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中考数学试题大多灵活多样,命题者往往故意设置一些“陷阱”等着同学们掉进去.“陷阱题”与常规题不同,它具有较大的迷惑性、较好的隐蔽性,同学们在解题时如果考虑不周,稍不留意就会出错.下面罗列了考试中最常出现、同学们最易答错的四类“陷阱题”.
一、因对数学概念理解不清而掉入“陷阱”
由于数学概念都很抽象,同学们如果只了解其皮毛,知其然而不知其所以然,那么在解题时就犹如拿错钥匙去开门一样,倒腾半天也不得其门而入.
【错例分析】
1.方程2x(x-2)=x-2的解是_______.
错解:x=■.
分析:运用等式的性质解方程时,要注意等式两边所除以的数或式必须不等于0,而本题中(x-2)是可以为0的,所以不能等式两边都除以(x-2).
正解:将右边(x-2)整体移项至左边,再用提公因式法分解因式解方程,即可解得:x1=■,x2=2.
2.在实数范围内因式分解:a4-4.
错解:原式=(a2+2)(a2-2).
分析:因式分解要求每个因式都要分解到不能再分解为止,而且题目要求是在实数范围内因式分解,因此对第二个因式还可以继续再分解.
二、 因对结论应满足的各项条件认识不足而掉入“陷阱”
很多同学在解题时只着眼于题设中已经给出的明显条件,缺乏挖掘题目中隐含条件的意识,这样往往因考虑问题不严密,致使解答时不完整而出错.
【错例分析】
三、因对结论存在的多种可能性认识不足而掉入“陷阱”
许多数学问题,当题目的条件发生变化时,其结论也会跟着变化,如果不将问题全面讨论、合理分类,那么就很难得到完整的答案.
【错例分析】
1.等腰三角形的边长是方程x2-7x+6=0的根,求等腰三角形的周长.
错解:x2-7x+6=0的根是1,6.1,1,6 不能围成三角形;6,6,1能围成三角形,所以周长为13.
分析:对于方程的两个根组合成三角形的情况要作全面讨论,除了6,6,1 能围成三角形,6,6,6 也可以,它是特殊的等腰三角形(正三角形),周长为18;此外,1,1,1 也可以,它的周长为3.
正解:等腰三角形的周长有三个:13,18,3.
2.等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角是40°,求它的顶角.
错解:如图1所示,BD为腰AC上的高线,且∠ABD=40°,所以∠A=50°.
分析:对于三角形的高线,可能在三角形的内部,也可能是在三角形的外部,因此还有一种情况,如图2所示,CD为腰AB上的高线,且∠ACD=40°,所以∠BAC=90°+40°=130°.
正解:顶角∠A为50°或130°.
图1 图2
四、因解题的思维定势而掉入“陷阱”
很多同学在解题时,往往根据自己的思维定势解题,误将一些自己默认的条件附加在已知题设上,或者是将一些根据特殊情况得出的结论作为解题的依据,这样自然会出现某些不合理、不严密的结论,从而导致解题错误.
【错例分析】
1.判断题:△ABC的三条边分别为a、b、c,并且a2+b2≠c2则△ABC就不是直角三角形.( )
错解:认为此判断正确.
分析:受思维定势影响,对此题很容易作出肯定判断。由a2+b2=c2可以立即判断△ABC是直角三角形,但它只是充分条件,而非必要条件.c并不一定是斜边,如a=5,b=3,c=4等,a2+b2≠c2,但△ABC仍是直角三角形.
2.已知关于x的函数y=(a2+3a+2)x2+(a+1)x+的图象与x轴总有交点,求a的取值范围.
错解:由二次函数的定义及其性质得
a2+3a+2≠0,且△=(a+1)2-(a2+3a+2)≥0,
解得a<-1且a≠-2.
分析:条件中未指明函数一定是二次函数,当a=-2时,函数变为y=-x+,此时是一次函数,它与x轴也有交点.
正解:a的取值范围为a<-1.
一、因对数学概念理解不清而掉入“陷阱”
由于数学概念都很抽象,同学们如果只了解其皮毛,知其然而不知其所以然,那么在解题时就犹如拿错钥匙去开门一样,倒腾半天也不得其门而入.
【错例分析】
1.方程2x(x-2)=x-2的解是_______.
错解:x=■.
分析:运用等式的性质解方程时,要注意等式两边所除以的数或式必须不等于0,而本题中(x-2)是可以为0的,所以不能等式两边都除以(x-2).
正解:将右边(x-2)整体移项至左边,再用提公因式法分解因式解方程,即可解得:x1=■,x2=2.
2.在实数范围内因式分解:a4-4.
错解:原式=(a2+2)(a2-2).
分析:因式分解要求每个因式都要分解到不能再分解为止,而且题目要求是在实数范围内因式分解,因此对第二个因式还可以继续再分解.
二、 因对结论应满足的各项条件认识不足而掉入“陷阱”
很多同学在解题时只着眼于题设中已经给出的明显条件,缺乏挖掘题目中隐含条件的意识,这样往往因考虑问题不严密,致使解答时不完整而出错.
【错例分析】
三、因对结论存在的多种可能性认识不足而掉入“陷阱”
许多数学问题,当题目的条件发生变化时,其结论也会跟着变化,如果不将问题全面讨论、合理分类,那么就很难得到完整的答案.
【错例分析】
1.等腰三角形的边长是方程x2-7x+6=0的根,求等腰三角形的周长.
错解:x2-7x+6=0的根是1,6.1,1,6 不能围成三角形;6,6,1能围成三角形,所以周长为13.
分析:对于方程的两个根组合成三角形的情况要作全面讨论,除了6,6,1 能围成三角形,6,6,6 也可以,它是特殊的等腰三角形(正三角形),周长为18;此外,1,1,1 也可以,它的周长为3.
正解:等腰三角形的周长有三个:13,18,3.
2.等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角是40°,求它的顶角.
错解:如图1所示,BD为腰AC上的高线,且∠ABD=40°,所以∠A=50°.
分析:对于三角形的高线,可能在三角形的内部,也可能是在三角形的外部,因此还有一种情况,如图2所示,CD为腰AB上的高线,且∠ACD=40°,所以∠BAC=90°+40°=130°.
正解:顶角∠A为50°或130°.
图1 图2
四、因解题的思维定势而掉入“陷阱”
很多同学在解题时,往往根据自己的思维定势解题,误将一些自己默认的条件附加在已知题设上,或者是将一些根据特殊情况得出的结论作为解题的依据,这样自然会出现某些不合理、不严密的结论,从而导致解题错误.
【错例分析】
1.判断题:△ABC的三条边分别为a、b、c,并且a2+b2≠c2则△ABC就不是直角三角形.( )
错解:认为此判断正确.
分析:受思维定势影响,对此题很容易作出肯定判断。由a2+b2=c2可以立即判断△ABC是直角三角形,但它只是充分条件,而非必要条件.c并不一定是斜边,如a=5,b=3,c=4等,a2+b2≠c2,但△ABC仍是直角三角形.
2.已知关于x的函数y=(a2+3a+2)x2+(a+1)x+的图象与x轴总有交点,求a的取值范围.
错解:由二次函数的定义及其性质得
a2+3a+2≠0,且△=(a+1)2-(a2+3a+2)≥0,
解得a<-1且a≠-2.
分析:条件中未指明函数一定是二次函数,当a=-2时,函数变为y=-x+,此时是一次函数,它与x轴也有交点.
正解:a的取值范围为a<-1.