论文部分内容阅读
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）47-0198-02
一、引言
函数在中学数学中涉及很多，中学数学主要学习一些常见函数的图像与性质，如一次函数、二次函数等，这些简单函数我们可以采用直接判别法判断它的单调性。习题中会出现判断增减函数，求单调区间等题型。解决此类问题我们有多种方法。
我们学了函数的基础理论以及它的单调性、奇偶性，并且在例题和课后习题中涉及到它的应用，在求值域，比较函数值的大小都应用。接着又学了其他基本初等函数，根据它们的图像来判断它的一些性质，如定义域，值域等，后来又学了三角函数，依然还是根据图像来判断它的单调性，奇偶性。还有用导数来判别函数的单调性。因此判别函数单调性的方法有若干，对于具体的函数，我们可以用多种方法去判断它的单调性，应灵活选择恰当的方法，从而使解題过程简单。
当然，每个知识点都有它的应用，函数的单调性也不例外，在求极值、最值、不等式、比较大小等方面都有应用。我认为函数对于学生学习数学真的关键。
二、函数单调性的概念
函数单调性的定义：设x的取值范围I，若对于I内的每一个区间D的随便两个自变量x1、x2，当 时，总是有 < ，这样就称 在区间D上是增函数。
若对于I内的每一个区间D的随便两个自变量x1， x2，当 时，总是有 > ，这样就称 在区间D上是减函数。
三、函数单调性的判别方法
（一）定义法
该方法就是首先在区间D上任取两个数 、 ，令 ，然后让 、 作差，判断 的正负号，如果结果是正的，所求函数就是减函数，如果结果是负的，所求函数就是增函数。（判断单调性时最难的一步是在作差时的变形处理，常见的处理方法有因式分解，配方法，有理化，通分等）。
例1：证明函数 在R上为增函数
分析：对于一些简单初等函数单调性的判断，利用定义法可以很快作出判定。
证明：任取 、 ∈ ，且令 ，则有 - >0
所以 。
因为
所以 ，因此 为增函数。
（二）直接判别法
初中我们学习了正比例函数、一次、二次函数，高中我们学习了指数、对数函数，对于这些熟知的函数，我们可以直接判断它的单调性，不用定义来判断，因为直接判断比定义法快很多。
1.对于一次函数 ，定义域为 ，通过比例系数k判断单调性， 时，在 上是增函数， 时，在 上是减函数。
2.对于初中所学的二次函数 ，定义域为 ，判断它的单调性，二次项系数a和对称轴 起到关键作用，因此判断它的单调性时，首先找对称轴，也就是先算 ，再结合a的正负判断单调性。
3.对于反比例函数 ，定义域为 ，判断它的单调性也是通过比例系数k来判断，当 时，它是在定义域上的减函数，当 时，它是在定义域上的增函数。
4.对于指数函数 ，定义域为 ，判断它的单调性由底数a来决定，通过比较a与1的大小，看它是大于1，还是 。
5.对于对数函数 ，定义域为 ，判断它的单调性由a决定，通过比较a与1的大小，看它是大于1，还是 。
6.对于正弦、余弦函数，也可以用直接判别法判断.
例2判断函数 的单调性。
解析：很明显题中所给是二次函数，我们用直接判别法来判断。
证明：由题得， ，即对称轴 。
又因为 ，即在 是增函数，在 是减函数。
（三）导数法
该方法是求函数单调性的又一种办法，对于一些函数，用求导法简单快捷，难题中判断函数的单调性，一般情况都是用求导数法。
例3：讨论函数 的单调性。
分析：最初要确定函数的定义域，求出 ，并对该方程 进行求解，求出它在定义域内所有实根，继而将函数的不连续点和所有实数根由小到大的顺序排列，把函数的定义域分成好多个区间，最后根据区间符号判断。
注意函数单调性与导数的关系：在某个区间 内，
如果 >0，那么函数y= 在这个区间内单调递增；
如果 <0，那么函数y= 在这个区间内单调递减。
（四）图像法
一些函数可以找几个特殊点通过描点连线大致画出函数的图像，根据图像来判断单调性。在做一些选择题时可以采用图像法。
四、函数单调性的应用
（一）求函数的值域
例4：求 的值域。
解：由题得 ，即对称轴
又因为 ，所以函数单调递减在 上，单调递增在 上，
即y= x2-6x+13在 时取到最小值，代入得
当 时，代入函数得 ，
当 时，代入函数得 ，
所以函数在 的值域为 。
（二）求函数的最值
例5求函数 的最值。
分析：首先求 ，然后利用 单调性求出单调范围，最后在单调范围上求出最值。
解：函数 的定义域是 ；
可以证明函数 在定义域内是增函数；
则有 ；
即函数 +有最小值0，无最大值。
注意：本类型题主要是用函数单调性法直接求最值问题。
（三）求函数的极值
例6：求函数 的极值。
分析：首先先求函数导数，判断 的正负来判断单调性，若导数开始是小于0变为大于0，则 是极小值.若导数开始是大于0变为小于0，则 是极大值。
解：
令 ，解得 ，
当x变化时， 、 的变化情况如下表：
因此当x=-3时有极大值，并且 极大值=54；
当x=3时有极小值，并且 极小值=-54。
注意：利用函数单调性求函数的极值是数学中经常出现的题型，在求解这类问题的时候留意极值和最值得区别，最值是最高的或者是最低的，只能有一个，极值就不一样了，它可能有好几个，它是某一断内的最高或最低。
（四）求参数的取值范围
例7：若函数 是R上的减函数，则a的取值范围为
分析：根据单调递减的一次函数一次项系数为负数的一次函数特性，建立关于a的不等式求解。
解：因为函数 是R上的减函数，所以 ，解得 所以a的取值范围是 。
例8：函数 4x2 在区间 上是增函数，则 的取值范围是________。
解：由题意知 ，所以 ，所以 。
注意：对于抽象函数单调性求原函数中未知参数取值区间问题时，解决此类题需要构造函数。
（五）用函数单调性解不等式
例9：已知函数 为区间 上的增函数，则求满足 的实数x的取值范围。
解：由题意得：
解得
所以的取值范围是 。
分析：依据函数单调性将函数的大小关系转化为自变量的大小关系（关于x的不等式），与定义域联立即得x的取值范围。
五、结束语
判别函数单调性及其应用在解决实际问题中起至关重要的作用，是中学数学重点讲授内容。以后我会不断研究教材，充实数学教学理论，继续更新数学教学方法，让学生掌握更多的数学知识。
一、引言
函数在中学数学中涉及很多，中学数学主要学习一些常见函数的图像与性质，如一次函数、二次函数等，这些简单函数我们可以采用直接判别法判断它的单调性。习题中会出现判断增减函数，求单调区间等题型。解决此类问题我们有多种方法。
我们学了函数的基础理论以及它的单调性、奇偶性，并且在例题和课后习题中涉及到它的应用，在求值域，比较函数值的大小都应用。接着又学了其他基本初等函数，根据它们的图像来判断它的一些性质，如定义域，值域等，后来又学了三角函数，依然还是根据图像来判断它的单调性，奇偶性。还有用导数来判别函数的单调性。因此判别函数单调性的方法有若干，对于具体的函数，我们可以用多种方法去判断它的单调性，应灵活选择恰当的方法，从而使解題过程简单。
当然，每个知识点都有它的应用，函数的单调性也不例外，在求极值、最值、不等式、比较大小等方面都有应用。我认为函数对于学生学习数学真的关键。
二、函数单调性的概念
函数单调性的定义：设x的取值范围I，若对于I内的每一个区间D的随便两个自变量x1、x2，当 时，总是有 < ，这样就称 在区间D上是增函数。
若对于I内的每一个区间D的随便两个自变量x1， x2，当 时，总是有 > ，这样就称 在区间D上是减函数。
三、函数单调性的判别方法
（一）定义法
该方法就是首先在区间D上任取两个数 、 ，令 ，然后让 、 作差，判断 的正负号，如果结果是正的，所求函数就是减函数，如果结果是负的，所求函数就是增函数。（判断单调性时最难的一步是在作差时的变形处理，常见的处理方法有因式分解，配方法，有理化，通分等）。
例1：证明函数 在R上为增函数
分析：对于一些简单初等函数单调性的判断，利用定义法可以很快作出判定。
证明：任取 、 ∈ ，且令 ，则有 - >0
所以 。
因为
所以 ，因此 为增函数。
（二）直接判别法
初中我们学习了正比例函数、一次、二次函数，高中我们学习了指数、对数函数，对于这些熟知的函数，我们可以直接判断它的单调性，不用定义来判断，因为直接判断比定义法快很多。
1.对于一次函数 ，定义域为 ，通过比例系数k判断单调性， 时，在 上是增函数， 时，在 上是减函数。
2.对于初中所学的二次函数 ，定义域为 ，判断它的单调性，二次项系数a和对称轴 起到关键作用，因此判断它的单调性时，首先找对称轴，也就是先算 ，再结合a的正负判断单调性。
3.对于反比例函数 ，定义域为 ，判断它的单调性也是通过比例系数k来判断，当 时，它是在定义域上的减函数，当 时，它是在定义域上的增函数。
4.对于指数函数 ，定义域为 ，判断它的单调性由底数a来决定，通过比较a与1的大小，看它是大于1，还是 。
5.对于对数函数 ，定义域为 ，判断它的单调性由a决定，通过比较a与1的大小，看它是大于1，还是 。
6.对于正弦、余弦函数，也可以用直接判别法判断.
例2判断函数 的单调性。
解析：很明显题中所给是二次函数，我们用直接判别法来判断。
证明：由题得， ，即对称轴 。
又因为 ，即在 是增函数，在 是减函数。
（三）导数法
该方法是求函数单调性的又一种办法，对于一些函数，用求导法简单快捷，难题中判断函数的单调性，一般情况都是用求导数法。
例3：讨论函数 的单调性。
分析：最初要确定函数的定义域，求出 ，并对该方程 进行求解，求出它在定义域内所有实根，继而将函数的不连续点和所有实数根由小到大的顺序排列，把函数的定义域分成好多个区间，最后根据区间符号判断。
注意函数单调性与导数的关系：在某个区间 内，
如果 >0，那么函数y= 在这个区间内单调递增；
如果 <0，那么函数y= 在这个区间内单调递减。
（四）图像法
一些函数可以找几个特殊点通过描点连线大致画出函数的图像，根据图像来判断单调性。在做一些选择题时可以采用图像法。
四、函数单调性的应用
（一）求函数的值域
例4：求 的值域。
解：由题得 ，即对称轴
又因为 ，所以函数单调递减在 上，单调递增在 上，
即y= x2-6x+13在 时取到最小值，代入得
当 时，代入函数得 ，
当 时，代入函数得 ，
所以函数在 的值域为 。
（二）求函数的最值
例5求函数 的最值。
分析：首先求 ，然后利用 单调性求出单调范围，最后在单调范围上求出最值。
解：函数 的定义域是 ；
可以证明函数 在定义域内是增函数；
则有 ；
即函数 +有最小值0，无最大值。
注意：本类型题主要是用函数单调性法直接求最值问题。
（三）求函数的极值
例6：求函数 的极值。
分析：首先先求函数导数，判断 的正负来判断单调性，若导数开始是小于0变为大于0，则 是极小值.若导数开始是大于0变为小于0，则 是极大值。
解：
令 ，解得 ，
当x变化时， 、 的变化情况如下表：
因此当x=-3时有极大值，并且 极大值=54；
当x=3时有极小值，并且 极小值=-54。
注意：利用函数单调性求函数的极值是数学中经常出现的题型，在求解这类问题的时候留意极值和最值得区别，最值是最高的或者是最低的，只能有一个，极值就不一样了，它可能有好几个，它是某一断内的最高或最低。
（四）求参数的取值范围
例7：若函数 是R上的减函数，则a的取值范围为
分析：根据单调递减的一次函数一次项系数为负数的一次函数特性，建立关于a的不等式求解。
解：因为函数 是R上的减函数，所以 ，解得 所以a的取值范围是 。
例8：函数 4x2 在区间 上是增函数，则 的取值范围是________。
解：由题意知 ，所以 ，所以 。
注意：对于抽象函数单调性求原函数中未知参数取值区间问题时，解决此类题需要构造函数。
（五）用函数单调性解不等式
例9：已知函数 为区间 上的增函数，则求满足 的实数x的取值范围。
解：由题意得：
解得
所以的取值范围是 。
分析：依据函数单调性将函数的大小关系转化为自变量的大小关系（关于x的不等式），与定义域联立即得x的取值范围。
五、结束语
判别函数单调性及其应用在解决实际问题中起至关重要的作用，是中学数学重点讲授内容。以后我会不断研究教材，充实数学教学理论，继续更新数学教学方法，让学生掌握更多的数学知识。