射。”
“第二个性质是说,将所有的满足性质一的对象和映射放在一起,这个我们要寻找的‘最左边’的‘对象’,就是这个圆圈,它是最底部最根基最‘广泛’的那一个,就是说,所有其他的对象都对它有一个映射,并且与它们相关的所有映射都是相容的。”江路画了一个三角形,拉出一根箭头向下指向了圆圈,“你看,它就是被这些映射‘压’在了最底下。”
“我被你搞晕了。”我摆出一副无奈的表情,“我不明白这些抽象的定义和性质有什么实际的意义。还有,你不是说要告诉我实数到底是怎么来的吗?这一大串无聊的东西跟实数有什么关系?”
江路似乎并没有理会我,在我说话的间隙,他在那条长长链条的下面粗粗地画上了一根向左走的箭头,“这是数学中的一种很重要的构造,它叫‘逆向极限’,虽然很抽象,但却有很丰富的应用。我把它理解成一种‘寻找’的过程,你看这个向左的箭头,它指向的是一个本来未知的东西,一个实际存在的东西,一个需要寻找的东西。”
江路的目光又呈现出一种疏离的状态。
“好吧。那按你所说,这个,啊,这个长长的一条链的‘逆向极限’是什么?”
“我马上就告诉你,不过我打算采用一种完全不同的思路来构造它,这也是它与实数的联系之处。”
“你知道柯西序列吗?”我问陈安陆。我们在七层半,半小时之前,我们离开了江路的屋子,冒雨赶到了这里。
“不知道。” “好吧,现在我就告诉你江路去了什么样的一个世界,你要耐心听我的解释。”
“好。”
“我会先从实数的构造跟你讲起,因为只有通过这种方法,你才能对‘距离’产生更深刻的印象。”
陈安陆点了点头。这栋曾经的宿舍楼里散发着重新粉刷的刺鼻的味道,还好粉刷工作尚未进行到七层半,我们打开有通风的铁门,风从那里吹过来,外面还在下着雨。
“江路不喜欢经典的戴德金分割,他也不喜欢希尔伯特公理化定义的做法。柯西序列是另一条经典的构造实数的路径,它指的是一个数列,并且这个数列在项数很大很大之后,各项之差会变得非常非常小,严格来说,对于每一个正的有理数∈,都存在一个自然数N,当你取任意两个项数大于N的数列中的项的话,你会发现这两项的距离小于这个取定的有理数∈。这种数列就叫作柯西序列。
“柯西序列为什么重要呢?因为它们可以帮助我们判定一个空间是不是有‘洞’的,比如说有理数Q,你可以找到一列有理数,它们不断地接近√2,但没有一项能够等于它,因为√2不在Q中,而这列有理数本身就是一个柯西序列。所以说,如果要求一个空间是没有‘洞’的,一个必然的要求是这个空间中所有的柯西序列都收敛到这个空间中的某一点。满足后面一条性质的空间,就是所有柯西序列都收敛于空间中某一点的空间,被称为完备空间。所以刚刚的推理过程就是在说,完备的空间就是一个没有‘洞’的空间。”
“当在数学上知道了‘洞’存在的条件后,下一步当然就是考虑该怎么把这些‘洞’填满。这就涉及一个被称为‘完备化’的过程。这个过程很简单,也很容易理解,如果原来的空间是有‘洞’的,那么这个‘洞’的存在就意味着有一个柯西序列不断地趋向于它,但又无法实际上‘填上’它。所以这个柯西序列其实就‘代表’了这个‘洞’。于是我们把这个空间中所有的柯西序列放在一起,这个时候‘洞’就存在合适的代表了—— 一个不收敛的柯西序列。不过还有一点需要注意,不同的柯西序列可能‘趋向于’相同的点,所以在最后你还需要把所有的柯西序列划分成不同的类,划分的标准就在于两个序列是否在项数足够大之后会不停地相互靠近。如果是,它们就视为同一个事物,如果不是,那它们就视为不同的事物。这个时候,你就得到了一个新的空间。用数学来描述,这就是一个‘柯西序列等价类’空间。这看起来似乎没什么意思,不过你会发现原来的空间是在这个空间之中的,因为原来空间的每一个点都可以用一个恒等于它的序列——这显然是柯西的——来表示它,与此同时,这个空间还被填满了!就是说,它是没有‘洞’的完备的空间。而且,从数学的角度来讲,它还是最小的那一个包含原空间的完备空间。”
陈安陆似懂非懂地点头,“所以,这就是实数的真面目?”
“没错。利用Q中的柯西序列做完备化,这样的‘填洞’方法是数学中的一个经典的构造。现在,让我来问你个问题。”
“你说。”
“在这个完备化过程中,什么起着关键的作用?”
“……柯西序列?”
江路说的没错,她果然不是一个聪明的女人,我在心中这样想,“柯西序列只是一种工具。即使没有柯西序列的概念,还有很多种其他的完备化方法。在這里真正起到关键作用的是‘距离’。”
“距离?”
“对,就是距离。”
“我不懂。”
“在有理数中,最经典的距离就是两个有理数之差的绝对值,这在我们生活的世界中是如此的平凡,我们每时每刻都在使用它。别忘了,柯西序列的定义中是需要预先定义的‘距离’的,在有理数域Q上采用绝对值距离,再完备化,得到的是实数。也就是说,在Q上采用不同的距离……”
“将得到不同的……完备化空间?”
还不算无可救药。我想。
江路赶到时,我面对电脑屏幕上的几千条数据已经枯坐了一个下午。那时候已经过了十二点,几个同事相继离开,与我道别。有人碰到了江路,向他点头致意,用手指告诉他我所在的房间。我们见面后,简单地吃了几块面包,喝了咖啡,便开始聊起了我在短信上发给他的“有趣又古怪的事情”。
交谈完毕,我与他起身前往实验室。那个实验室在地下五十米的地方,通向它的唯一的道路有两段旋转着的下坡。一如往常,江路执意走在前头,我跟在身后。他身型瘦削,头发蓬乱,不停地转头问我该在路口往哪里拐。
“建这么深干吗?”在电梯里他问。
“为了防止可能的辐射。”
实验室中几位助理研究员还在工作,他们不停地启动负质量激发器,终止,采集数据。负质量激发器的设计初衷是研究某种凝聚态物质,几个月前建成,在经历了漫长的验收工作后,在昨天终于第一次尝试启动,可是却以一种令人意外的方式失败了。隔着玻璃幕板,我们能够清楚地看到加法器的内部发生的“意外”:激发器开始运转,固体物质材料被输送到势场极化管,随后是一阵耀眼的白光,白光的结束是“意外”的开始,突然出现的黑色的阴影——我们称之为“黑漆”——吞没了白色的光芒,铺满激发器的内壁,然后迅速地消失。
“每次都这样?”江路问。
“是的。”
黑漆的出现似乎不能被称为意外,从目前所有的实验结果来看,它的出现是一种常态,似乎那才是该有的东西。黑漆消失后,两个穿着防护服的工作人员进入激发器中央。
“它们在干什么?”
“测量‘消失’的内壁的厚度,跟你讲过的。”
每次黑漆出现后,激发器内壁的纳米混凝土材料都会变薄,变薄的程度几乎难以察觉,我们是在重复试验近百次之后才意识到内壁处发生了什么。除了消失的内壁,我们找不到任何黑漆留下的痕迹,它就像有一副异常锋利的牙齿,不留痕迹地把内壁吞入腹中。
“有意思吧?”我向江路挑了挑眉毛。
“有点儿意思。”江路的目光始终朝向激发器的位置。这是我和他之间的一场交易,江路会把他的研究中有趣的事情告诉我,我也会把我遇到的神奇的现象告诉他。我一直认为作为数学家的他在这场交易中占了便宜,因为他所研究的数论领域是如此的抽象,发现与享受其中有意思的事情几乎是他的特权,而我唯一能做的就是在他讲到兴奋处给他点一杯咖啡或者加一勺糖。 “来都来了,顺便帮我们看看数据吧。”
我带着江路离开了观察室,工作人员即将下班,这场观察黑漆的游戏将在半个小时后稍做休息。之后,睡意将在两个小时后袭来,太阳还有十二个小时才能在这座城市重回最大高度角,十七小时后,一个奇异世界的遥远行星将会走到它的尽头……自那以后再过上八小时,当五十米深处的偌大的地下实验室只有我们两个时,我会猛然发觉这句随意邀约的致命性,并为此付出充满矛盾的、掺杂着复杂悔恨的悲痛的代价。
选定素数p后,每个非零的有理数r都可以唯一地表示成以下形式:
r = pv·a/b
这里a,b都不被p整除,v是一个整数。有了这种唯一表示,我们就可以重新定义“r的长度”。
|r|=1/pv
对于0来说,可以简单地令它的长度为0。我们由此就可以定义有理数间的一种全新的距离,即d(x,y)=|x-y|(这里“绝对值”的符号按以上的定义来计算),当我们回想“距离”的数学定义的三条基本性质:对称性、正定性与三角不等式,简单的计算就表明这样的一个二元函数确实定义了一种“距离”,在数学上被称为p-adic距离。再细心一点儿的话将会发现,这个距离满足一个“更强”的三角不等式:
d(x,y)≤max{d(x,z),d(z,y)}
当我把江路的笔迹指给陈安陆看时,我仿佛又回到了二十多年前那个夏天的夜晚。江路拿着黑笔在白色的墙壁上涂画,我们不停地跺脚、走动,以维持声控灯的开启、防止蚊虫的叮咬。那一天与那一晚都是宿命般的,我不会想到我会真正地接触到那样的世界,p-adic完备化后的世界。我以为那只是数学的定义、抽象的妄想,但当开启那个世界的阀门握在我手中时,在那个深夜,沉沉夜色下的五十米地下深处,我的的确确地感受到了它的引诱与危险的信号。
“我还有个问题。”陈安陆的话将我拉回了现实,“用你说的这种p-adic完备化后,得到的到底是个什么?”
我的目光开始在那块斑驳的墙面上搜寻,我只记得它大概的方位。终于我找到了它。那是一个长长的链条,被向右的箭头连接着表示映射,链条的中间部位掉下了一块墙皮,我走过去,往下看,那里有一条向左拉出来的长长的箭头,贯穿链条的始终。
“就是它,这个系统的‘逆向极限’。”
我喃喃自语,完全遗忘了身后陈安陆的存在。她不可能知道什么是逆向极限,她对数学一窍不通。她不知道代数,不知道分析,不知道几何与拓扑,不知道江路留下的秘密的关键。她来敲我门时,手上拿着江路寄给她的一张纸条,“我给你留了一本书,何塞有我的钥匙。找他,带他过去拿。再见。”江路窗台上的那本书就是答案,那本书是那么突兀,突兀地放在一堆数论与代数的书籍之中,它代表了数学另一分支——分析——的工具与成就。这两个数学分支的风格与美感截然不同,就拿完备化的过程来举例,分析的方法在于用柯西序列不断地逼近,再寻找合适的代表元素,而代数的观点则是通过映射关系以及某些对象的“泛性质”,构造一个抽象的“逆向极限”。代数简洁而抽象,分析具体而烦琐,就像两种不同的装修风格,它们一种是先锋派的极简主义,而另外一种则代表了俗丽凌乱的巴洛克风格。对于一个稍微经历过数学训练的人而言,在那个房间里找到一本异样的书轻而易举。但我并未从那本书里再找到什么,没有夹页的信,没有古怪的数字密码,没有题语,没有赠言,甚至都没有做过笔记或者翻阅的痕迹——书的册页还是白色的,没有被反复翻阅的痕迹,那不是江路读书的风格。
“我不懂。它完备化后的结果,与实数是不同的吗?”
“是的,不同的‘距离’决定了实数域与p-adic完备化得到的p-adic数域有完全不同的拓扑结构。”
“拓扑?”
“你可以理解为,拓扑结构告诉了你对于空间中一个给定的点,哪些点离它比较近。比如说pn,在我们的世界中,当n变得很大,那么这个数字代表的点就离原点越来越远。可是在p-adic世界中,你可以想想,它是很‘小’的,它的长度只有1/pn ,也就是说,n变得很大,这个点就离原点越来越近。”
陈安陆沉默了,她在理解我所说的事情,这对一个初学者来说有些难。对任何一个习惯了现实世界的人来说,接受p-adic距离都不是一件简单的显然的事情。1916年,诞生于沙俄帝国的数学家Ostrowski证明了在Q上的“距离”在本质上只有两类,一类是由绝对值所定义的,存在于我们现实世界的距离,另一类就是p-adic距离,人们在数学上精确地描述了它,但是在物理中还没有发现满足这种距离的世界的存在。在那样一个世界里,你永远不可能“前进”,因为每当你迈出一步,你与原点的距离要么保持不变,要么变得更小;在那样的世界里,所有的三角形都是等腰三角形;那个世界里也没有大小的概念,因为p-adic数域上没有合适的‘序关系’;最重要的是,也是江路为之而死的原因,那个世界包含了大量的数论信息,这是可以被理解的,因为连它的基本的定义都与素数如此息息相关……
电梯的红色数字显示到了1,零点二十分,工作人员陆续从电梯中走出,他们的发丝被密闭笨重的防护服打湿而紧贴在两鬓。自那以后的十分钟里,电梯不再下行上行,地下实验室的入口被死死地封上。我和江路从阴影处走出,经过一段漫长曲折的回旋向下的阶梯后来到了電梯口,江路背着包,鼓鼓囊囊地塞满了东西,我们并肩站在电梯中,白色的顶灯把沉默的影子打到地面上。我与他低着头并不交谈。江路的身上有被汗打湿的痕迹,他的袖口卷得很用力,我几乎难以遏制心中的好奇,想问他今天去了哪里——在他出发的前一天,他去做了些什么和这个世界告别。昨天在发现数据背后的秘密后,江路几乎立刻决定了他要前往黑漆的背后,不过要我留给他一天时间做准备。
我们来到实验室,打开所有的灯。负质量激发器像一颗巨大的蛋壳一样静静地等在那里,等着我们的到来、进入。我帮江路取来防护服,他独自站在激发器的面前,这或许是他生命的终点,或许不是,或许我们的世界与黑漆背后的7-adic世界有某种奇妙的转换规则,或许他可以回来,但我们对此一无所知。 在我叫他换上防护服之后,他拦住了我。他打开书包,里面是两瓶黄酒,三个打包盒里分别放着鸡爪、鸭脖和小龙虾。我们相视一笑,拉来桌子和板凳,三盒夜宵很快被吃光,接着我们开始纯粹地喝酒。
“我觉得,你可以稍微等等。等我们把这个东西研究清楚了,你再……”我终于开口,但被他摆手打断。
“没什么好研究的了。除了7-adic世界,你还能怎么解释那些数据?”
我哑口无言。昨天,对数字极其敏感的江路几乎没费什么力气就发现了内壁变薄的秘密,当把所有的数据都除以出现过的最大的数据0.0000181253后,再以7为底取对数,得到的结果竟然全是整数!所有的误差都在千分之一以内。这意味着每次黑漆的出现都将吸收一个基准值乘上一个7的幂次级别的物质,幂指数与黑漆出现的“时间”有关。我们不约而同地想到了7-adic世界。我们猜想,黑漆是一种连接现实世界与7-adic世界的通道。由于现实世界的距离与7-adic距离不同,分别得到的实数域与7-adic数域相交的部分只有所有的有理时间节点、有理距离节点,黑漆只能在有理时间节点出现于现实生活中,而在其他时间节点看到的,不过是它的残像而已。另外,黑漆每次会“吞噬”掉一部分现实世界的物质,它是一个“入口”,但由于质量的守恒,在这个世界上的某个角落,必然也有与黑漆相对的“出口”,不停地向我们的世界输送7-adic世界的物质。如果想进入或离开黑漆,必须要能恰巧捕捉到一个“有理时间点”,但有理数在实数和7-adic数中的分布都十分“稀疏”,在这两个数系中,“几乎处处”都不为有理数,这意味着,进入和离开黑漆都是概率为0的事件,它们几乎不可能发生……但负质量激发器可以控制黑漆的产生,这就可以将现实世界的物质输送到7-adic世界中。
在闷闷地喝了一段时间后,江路开口对我说,“何塞,你不用有什么负担。”
我沉默。我的内心清楚地告诉我这是在杀人。
“你在救我。”江路站起身,他一个个解开衬衫的纽扣,“我病了。”
“你病了?哪儿?”
“这儿。”他指着自己的头部,认真地看向我。他赤裸着上身,露出瘦弱的身体,肋骨一排排地排列在苍白的胸前,像是被风吹皱的毫无生机的干瘦的雪原。
“你还记得我那篇论文吗?发在‘四大’上的。三十岁那一年,我刚和安陆结完婚就收到了稿件录用通知。”
“我记得。”
“那是一篇研究绝对伽罗瓦群的论文,他们评价说我创造了一个新的时代。”江路脱下鞋袜,光脚在实验室地面上蹦了蹦,“绝对伽罗瓦群,就是有理数域的代数闭包在有理数域上的伽罗瓦群。它几乎包含了一切的人类想知道的数论信息。但单独地考察一个群是毫无意义的,群只有作用在一个具体的物体上才有意义,用数学的语言说,群作用是一种‘表示’,representa-tion。我的那篇论文就创造了一种新的‘表示’。
“那时候我三十岁,三十岁……三十岁是多么好的年纪。充满活力与激情……”
“你现在一样可以,你才刚刚四十出头……”我安慰他。
“不,你错了。数学家的数学生命是很短暂的,一个在四十岁之前做不出来成绩的数学家,他的数学生命几乎可以说走到尽头了……随着年龄的增长,学习能力、理解能力、思维的活跃性、想象力,这些都在下降。身体的衰老会让思考变得越来越吃力。当你回首以往的岁月,你会发觉,身体就像是一个牢笼,而你,你的思想,你的天才,就是那笼中之鸟。”
“可你已经有很好的成绩了啊,你刚刚说的……”
“但我继续不下去了。”江路看向我,他的眼神中有暗潮翻涌,“我比谁都清楚。我今年已经四十二岁,过去的十二年完全荒废了,我比谁都清楚,完全地,完全地荒废了……无论是哪个方面……”
江路开始哭泣,他无力地瘫倒在地上,手扶着桌子想找寻一点儿支撑,他的泪水不断地涌出来,我为他突然而来的情感波动所震惊,不知该说些什么做些什么好。我只能依靠本能走到他的身边。
“我真的病了,我什么都做不了……是我害了我们的孩子啊,安陆也走了……”
我感到有什么潜藏的秘密闸门被摧毁得一干二净,陈年的往事像咆哮的洪水猛兽一样席卷了我的脑海。但我的心在别处,江路还瘫倒在地面上,从他干瘦的身体中发出压抑许久的哀号,伴着源源不绝的泪水。你说我救你,我该怎么救你。我尽力地抱着他,想感受他的体温,但却只有冰冷的回应与悲痛的抽搐。我感到我的眼眶也湿润了,我抱着江路的身体无法动弹,仿佛所有的力气都被抽尽,他的身体就像无底的黑洞,被繁重的锁链捆绑着,肋骨的条纹,松弛的肌肉,厚重的眼袋,败草般的头发,都是那副身躯上无处不在的锁链的痕迹……
“那天她在家里跌倒了,晚上,宝宝刚刚四个月。家里没有人,我当时在办公室,想一个问题。手机调成了静音。你知道,我喜欢安静的地方,不被打扰。她再次醒过来是第三天了,宝宝没了。”江路眼神空洞,他平静后语调也显得冷漠,“我本来觉得……到办公室里坐一会儿就回去,不会有什么事的。谁知道……”
沉默。
“离婚后,要不是数学,我可能早就不想活了。”
沉默。
“这是一个……很好的机会。”江路的目光向负质量激发器那里挑了挑。
沉默。
“你怎么确定,到了那里,你就一定解决得了你的问题?”我问他。
“因为‘本能’。”江路看向我,他的眼睛还残留几分红肿,“在我们的世界里,在實数上添加一个虚数单位i,就得到了复数域C。在这个域上做分析能帮我们解决很多数论问题。但在p-adic数域中,我一直没有办法找到合适的像复数之于实数的对象,但如果真的到了那样的世界,这件事极有可能变得十分地‘平凡’,依靠在那个世界中的本能就能迅速地理解该寻找怎么样的数域,但对处于现实世界的我来说,这太困难了。”
我无法理解他说的,我只好摇摇头举起酒杯,和他一起把最后一杯喝完。然后江路换上了全身的防护服,“你回来的概率是多少?”“你可以算算,一个不可数集合中可数集合的力量是多么渺小。” 我们最后拥抱了一下,他向我挥挥手走入负质量激发器。我开始操纵控制面板,固体物质材料填充,势场极化管发出刺耳的噪声,耀眼的光芒开始笼罩激发器的内部,江路的眼神坚定地看着我。 “自由是遗忘的左伴随。”
黑漆出现。
“他不会回来了?”陈安陆坐在副驾上,眼神看向窗外。她看似漫不经心地提出了这个问题,显得这一切都经过了深思熟虑。
“回来的概率是0。”
她顿了顿,直白与嘈杂的雨水声填充进这段间隙。“那也是有可能發生的,不是吗?你不是说,概率为0的事件仍然可能发生吗?”
雨下得很大,这场雷雨的持续时长超乎我的意料。雨刷的工作看起来徒劳无功,刷上去,雨落下来,再刷上去,视线很快又被雨点遮满。我打着转向灯,心中在拿捏要不要告诉她真相。
“p-adic世界……跟我们这里还有一个根本的不同。它是一个‘完全不连通’的空间。这就是说,江路的肉体,在进入它的那一刻开始,就会被逐渐完全地分解,具体分解到什么尺度要考虑那个世界的基本力能维持多小的物质……”
路口是红灯,我没有及时发现倒数的数字,在斑马线前狠狠地刹住了车。陈安陆和我都往前倾了一下,然后被安全带死死地束缚在座位上。
“他……也有可能回来,在世界上某个不为人知的‘出口’处,组成他身体的物质会重新回来。但那个世界的时间线也是没有‘序’的,就像一根粗糙的秸秆,他的‘物质’可能被抛到宇宙大爆炸的时刻突然出现,也可能被抛到未来几千几万年后。”
陈安陆的头还是偏向窗外没有改变姿势,窗外的雨滴执拗地打在玻璃上一点点粉碎。
“我下个月就要结婚了。”她的声音很小。
我打开窗户透了口气。
“祝福你。”
我与陈安陆在离开七层半之前,拍下了很多照片。那些都是江路的“杰作”,黑色的绿色的笔迹,有的保留完好,有的被潮湿的天气侵蚀了,掉下来一大片。两周之后,那栋宿舍楼重新粉刷完成,宿舍房间里装上了热水,换了更大的书柜,地面也从绿色的油漆换成了木质地板,它们盛装打扮,等待全新的主人入住,当我走过那栋楼时,我几乎再也认不出来它。江路的笔迹也不复存在,新的宿舍规定加了一条:不许在墙面上乱涂乱画。
好像这就足以掩盖那里发生过的一切。
陈安陆结婚了,与一名温文尔雅的医生。医生有一个男孩,陈安陆如愿成了母亲——因为那次意外她已经无法生育。这些是我听曾经的同学说的。我收到了请柬,但并没有参加。
那本Navier-Stokes Equations还静静地躺在我的书架上,每当我抬起头,我都能看到它。它带有江路的气味,我不打算将它还给陈安陆。但我至今还没有破译它的秘密,江路想通过这本书表达什么?他离开时说的那句话又是什么意思?我始终猜不透。
我想,或许我应该找一段时间把它认真地读完,就像江路对待数学书所采取的态度那样。
附:江路给陈安陆写的信
安陆:
你好!
这两年来我一直克制自己打听关于你的消息,表面上看,我的生活中你的痕迹完全消失。但实际上我还是会常常想到你(如果你已有了恋人,请他宽恕我的无礼)。你的生活一定很有趣,你美丽、善良、有个性,我相信你一定会遇上真正适合你的人。
写这封信给你是因为我即将开始一段有趣的旅程,而这趟旅程充满了未知。但我无法拒绝这趟旅程对我的诱惑,我相信它或许能赐予我新生,让我遗忘往日的伤痛,荒废的时间,让我重新回到充满创造力的年纪,让我找到答案……
时间不多了,我马上就要启程。是的,我已经做好了决定,我不在乎可能的代价,所有的代价与它能给我的相比都微不足道,这是我的梦想。
在启程之前,我唯一放心不下的是何塞。认识他这么多年,我多多少少明白他对我的想法。何塞是我最重要的朋友,你知道的,除了与你在一起的时光,我们俩几乎形影不离。我的心中多多少少对他有些亏欠,但我不知该如何弥补。或许安安稳稳地生活,维持现状,起床,上课,思考问题,一起喝咖啡,散步,睡觉,这是最温柔的结果。但我无法忍受这样的日子,不知为什么,我总是感到我被什么东西牢牢地困住。衰老,退化,以及关于过去的回忆,它们,以及除了它们之外的很多事物,紧紧地、时刻不停地追随着我,就像追随一个可口的猎物。我感到不自由。同时,它们还让我自私无比,我深刻地意识到了这一点,当那段旅程的诱惑摆在我的面前时,我无法不去顺从它的旨意。我只能选择抛弃这一切,即刻出发,漫长的决定将会是漫长的痛苦……
我已经语无伦次,不知该说些什么好。在最后,我想请你帮我一个忙,我会写一张纸条给你,告诉你我为你留下了一本书,但其实那本书是我想留给何塞的,那本书中有句话,我一直想对何塞说,但我说不出口。拜托你拿上这张纸条去找何塞,让他与你一起去我的房间中寻找这本书,那本书很“显眼”,何塞一定会很快发现。如果他拿起某本书后,一边认真地看那本书一边告诉你“这本书没什么特别的”之类的话,那么就意味着他找到了。因为那是他说谎的一贯表现。你问我他为什么会说谎?相信我,他一定会的。就像我选择了这场未知的旅程,他也一定会以相同的理由撒谎。我们都是自私的。
祝好,
江 路
【责任编辑:迟 卉】