一、问题情景
　　设a1，a2，…，an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则所有数对n，a1d所组成的集合为.
　　探究式解法 取出一个各项不为零的4项等差数列，且公差d>0，如1，2，3，4，则n，a1d=(4，1).再取出一个各项不为零的4项等差数列，且公差d<0，如数列4，3，2，1，则n，a1d=(4，-4)，则所有数对n，a1d所组成的集合为{(4，1)，(4，-4)}.
　　一般性解法 （1）当n=4时，由于连续三项既成等差数列又成等比数列的为常数数列，则只能删去第二或第三项.若删去第二项，则有a23=a1•a4，得出a1=-4d；若删去第三项，则有a22=a1•a4，得出a1=d，则数对n，a1d所组成的集合为{(4，1)，(4，-4)}.
　　（2）当n=5时，若删去第三项，则有a2•a4=a1•a5，得出d=0，不合题意；若删去其他任何一项，总有连续三项为常数数列.当n≥5时，显然都不成立.
　　总之，所有数对n，a1d所组成的集合为{(4，1)，(4，-4)}.
　　二、阐述概念
　　在解决一道数学题时，不是完整的利用题设和学过的概念或定理推出结论，而是从最简单的或特殊的问题入手，再根据已学的知识得到问题的答案或解题思路，进而得出完整或较为准确的结论，即为探究式解法.它区别于探究性学习，因为探究性学习是指教学过程具有探究性，而探究式解题呈现的是解题思维过程的探究性.数学归纳法就是探究式解题法的一种.
　　三、简单应用
　　1.在解填空题中的应用
　　（2005年全国卷1理科第15题）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，若OH=m(OA+OB+OC)，则实数m=.
　　探究式解法 如图1，在一个等腰直角三角形ABC中，C为直角顶点，O为外接圆的圆心.因为C为三角形的垂心H，则OH=OC.又因为OA+OB=0，所以，m=1.我们都知道这样做可能不全面，但是据了解有相当多的考生是这样做的，事实上结论是正确的.
　　一般性解法
　　分析 本题是在平面向量与平面几何知识的交汇点上命题的一道典型试题.考查应用向量的知识解决平面几何问题的能力.
　　解 如图，延长BO到D，则BD是圆O的直径，∠BAD=∠BCD=90°.
　　∴AH∥CD，AD∥CF，AH=DC.
　　∴OH=OA+AH=OA+DC=OA+DO+OC
　　=OA+OB+OC.①
　　又 ∵OH=m(OA+OB+OC)，②
　　比较①，②两式可知m=1.
　　作为一道填空题，这两种解法比较，易见探究式解法更有优越性，尽管后者方法全面系统，但是一般的学生较难想到.
　　图 3
　　2.在解选择题中的应用
　　（2009年上海高考卷文科第18题）过圆C：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心，作直线分别交x，y正半轴于点A，B，△AOB被圆分成四部分（如图3），若这四部分图形面积满足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ，则直线AB有（）
　　A.0条
　　B.1条
　　C.2条
　　D.3条
　　探究式解法 由已知，得SⅣ-SⅡ=SⅢ-SⅠ，第Ⅱ，Ⅳ部分的面积是定值，所以，SⅣ-SⅡ为定值，即SⅢ-SⅠ为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选答案B.
　　其实，在解选择题时，若用一般性解法，可能难度太大.我们往往不是直接去解，而是通过探究式等解法，探究式解法的应用价值被充分地体现出来.
　　四、创新展望
　　1.相对于一般性解题方式，探究式解题更有利于为较难题提供一种解题方式，使得问题简单化，学生更容易接受.
　　2.从简单问题或特殊情况入手得出的结论可能不全面，但有时也是准确的.同时，探究式解题方式或许在解题方法上有意外的收获，数学归纳法就是探究式解题法的一种.
　　一般的，老师总想教给学生一个完备的或者系统的解题方法，让学生掌握并会使用，这一点无可厚非，可是先让学生想问题，他们未必按照你的预期来实现，更难以接受你所讲授的完备的解题方法.我们知道哥德巴赫猜想至今还没有得到证明，但是在一些简单命题的证明是上有了很大突破.也许探究式解题方式并不完美，但是更能锻炼学生的探究能力和创新意识.
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文