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【摘 要】为让每一个学生在课堂获得不同程度的提升，教师在课堂教学中要有分层教学的意识和智慧、分类指导的设计和举措，以及多维评价的理念和行动，落实因材施教的教学原则，追求有梯度的课堂。
【关键词】分层教学;因材施教;多维评价;有梯度的课堂
【作者简介】戴启猛，正高级教师，广西特级教师，广西八桂教育家摇篮工程学员，广西师范大学教育学部特聘研究员，现任南宁市教育科学研究所所长。
到了初中阶段，学生在数学学习中的个体差异逐渐显现出来，且出现较大的差距，这就要求教师在课堂教学中要有分层教学的意识和智慧，分类指导的设计和举措，多维评价的理念和行动，追求有梯度的课堂，以帮助每一个学生在课堂中获得不同程度的提升，体会自己的独特和精彩。
一、分层教学，分类指导，追求有梯度的课堂
分层教学是指教师根据学生现有的知识、能力水平和潜力倾向，把学生科学地分成水平相近的群体并区别对待，这些群体应在教师恰当的分层策略和相互作用中得到最好的发展和提高。因此，分层教學又称分组教学、能力分组，学生按照智力测验分数和学业成绩分成不同水平的班组，教师根据不同班组的实际水平进行教学。
在教学资源紧缺的地区，笔者认为分层教学不是西方发达国家已经实施的分层走班模式，而是应在现有的教学行政班内，从各个层次学生的实际出发，通过确定不同层次的目标，进行不同层次的教学、辅导和检测，使每个学生都得到充分的发展。或是在具体的教学中实施“分层互动”的教学模式。这种“分层”是一种隐性的分层，教师要通过调查和观察，掌握班级内每个学生的学习状况、知识水平、爱好特长及社会环境，将学生按照心理特点分组，形成一个个学习群体。利用小组合作学习和成员之间的互帮互学形式，充分调动师生和学生之间的积极性，为每个学生创造整体发展的机会。特别是对于学生间的人际互动，教师应利用学生层次的差异性与合作意识，形成有利于每个成员协调发展的集体力量。笔者以人教版数学九年级上册“圆周角”教学为例，谈谈自己的一些做法和体会。
（一）从学生实际出发，确定不同层次的教学目标
通过课堂观察和分析，笔者将教授班级的学生分成三种类型：一是学习基础较好、思维敏捷的学生，他们对之前学习圆的有关性质及圆心角等知识掌握得比较扎实，对接下来圆周角概念以及分类证明的学习有比较强的信心;二是学习基础一般的学生，他们需要跟着教师的教学思路进行学习，对分类证明圆周角定理、为什么要分类证明、怎么分类等问题的理解有一定难度;三是学习基础较差的学生，他们不但对前面所学的知识掌握不牢，而且对于直线型有关角的概念的认识也比较模糊。初中数学“四度六步”教学法[1]的“温故”（复习提问，温故孕新）和“引新”（创设情境，引入课题）环节就是从学生实际出发，在实践架构的层面为分层教学做好铺垫，让学生的认识更清晰、更完整，唤醒学生记忆潜能，提高学习兴趣。
（二）照顾不同层次学生需求，精心设计教学内容
为了照顾不同层次学生的学习需求，首先，教师以“画一个圆心角”引导学生回顾圆心角的特征，然后提出问题“如图1，圆心角可以看成是哪些简单的几何图形叠加在一起？”，引导学生根据角的要素进行描述，以训练学生对图形刻画与文字描述两种数学语言的相互转换。接着，教师用几何画板引导学生思考“既然圆心角是角与圆的一种特殊叠加，那么在同一个圆中的两个相等的圆心角（如图2中的∠BOA与∠B′O′A′），将其中一个角绕圆心旋转会出现什么情况？”，借此复习同圆或等圆中相等的弧、弦、圆心角的关系定理，从而为后续学习圆周角定义和认识圆周角中角与圆的联系做好铺垫。最后，教师向学生追问“如果我们单纯地从叠加角度来研究图形，你认为将角和圆这两个基本图形进行叠加后，除了角的顶点与圆心重合，还可以把角的顶点放在哪里？”，从而引导学生动手将圆与角叠加后可能出现的图形（注意要有重叠）尽可能地画出来。同时，创设情境“老师在课前也做了准备，画出了圆与角叠加后可能出现的图形（如图3），现在请同学们比较一下，你画的和老师画的有没有不一样的地方？”，以此引发学生积极讨论，并归纳出图3-b的独特之处，从而自然地引入课题，轻松把握圆周角的特征，进而让学生理解圆周角的定义。
本节课通过复习圆心角定义，从角的构成要素和叠加图形的视角关注圆与角的联系，类比迁移生成圆周角的概念。在接下来的圆周角定理学习中，教师引导学生关注圆与圆周角叠加时，角两边与圆的两个交点将确定一段弧，而该弧与圆周角存在对应关系。类比同圆或等圆中相等的弧、弦、圆心角的关系定理，自然感受圆周角与其所对应弧之间的密切联系，然后再通过猜想、证明、应用等，加深对圆周角概念及其性质的理解。
因此，笔者在“温故”（复习提问，温故孕新）和“引新”（创设情境，引入课题）环节的教学设计，往往是换个角度、换个方式呈现前一课学习的主要内容，设计指向与新知有关联的知识情境，为新知学习做铺垫。教师要有分层教学的意识、因材施教的理念，实现教学内容的梯度设计、教学问题的分层思考，让每一个学生都能在课堂中体会自己不一样的精彩。
二、灵活追问，变式深化，追求有梯度的课堂
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。教师的组织作用主要体现在两个方面：第一，教师应准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计合适的教学方案;第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控，努力营造师生互动、生生互动的课堂氛围，形成有效的学习活动。教师的引导作用主要体现在通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考，激发学生的好奇心;通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想;关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性。这就要求教师在课堂教学中，精心设计教学活动和问题，通过灵活追问、变式深化，逐步趋向对数学知识本质的理解。 （一）由表及里，灵活追问
古人云：“善问者，如攻坚木，先其易者，后其节目。”課堂追问艺术亦是如此，首先从简单开始，然后逐步深入渗透。教师在教学中要反复实践、不断完善，灵活运用追问方式，选择和抓住有利时机，以追问形式激发学生学习兴趣，引导学生深入思考，挖掘学生的思维潜能，让课堂妙趣横生、趣味无穷[2]。课堂追问是一种有效的教学组织形式，它是联系教师、学生和教材的纽带，是激发学生学习兴趣、启发学生深入思考、引导学生解决问题、检验学生学习效果的有效手段。具体做法如下。[3]
1有的放矢，以追问激发思维的广度
新课程标准提倡师生互动，要求学生主动参与课堂，在课堂中培养学生自主学习意识和探究能力。追问就是教师激发学生学习兴趣，吸引学生积极参与的重要途径。然而，追问必须要注重质量。有的教师为了营造课堂气氛，调动学生积极性，追问连续不断，但追问的内容质量并不高。因此，课堂追问要避免热热闹闹流于表面，而应追求真正实效。即教师的追问不在多，而在精;不在形式，而在质量。笔者以人教版数学八年级上册“三角形的内角”教学为例，在引导学生如何证明“三角形内角和等于180°”时，进行如下追问的教学设计。
师：请同学们认真对照图形想一想本题已知什么，求证什么。
生：已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°。
师：请大家分别在图上用简单的符号标一标、画一画，看看有哪些信息在图上找不到。
生：有，180°角。
师：∠A、∠B、∠C都在图上，但是180°角在图上找不到。那么由180°你们会联想到什么呢？
生：平角。
师：图上有平角吗？如果有，那我们就可以把问题转化为证明∠A+∠B+∠C等于这个平角。
生：没有。
师：对，图上没有平角。怎么办？
师：是否可以构造一个平角？请同学们先讨论一下，然后各学习小组推荐一名同学汇报。
（教师激发学生积极参与讨论，然后组织学生相互交流，如图4的四个图形都是学生的想法）
生1：作BC的延长线CD，如图4-a。
生2：过点A作直线DE，如图4-b。
师：可以作一条特殊的线吗？
生3：可以，过点A作BC的平行线DE，如图4-c。
生4：在BC上任取一点D，如图4-d。
师：很好。同学们一下子想出了四种构造平角的方法。但是在这四个图形中，哪一个图形对我们寻找三角形的三个内角与平角的关系最有利？我们可以选择哪一个图形来证明？
教师引导学生利用图4-c进行证明后，又提出一个问题：从刚才证明“三角形内角和等于180°”来看，很显然，同学们联想到“180°是一个平角”是证明的关键。请问看到“180°”除了会联想到是一个平角，还会想到什么？于是教师引导学生通过“互为补角”把问题转化为证明角相等，在让学生发现和感悟新的证明方法的同时，再次掀起课堂研究新高潮。数学教育家斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学（思维）活动的教学。”他在列举数学教学目的时把发展学生的思维能力放在第一位。思维是数学教学的核心问题，人们获取或发展数学知识都是思维的结果。所以，教师通过由表及里，灵活追问的方式，逐步趋向数学知识的本质，不仅深受学生喜爱，而且是追求有梯度的课堂的有效策略。
2巧妙假设，以追问挖掘思维的深度
教学中追问的方式不拘一格，需要教师深入研读教材，找准追问点，以有效的追问挖掘学生思维的深度。如在数学教学中，教师应引导学生通过对问题设问的情境、设问的角度和设问的方法等显性信息，以及命题的意图、解题的方法等隐性信息的追问，帮助学生从中挖掘题干的重要信息，从而快速、准确地解答试题。假设式追问就是常用的一种追问方法，如果在教学中能合理地使用，可以起到事半功倍的效果。
人教版数学八年级下册有这样一道习题：如图5，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，四边形EFGH是什么四边形？为什么？根据学生对四边形的认知水平，不妨对本题进行改编并采取假设式追问“如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，欲使四边形EFGH是菱形，请问四边形ABCD应是什么四边形？为什么？欲使四边形EFGH是矩形呢？”通过这样的改造和追问，借助分析与归纳、类比与联想，猜想与验证等使本来较抽象的结构能获得相对直观的形象解释，能从一道习题的求解中获得整章知识内在联系的系统建构，将一些看似无处着手的问题转化成具有规律的数学模型。
（二）变式深化，攀“梯”登“顶”
根据原上海市青浦县数学教改实验小组的研究成果表明，数学问题一般分解为三个基本成分：1初始状态——问题的条件;2解决的过程——根据一定的知识和经验，变换问题的条件，向结论过渡;3最终状态——问题的结论。[4]如果一道题的条件和结论都很明确，其解题过程也是学生所熟知的，那么我们将其称为标准题。如果对标准题的三个基本成分（即问题的条件、解决的过程和问题的结论，分别用字母A、B和C表示）作改造和变化，使三个基本成分中缺少一个或两个，而且这些成分学生不知道或不明确（即未知的成分），这样的题目称之为变式题。标准题、变式题与不同的教学水平相对应（见表1），其中x、y、z分别代表题目的三个未知成分。
一道题到底属于哪一个级别，取决于教学的情况以及学习该题的学生。例如对某个班级的学生来说，这道题教师已讲透彻，并且要求学生熟练掌握，那它应是标准题。对另一个班级的学生来说，这道题学生尚未接触过，需要自己探究求解的思路，那它就是变式题。同一道题在不同的学习阶段也不一样，例如“解方程x2+x-6=0”这道题，在学生学习了求根公式之后，它是封闭性变式题（ABz型）;但在此之前求解，需要配方法或用两个因式的积等于零的性质去求解，且求解的过程和结论事先都不明确，那就是一道开放性变式题（Ayz型）。著名的教育家和心理学家布卢姆在进行目标分类时曾经意识到这一现象带来的麻烦，他认为两个学生解同样的试题，一个学生以前未学过这类题目，必须应用一般原理推导结论。也就是说，达到同一分类目标，对经验背景不同的学生来说往往并不意味着付出了同样的努力。由于布卢姆的分类理论仅以教学结果的外显行为作为根据，未与教学过程中的行为及其水平联系起来，因此无法解决这一矛盾。但笔者认为，对数学题做这样的划分，不仅能促成教与学水平的递进，还能根据教学实际、把握梯度、指向知识本质设计一系列相关联的变式习题，从而对不同学习水平的学生进行由浅入深、富有成效的训练，发展学生的思维能力，激发学生学习数学的兴趣。 三、因材施教，多维评价，追求有梯度的课堂
因材施教是以承认人的心理的个别差异和学情为基础的教学策略。从总体上说，就是激励学生积极性，明确学习目标，掌握学习方法，使学生通过学习，在原有基础上得到发展和提高。因材施教实际上就是根据学生的情况进行分层教学、分类指导，做到“帮困保底”“扶中提高”“培优拔尖”。笔者认为，义务教育数学学科教学应树立上不“封顶”，下要“保底”的教学理念。对待资优生，教师应根据学生的兴趣特长进行拓展、延伸、拔高，但对于学困生，教师要帮助他们掌握走向未来的必备数学学科基础知识。一般来说，教学上的因材施教主要是以智力差异为基础，教育上的个别对待主要是以性格差异为基础。教师实行分层递进教学，使因材施教得到有效的实施。在因材施教中，“帮困”可以做到“补差”，保证基本教学目标的实现，也就是“保底”;对于中等学生，使他们在原有的基础上得到提高，课堂教学中，教师应设法给他们展示的机会，从而在同伴学习的成功体验中逐步树立学习的自信心;对待资优生，教师应适时发挥他们“小老师”的作用，学习金字塔理论也指出，“教别人”或者“马上应用”，是学生记忆效果最佳的教学方式。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，評价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。通过评价得到的信息，可以了解学生数学学习达到的水平和存在的问题，帮助教师进行总结与反思，调整和改进教学内容与教学过程。数学教学评价不但要关注学生的学习结果，比如建立课堂教学日日清、周周清、单元测、期末评测相结合的评价制度，还要关注学生在学习过程中的分析、思考、推理、判断、假设等，从多维度及时评价，激发学生的无限潜能。教师也应通过评价给予学生自信心，使学生从一个成功走向另一个成功。
心理学家克鲁切茨基曾说过，即便有最完善的教学方法，在数学能力上也总会有个别差异——一些学生更有能力，另一些学生则可能暂时能力不足。在这方面永远不会平等。因此，数学教师应当在着力发展所有学生的数学能力，在培养他们对数学的兴趣与爱好上，有针对性地、系统地做工作，全心爱护每一个学生，同时，也要适当注意数学上超常的学生，为他们布置特殊的作业，以便进一步发展他们的数学能力[5]。这也是笔者提出因材施教，多维评价，追求有梯度的课堂的价值所在。
参考文献：
[1]戴启猛.基于初中数学“四度六步”教学法的理论基础与实践架构[J].中小学课堂教学研究，2020（3）：22-26，39.
[2]戴启猛.创造更加精彩的课堂：初中数学“四度六步教学法”的20年实践与探索[J].广西教育，2020（2）：15-19.
[3]奚小慧.有的放矢，注重梯度：浅谈初中语文课堂追问艺术.文理导航[J]，2014（31）：16.
[4]青浦县数学教改实验小组.学会教学[M].北京：人民教育出版社，1991.
[5]克鲁切茨基.中小学生数学能力心理学[M].赵裕春，李文湉，杨琦，等译.北京：教育科学出版社，1984.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】分层教学;因材施教;多维评价;有梯度的课堂
【作者简介】戴启猛，正高级教师，广西特级教师，广西八桂教育家摇篮工程学员，广西师范大学教育学部特聘研究员，现任南宁市教育科学研究所所长。
到了初中阶段，学生在数学学习中的个体差异逐渐显现出来，且出现较大的差距，这就要求教师在课堂教学中要有分层教学的意识和智慧，分类指导的设计和举措，多维评价的理念和行动，追求有梯度的课堂，以帮助每一个学生在课堂中获得不同程度的提升，体会自己的独特和精彩。
一、分层教学，分类指导，追求有梯度的课堂
分层教学是指教师根据学生现有的知识、能力水平和潜力倾向，把学生科学地分成水平相近的群体并区别对待，这些群体应在教师恰当的分层策略和相互作用中得到最好的发展和提高。因此，分层教學又称分组教学、能力分组，学生按照智力测验分数和学业成绩分成不同水平的班组，教师根据不同班组的实际水平进行教学。
在教学资源紧缺的地区，笔者认为分层教学不是西方发达国家已经实施的分层走班模式，而是应在现有的教学行政班内，从各个层次学生的实际出发，通过确定不同层次的目标，进行不同层次的教学、辅导和检测，使每个学生都得到充分的发展。或是在具体的教学中实施“分层互动”的教学模式。这种“分层”是一种隐性的分层，教师要通过调查和观察，掌握班级内每个学生的学习状况、知识水平、爱好特长及社会环境，将学生按照心理特点分组，形成一个个学习群体。利用小组合作学习和成员之间的互帮互学形式，充分调动师生和学生之间的积极性，为每个学生创造整体发展的机会。特别是对于学生间的人际互动，教师应利用学生层次的差异性与合作意识，形成有利于每个成员协调发展的集体力量。笔者以人教版数学九年级上册“圆周角”教学为例，谈谈自己的一些做法和体会。
（一）从学生实际出发，确定不同层次的教学目标
通过课堂观察和分析，笔者将教授班级的学生分成三种类型：一是学习基础较好、思维敏捷的学生，他们对之前学习圆的有关性质及圆心角等知识掌握得比较扎实，对接下来圆周角概念以及分类证明的学习有比较强的信心;二是学习基础一般的学生，他们需要跟着教师的教学思路进行学习，对分类证明圆周角定理、为什么要分类证明、怎么分类等问题的理解有一定难度;三是学习基础较差的学生，他们不但对前面所学的知识掌握不牢，而且对于直线型有关角的概念的认识也比较模糊。初中数学“四度六步”教学法[1]的“温故”（复习提问，温故孕新）和“引新”（创设情境，引入课题）环节就是从学生实际出发，在实践架构的层面为分层教学做好铺垫，让学生的认识更清晰、更完整，唤醒学生记忆潜能，提高学习兴趣。
（二）照顾不同层次学生需求，精心设计教学内容
为了照顾不同层次学生的学习需求，首先，教师以“画一个圆心角”引导学生回顾圆心角的特征，然后提出问题“如图1，圆心角可以看成是哪些简单的几何图形叠加在一起？”，引导学生根据角的要素进行描述，以训练学生对图形刻画与文字描述两种数学语言的相互转换。接着，教师用几何画板引导学生思考“既然圆心角是角与圆的一种特殊叠加，那么在同一个圆中的两个相等的圆心角（如图2中的∠BOA与∠B′O′A′），将其中一个角绕圆心旋转会出现什么情况？”，借此复习同圆或等圆中相等的弧、弦、圆心角的关系定理，从而为后续学习圆周角定义和认识圆周角中角与圆的联系做好铺垫。最后，教师向学生追问“如果我们单纯地从叠加角度来研究图形，你认为将角和圆这两个基本图形进行叠加后，除了角的顶点与圆心重合，还可以把角的顶点放在哪里？”，从而引导学生动手将圆与角叠加后可能出现的图形（注意要有重叠）尽可能地画出来。同时，创设情境“老师在课前也做了准备，画出了圆与角叠加后可能出现的图形（如图3），现在请同学们比较一下，你画的和老师画的有没有不一样的地方？”，以此引发学生积极讨论，并归纳出图3-b的独特之处，从而自然地引入课题，轻松把握圆周角的特征，进而让学生理解圆周角的定义。
本节课通过复习圆心角定义，从角的构成要素和叠加图形的视角关注圆与角的联系，类比迁移生成圆周角的概念。在接下来的圆周角定理学习中，教师引导学生关注圆与圆周角叠加时，角两边与圆的两个交点将确定一段弧，而该弧与圆周角存在对应关系。类比同圆或等圆中相等的弧、弦、圆心角的关系定理，自然感受圆周角与其所对应弧之间的密切联系，然后再通过猜想、证明、应用等，加深对圆周角概念及其性质的理解。
因此，笔者在“温故”（复习提问，温故孕新）和“引新”（创设情境，引入课题）环节的教学设计，往往是换个角度、换个方式呈现前一课学习的主要内容，设计指向与新知有关联的知识情境，为新知学习做铺垫。教师要有分层教学的意识、因材施教的理念，实现教学内容的梯度设计、教学问题的分层思考，让每一个学生都能在课堂中体会自己不一样的精彩。
二、灵活追问，变式深化，追求有梯度的课堂
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。教师的组织作用主要体现在两个方面：第一，教师应准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计合适的教学方案;第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控，努力营造师生互动、生生互动的课堂氛围，形成有效的学习活动。教师的引导作用主要体现在通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考，激发学生的好奇心;通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想;关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性。这就要求教师在课堂教学中，精心设计教学活动和问题，通过灵活追问、变式深化，逐步趋向对数学知识本质的理解。 （一）由表及里，灵活追问
古人云：“善问者，如攻坚木，先其易者，后其节目。”課堂追问艺术亦是如此，首先从简单开始，然后逐步深入渗透。教师在教学中要反复实践、不断完善，灵活运用追问方式，选择和抓住有利时机，以追问形式激发学生学习兴趣，引导学生深入思考，挖掘学生的思维潜能，让课堂妙趣横生、趣味无穷[2]。课堂追问是一种有效的教学组织形式，它是联系教师、学生和教材的纽带，是激发学生学习兴趣、启发学生深入思考、引导学生解决问题、检验学生学习效果的有效手段。具体做法如下。[3]
1有的放矢，以追问激发思维的广度
新课程标准提倡师生互动，要求学生主动参与课堂，在课堂中培养学生自主学习意识和探究能力。追问就是教师激发学生学习兴趣，吸引学生积极参与的重要途径。然而，追问必须要注重质量。有的教师为了营造课堂气氛，调动学生积极性，追问连续不断，但追问的内容质量并不高。因此，课堂追问要避免热热闹闹流于表面，而应追求真正实效。即教师的追问不在多，而在精;不在形式，而在质量。笔者以人教版数学八年级上册“三角形的内角”教学为例，在引导学生如何证明“三角形内角和等于180°”时，进行如下追问的教学设计。
师：请同学们认真对照图形想一想本题已知什么，求证什么。
生：已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°。
师：请大家分别在图上用简单的符号标一标、画一画，看看有哪些信息在图上找不到。
生：有，180°角。
师：∠A、∠B、∠C都在图上，但是180°角在图上找不到。那么由180°你们会联想到什么呢？
生：平角。
师：图上有平角吗？如果有，那我们就可以把问题转化为证明∠A+∠B+∠C等于这个平角。
生：没有。
师：对，图上没有平角。怎么办？
师：是否可以构造一个平角？请同学们先讨论一下，然后各学习小组推荐一名同学汇报。
（教师激发学生积极参与讨论，然后组织学生相互交流，如图4的四个图形都是学生的想法）
生1：作BC的延长线CD，如图4-a。
生2：过点A作直线DE，如图4-b。
师：可以作一条特殊的线吗？
生3：可以，过点A作BC的平行线DE，如图4-c。
生4：在BC上任取一点D，如图4-d。
师：很好。同学们一下子想出了四种构造平角的方法。但是在这四个图形中，哪一个图形对我们寻找三角形的三个内角与平角的关系最有利？我们可以选择哪一个图形来证明？
教师引导学生利用图4-c进行证明后，又提出一个问题：从刚才证明“三角形内角和等于180°”来看，很显然，同学们联想到“180°是一个平角”是证明的关键。请问看到“180°”除了会联想到是一个平角，还会想到什么？于是教师引导学生通过“互为补角”把问题转化为证明角相等，在让学生发现和感悟新的证明方法的同时，再次掀起课堂研究新高潮。数学教育家斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学（思维）活动的教学。”他在列举数学教学目的时把发展学生的思维能力放在第一位。思维是数学教学的核心问题，人们获取或发展数学知识都是思维的结果。所以，教师通过由表及里，灵活追问的方式，逐步趋向数学知识的本质，不仅深受学生喜爱，而且是追求有梯度的课堂的有效策略。
2巧妙假设，以追问挖掘思维的深度
教学中追问的方式不拘一格，需要教师深入研读教材，找准追问点，以有效的追问挖掘学生思维的深度。如在数学教学中，教师应引导学生通过对问题设问的情境、设问的角度和设问的方法等显性信息，以及命题的意图、解题的方法等隐性信息的追问，帮助学生从中挖掘题干的重要信息，从而快速、准确地解答试题。假设式追问就是常用的一种追问方法，如果在教学中能合理地使用，可以起到事半功倍的效果。
人教版数学八年级下册有这样一道习题：如图5，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，四边形EFGH是什么四边形？为什么？根据学生对四边形的认知水平，不妨对本题进行改编并采取假设式追问“如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，欲使四边形EFGH是菱形，请问四边形ABCD应是什么四边形？为什么？欲使四边形EFGH是矩形呢？”通过这样的改造和追问，借助分析与归纳、类比与联想，猜想与验证等使本来较抽象的结构能获得相对直观的形象解释，能从一道习题的求解中获得整章知识内在联系的系统建构，将一些看似无处着手的问题转化成具有规律的数学模型。
（二）变式深化，攀“梯”登“顶”
根据原上海市青浦县数学教改实验小组的研究成果表明，数学问题一般分解为三个基本成分：1初始状态——问题的条件;2解决的过程——根据一定的知识和经验，变换问题的条件，向结论过渡;3最终状态——问题的结论。[4]如果一道题的条件和结论都很明确，其解题过程也是学生所熟知的，那么我们将其称为标准题。如果对标准题的三个基本成分（即问题的条件、解决的过程和问题的结论，分别用字母A、B和C表示）作改造和变化，使三个基本成分中缺少一个或两个，而且这些成分学生不知道或不明确（即未知的成分），这样的题目称之为变式题。标准题、变式题与不同的教学水平相对应（见表1），其中x、y、z分别代表题目的三个未知成分。
一道题到底属于哪一个级别，取决于教学的情况以及学习该题的学生。例如对某个班级的学生来说，这道题教师已讲透彻，并且要求学生熟练掌握，那它应是标准题。对另一个班级的学生来说，这道题学生尚未接触过，需要自己探究求解的思路，那它就是变式题。同一道题在不同的学习阶段也不一样，例如“解方程x2+x-6=0”这道题，在学生学习了求根公式之后，它是封闭性变式题（ABz型）;但在此之前求解，需要配方法或用两个因式的积等于零的性质去求解，且求解的过程和结论事先都不明确，那就是一道开放性变式题（Ayz型）。著名的教育家和心理学家布卢姆在进行目标分类时曾经意识到这一现象带来的麻烦，他认为两个学生解同样的试题，一个学生以前未学过这类题目，必须应用一般原理推导结论。也就是说，达到同一分类目标，对经验背景不同的学生来说往往并不意味着付出了同样的努力。由于布卢姆的分类理论仅以教学结果的外显行为作为根据，未与教学过程中的行为及其水平联系起来，因此无法解决这一矛盾。但笔者认为，对数学题做这样的划分，不仅能促成教与学水平的递进，还能根据教学实际、把握梯度、指向知识本质设计一系列相关联的变式习题，从而对不同学习水平的学生进行由浅入深、富有成效的训练，发展学生的思维能力，激发学生学习数学的兴趣。 三、因材施教，多维评价，追求有梯度的课堂
因材施教是以承认人的心理的个别差异和学情为基础的教学策略。从总体上说，就是激励学生积极性，明确学习目标，掌握学习方法，使学生通过学习，在原有基础上得到发展和提高。因材施教实际上就是根据学生的情况进行分层教学、分类指导，做到“帮困保底”“扶中提高”“培优拔尖”。笔者认为，义务教育数学学科教学应树立上不“封顶”，下要“保底”的教学理念。对待资优生，教师应根据学生的兴趣特长进行拓展、延伸、拔高，但对于学困生，教师要帮助他们掌握走向未来的必备数学学科基础知识。一般来说，教学上的因材施教主要是以智力差异为基础，教育上的个别对待主要是以性格差异为基础。教师实行分层递进教学，使因材施教得到有效的实施。在因材施教中，“帮困”可以做到“补差”，保证基本教学目标的实现，也就是“保底”;对于中等学生，使他们在原有的基础上得到提高，课堂教学中，教师应设法给他们展示的机会，从而在同伴学习的成功体验中逐步树立学习的自信心;对待资优生，教师应适时发挥他们“小老师”的作用，学习金字塔理论也指出，“教别人”或者“马上应用”，是学生记忆效果最佳的教学方式。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，評价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。通过评价得到的信息，可以了解学生数学学习达到的水平和存在的问题，帮助教师进行总结与反思，调整和改进教学内容与教学过程。数学教学评价不但要关注学生的学习结果，比如建立课堂教学日日清、周周清、单元测、期末评测相结合的评价制度，还要关注学生在学习过程中的分析、思考、推理、判断、假设等，从多维度及时评价，激发学生的无限潜能。教师也应通过评价给予学生自信心，使学生从一个成功走向另一个成功。
心理学家克鲁切茨基曾说过，即便有最完善的教学方法，在数学能力上也总会有个别差异——一些学生更有能力，另一些学生则可能暂时能力不足。在这方面永远不会平等。因此，数学教师应当在着力发展所有学生的数学能力，在培养他们对数学的兴趣与爱好上，有针对性地、系统地做工作，全心爱护每一个学生，同时，也要适当注意数学上超常的学生，为他们布置特殊的作业，以便进一步发展他们的数学能力[5]。这也是笔者提出因材施教，多维评价，追求有梯度的课堂的价值所在。
参考文献：
[1]戴启猛.基于初中数学“四度六步”教学法的理论基础与实践架构[J].中小学课堂教学研究，2020（3）：22-26，39.
[2]戴启猛.创造更加精彩的课堂：初中数学“四度六步教学法”的20年实践与探索[J].广西教育，2020（2）：15-19.
[3]奚小慧.有的放矢，注重梯度：浅谈初中语文课堂追问艺术.文理导航[J]，2014（31）：16.
[4]青浦县数学教改实验小组.学会教学[M].北京：人民教育出版社，1991.
[5]克鲁切茨基.中小学生数学能力心理学[M].赵裕春，李文湉，杨琦，等译.北京：教育科学出版社，1984.
（责任编辑：陆顺演）