摘 要：数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩充都标志着数学的进步，同时也标志着人的认识水平的一次飞跃.通过广泛查阅文献资料，对数的起源与数系的发展进行了全面的阐述，进而阐述了数系由自然数到整数、整数到有理数、有理数到实数、实数到复数的四个扩充过程及扩充方法，进而研究了数系扩充的思维过程分析，提出了数系扩充的应用，并从中得到启示，为更好的研究数系奠定了基础.
　　关键词：数系 整数 有理数 实数 复数
　　引言
　　数是数学的基础，也是实际生活中广泛应用的工具，从人类历史来看，人类经历了漫长的岁月才形成数的概念，也才认识那些抽象的数。随着人类历史的发展，人们对客观世界存在的量的认识也逐渐发展变化，因而对数的认识也不断发展，由于实际的需要，渐渐引进一些用来表示量的新数，数的系统也逐渐得到了发展.
　　数是从数数、测量等人类生活的实际需要中发展起来的。从社会生活来看，数的发展为了满足生活和生产实际的需求；从数学内部来看，数集是按某种“规则”不断扩充的，自然数中减法产生负数，扩充到整数系统；整数中除法产生分数，扩充到有理数系统；自然数中开方产生无理数，扩充到实数系统；负数中开方产生虚数，扩充到复数系统.逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色，逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难，以至于可能出现无法进行的现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展，数系的每一次扩充，基本都是运算的需要.
　　数的概念的每一次扩展，都能解决数的运算的矛盾，这主要是解决“逆运算”的问题，从数的概念的每一次扩展所得的数集，包括前面的数集，并且经过扩展而产生的数集具有前面数集的主要性质，也解决了前面数集不能（或不一定能）试行的某种运算的问题，数系扩充问题无论是从数学理论还是从数学教育的角度来看，都是极具有研究价值的.针对数系扩充问题，可以从多种角度去认识它、理解它，由此会带来一些有益的启示.