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数学来源于实践，其发展受实践的影响。虽然它也是一种理想的创造物，但决非是胡思乱想、脱离现实。它是常识的精微化。所谓“常识的精微化”，是指对常识的精练细微化，实质也是加工抽象化。下面从数学规定、数学符号、数学活动和数学思想等方面加以粗浅说明。
一、数学规定
规定是对处理某一事项所制定的办法。人类社会有许多规定，其目的是为了人类的生存、生活和工作的需要。如国家的法律、城市交通法规、学生行为规范，等等。规定在数学中也很普遍，它是数学工作的需要，也符合人类认识的常理。
例1：对于“x=arcsiny”，其中一个y对应着无穷多个x，考虑其周期性，规定它的主值区间- ，就可使y与x建立一一对应的关系，这对于我们研究问题就方便了。
例2：在推导椭圆方程时，首先要建立“标准位置”（这本身也符合常理），得出的 =2a是椭圆上点的轨迹方程，而将其化为 1则更好，又作出规定：b2=a2-c2（b>0）后,其形式为 =1，其中a、b、c都具有了明确的几何意义，且形式最简单，便于对椭圆性质的研究。如果规定b>0，则短半轴长为|b|，就不如前面的方便了。
像数学中经常出现的“一般形式”、“最简形式”、“标准形式”、“基本形式”等规定，使数学表达最简单、最方便，这也是对人类认识的优化或优选。
例3:合并同类项以后的多项式称为最简多项式，这使多项式的表达简单、确定，也符合常理。如要购买早点：8根油条4只大饼，决不会说成“4根油条2只大饼再4根油条2只大饼”，这是一样的道理。
二、数学符号
数学的一切进步都是对引入符号的反映，在使用和传播的过程中又不断地加以改进，其间也是对日常认识的精微化。
例4：零号（0）的演变。我国古书缺字都用□来表示，数字间的空位，自然也可以用□来表示。在书写的时候，字体常写成行书，而方块也就容易划成圆圈了。于是，“〇”被作为零号。“零”这个字，原来并不表示空无所有的〇。根据《说文解字》中的解释，“零”是作“零头”，如“零丁”、“零星”、“零碎”都是这个意思。105读作“一百零五”，原来是指一百之外还有一个零头五。后来〇也就读作零了，符号〇则演变为扁圆的“0”。
例5：根号的演变。1480年前后，德国人用一个点（.）来表示平方根。如.5是5的平方根。到十六世纪初，小点带上一条尾巴变成“ノ”，可能是写快时带上的。如5的平方根写成ノ5后又变为√5。但为了区分类似5+a的平方根减去x和5+a-x的平方根，于是产生了 即现在的记号 。
综观数学符号的演变过程，大多是基于人们的认识需要，而逐步精微化的。
三、数学活动
数学活动已涉及到社会生活、生产等各个方面。
例6：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象，并在多次重复的随机试验中又往往呈现出明显的数量规律性。如掷一均匀的硬币，可能出现正面或反面，在连续多次掷的过程中，出现正面的频率（出现次数与投掷次数的比）随着投掷次数的增加逐渐稳定于 ；测量一物体长度，由于仪器及观察受环境的影响，每次测量结果可能有差异，但其连续多次测量结果的平均值，将随着测量次数的增加而逐渐稳定于一常数，并且各测量值大都落在此常数的近旁，越远则越少，因而其分布状况呈现“中间大两头小”及某种程度的对称性（即近似于正态分布）。这些现象的精微化就是“大数律”及“中心极限定理”。概率论的发展史，充分说明了理论与实际之间的密切关系，许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的，是对常识的精微化。
例7：黄金分割是普遍存在的自然现象。例如雅典的巴特农神殿，就是以黄金比例分割建造的神庙；古希腊时代米洛斯的维纳斯，从头顶到肚脐的高度与肚脐到脚底高度之比也十分接近黄金数；古埃及的胡福大金字塔，其高度与底边长度也符合这个比例；无论哪个民族的成年人的驱干部分（即除头、手、腿外），长与宽的平均比值是非常接近黄金数的。又如音乐会上的报幕员，站在舞台上的黄金分割点的位置时最美观，音响效果最佳；二胡上的“千斤”放在黃金分割点位置时，音色最佳、最悦耳。由此可见，黄金分割律也是基于人们的常识。
四、数学思想
数学思想是数学的基本观念，是对数学知识、方法的本质的认识。这些思想很多就是人们在生活、生产中自然需要考虑的问题或一种希望。
例8：优化思想或观念。所有“最大、最小、最高、最低、最长、最短、最省、最好”等有关问题，无一不是优化问题，优化的观念几乎是人类所拥有的一种本能：买东西讲求物美价廉；旅行中讲究合理选择交通工具和旅行路线，使费用最省或所用时间最少；工厂里希望合理安排生产，获得最大利润，等等。不仅人类，整个自然界也充斥着这一现象：皂膜实验、橡皮筋实验、蜂房问题等。因而，这种思想是极为普遍的社会现象。
例9：建模思想或观念。模型是指对需要研究的事物的某些性质的模拟物。如地球仪是地球表面的模型；相片是物体的形象模型；温度计中的水银柱是温度的模拟物，等等。作为基本的数学模型的数和形的形成，正是对常识的精微化的过程。如人们在生活和生产实践中首先产生了有和无的概念，逐渐形成多和少的概念，同时遇到了同样多的事物的集合，并从中选出一个大家最熟悉的、使用又方便的集合作为它们的具体模型。如五个人用五个手指表示，两棵树用两只耳朵表示等。这里的五个手指、两只耳朵就作为各种不同集合的数目的模型。随着生产、交换及语言的发展，由这些具体模型通过抽象过渡到数学模型——自然数，并用符号表示它们。几何概念的建立也经历了类似的过程。
以上我们从四方面对“数学是常识的精微化”作了粗浅的分析。认识这一观点，有助于提高我们对数学思想方法大众化观点的认识，也有助于我们培养学生运用数学的意识，对提高我们的教学质量是有益的。■
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、数学规定
规定是对处理某一事项所制定的办法。人类社会有许多规定，其目的是为了人类的生存、生活和工作的需要。如国家的法律、城市交通法规、学生行为规范，等等。规定在数学中也很普遍，它是数学工作的需要，也符合人类认识的常理。
例1：对于“x=arcsiny”，其中一个y对应着无穷多个x，考虑其周期性，规定它的主值区间- ，就可使y与x建立一一对应的关系，这对于我们研究问题就方便了。
例2：在推导椭圆方程时，首先要建立“标准位置”（这本身也符合常理），得出的 =2a是椭圆上点的轨迹方程，而将其化为 1则更好，又作出规定：b2=a2-c2（b>0）后,其形式为 =1，其中a、b、c都具有了明确的几何意义，且形式最简单，便于对椭圆性质的研究。如果规定b>0，则短半轴长为|b|，就不如前面的方便了。
像数学中经常出现的“一般形式”、“最简形式”、“标准形式”、“基本形式”等规定，使数学表达最简单、最方便，这也是对人类认识的优化或优选。
例3:合并同类项以后的多项式称为最简多项式，这使多项式的表达简单、确定，也符合常理。如要购买早点：8根油条4只大饼，决不会说成“4根油条2只大饼再4根油条2只大饼”，这是一样的道理。
二、数学符号
数学的一切进步都是对引入符号的反映，在使用和传播的过程中又不断地加以改进，其间也是对日常认识的精微化。
例4：零号（0）的演变。我国古书缺字都用□来表示，数字间的空位，自然也可以用□来表示。在书写的时候，字体常写成行书，而方块也就容易划成圆圈了。于是，“〇”被作为零号。“零”这个字，原来并不表示空无所有的〇。根据《说文解字》中的解释，“零”是作“零头”，如“零丁”、“零星”、“零碎”都是这个意思。105读作“一百零五”，原来是指一百之外还有一个零头五。后来〇也就读作零了，符号〇则演变为扁圆的“0”。
例5：根号的演变。1480年前后，德国人用一个点（.）来表示平方根。如.5是5的平方根。到十六世纪初，小点带上一条尾巴变成“ノ”，可能是写快时带上的。如5的平方根写成ノ5后又变为√5。但为了区分类似5+a的平方根减去x和5+a-x的平方根，于是产生了 即现在的记号 。
综观数学符号的演变过程，大多是基于人们的认识需要，而逐步精微化的。
三、数学活动
数学活动已涉及到社会生活、生产等各个方面。
例6：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象，并在多次重复的随机试验中又往往呈现出明显的数量规律性。如掷一均匀的硬币，可能出现正面或反面，在连续多次掷的过程中，出现正面的频率（出现次数与投掷次数的比）随着投掷次数的增加逐渐稳定于 ；测量一物体长度，由于仪器及观察受环境的影响，每次测量结果可能有差异，但其连续多次测量结果的平均值，将随着测量次数的增加而逐渐稳定于一常数，并且各测量值大都落在此常数的近旁，越远则越少，因而其分布状况呈现“中间大两头小”及某种程度的对称性（即近似于正态分布）。这些现象的精微化就是“大数律”及“中心极限定理”。概率论的发展史，充分说明了理论与实际之间的密切关系，许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的，是对常识的精微化。
例7：黄金分割是普遍存在的自然现象。例如雅典的巴特农神殿，就是以黄金比例分割建造的神庙；古希腊时代米洛斯的维纳斯，从头顶到肚脐的高度与肚脐到脚底高度之比也十分接近黄金数；古埃及的胡福大金字塔，其高度与底边长度也符合这个比例；无论哪个民族的成年人的驱干部分（即除头、手、腿外），长与宽的平均比值是非常接近黄金数的。又如音乐会上的报幕员，站在舞台上的黄金分割点的位置时最美观，音响效果最佳；二胡上的“千斤”放在黃金分割点位置时，音色最佳、最悦耳。由此可见，黄金分割律也是基于人们的常识。
四、数学思想
数学思想是数学的基本观念，是对数学知识、方法的本质的认识。这些思想很多就是人们在生活、生产中自然需要考虑的问题或一种希望。
例8：优化思想或观念。所有“最大、最小、最高、最低、最长、最短、最省、最好”等有关问题，无一不是优化问题，优化的观念几乎是人类所拥有的一种本能：买东西讲求物美价廉；旅行中讲究合理选择交通工具和旅行路线，使费用最省或所用时间最少；工厂里希望合理安排生产，获得最大利润，等等。不仅人类，整个自然界也充斥着这一现象：皂膜实验、橡皮筋实验、蜂房问题等。因而，这种思想是极为普遍的社会现象。
例9：建模思想或观念。模型是指对需要研究的事物的某些性质的模拟物。如地球仪是地球表面的模型；相片是物体的形象模型；温度计中的水银柱是温度的模拟物，等等。作为基本的数学模型的数和形的形成，正是对常识的精微化的过程。如人们在生活和生产实践中首先产生了有和无的概念，逐渐形成多和少的概念，同时遇到了同样多的事物的集合，并从中选出一个大家最熟悉的、使用又方便的集合作为它们的具体模型。如五个人用五个手指表示，两棵树用两只耳朵表示等。这里的五个手指、两只耳朵就作为各种不同集合的数目的模型。随着生产、交换及语言的发展，由这些具体模型通过抽象过渡到数学模型——自然数，并用符号表示它们。几何概念的建立也经历了类似的过程。
以上我们从四方面对“数学是常识的精微化”作了粗浅的分析。认识这一观点，有助于提高我们对数学思想方法大众化观点的认识，也有助于我们培养学生运用数学的意识，对提高我们的教学质量是有益的。■
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”